勾股定理的逆定理常用方法

㈠ 什麼是勾股定理的逆定理什麼是勾股定理的

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。

證明過程如下：

根據餘弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。

由於a²+b²=c²，故cosC=0；

因為0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（證明完畢）

(1)勾股定理的逆定理常用方法擴展閱讀：

勾股定理的逆定理是判斷三角形是否為銳角、直角或鈍角三角形的一個簡單的方法。

（1）若c為最長邊，且a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形。

（2）如果a²+b²>c²，則△ABC是銳角三角形。

（3）如果a²+b²<c²，則△ABC是鈍角三角形。

㈡ 勾股定理的逆定理是什麼

勾股定理：

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。

（如下圖所示，即a² + b² = c²）



例子：

以上圖的直角三角形為例，a的邊長為3，b的邊長為4，則我們可以利用勾股定理計算出c的邊長。

由勾股定理得，a² + b² = c² → 3² +4² = c²

即，9 + 16 = 25 = c²

c = √25 = 5

所以我們可以利用勾股定理計算出c的邊長為5。

擴展內容：

勾股定理：

勾股定理（Pythagorean theorem）又稱商高定理、畢達哥拉斯定理、畢氏定理、百牛定理，是平面幾何中一個基本而重要的定理。勾股定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中AB=c為最長邊:

如果a² + b² = c² ，則△ABC是直角三角形。

如果a² + b² > c² ，則△ABC是銳角三角形（若無先前條件AB=c為最長邊，則該式的成立僅滿足∠C是銳角）。

如果a² + b² < c² ，則△ABC是鈍角三角形。

參考資料：勾股定理 - wiki

㈢ 怎麼證勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理：設a、b、c是一個三角形的三條邊，且c是最長邊，如果cc≠aa+bb，則這個三角形不是直角三角形，只要用反證法及勾股定理就可以證明了。

勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。

勾股定理的逆定理是判斷三角形是否為銳角、直角或鈍角三角形的一個簡單的方法。若c為最長邊，且a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，則△ABC是銳角三角形。如果a2+b2<c2，則△ABC是鈍角三角形。

拓展資料：

勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為A，B，斜邊為C，那麼
； 即直角三角形兩直角邊長的平方和等於斜邊長的平方。古埃及人用這樣的方法畫直角。

勾股定理的來源：
畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

㈣ 勾股定理的逆定理的多種證明

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。 作四個全等的直角三角形，把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上（設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c.）。過點C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在一條直線上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個邊長為c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a.
∴ BDPC是一個邊長為a的正方形。
同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，做一個邊長為c的正方形。斜邊長為c. 再把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP∥BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°。
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，
∴ ∠，
又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 作兩個全等的直角三角形，同證法2，再作一個邊長為c的正方形。把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ，
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直線上， 。 作三個邊長分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點L.
∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ 即 《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。其證明如下：設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB&sup2；。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC2；。把這兩個結果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
證法6（歐幾里得（Euclid）射影定理證法）
如圖1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高 通過證明三角形相似則有射影定理如下：
⑴（BD）2;=AD·DC，
⑵（AB）2;=AD·AC ，
⑶（BC）2;=CD·AC。由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；， 圖1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，這就是勾股定理的結論。 圖1 在這幅「勾股圓方圖」中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化簡後便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰「故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」因此，勾股定理在中國又稱「商高定理」。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即「以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。在法國和比利時，勾股定理又叫「驢橋定理」。還有的國家稱勾股定理為「平方定理」。在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為「畢達哥拉斯」定理。為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做「百牛定理」． 前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算經， 文物出版社，1980年3月， 據宋代嘉定六年本影印，1-5頁。
2. 陳良佐：周髀算經勾股定理的證明與出入相補原理的關系。刊於《漢學研究》， 1989年第7卷第1期，255-281頁。
3. 李國偉： 論「周髀算經」「商高曰數之法出於圓方」章。刊於《第二屆科學史研討會匯刊》， 台灣，1991年7月， 227-234頁。
4. 李繼閔：商高定理辨證。刊於《自然科學史研究》，1993年第12卷第1期，29-41頁。
5. 曲安京： 商高、趙爽與劉徽關於勾股定理的證明。刊於《數學傳播》20卷， 台灣，1996年9月第3期， 20-27頁 達芬奇的證法
證明：第一張中多邊形ABCDEF的面積S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三張中多邊形A'B'C'D'E'F'的面積S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因為S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因為C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因為E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得證。 從這張圖可以得到一個矩形和三個三角形，推導公式如下：
b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面積 =（中間三角形）+（下方）2個直角三角形+（上方）1個直 角三角形。（簡化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2;
註：根據加菲爾德圖進一步得到的圖形。

㈤ 勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理是判斷三角形為銳角或直角的一個簡單的方法，其中c為最長邊：
如果a×a＋b×b＝c×c，則△ABC是直角三角形。
如果a×a＋b×b＞c×c，則△ABC是銳角三角形。
如果a×a＋b×b＜c×c，則△ABC是鈍角三角形。

勾股定理逆定理的證明：
1、反證法
令角C不是直角，
則a^2+b^2=c^2不成立，
所以矛盾，
所以角C是直角。
2、勾股定理逆定理
如果三角形的三邊長a、b、c滿足條件a^2+b^2=c^2，
那麼C邊所對的角是直角。
3、三角函數Cos90
如圖:已知AB^2+BC^2=AC^2，
而任一三角形的邊之間均滿足，
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ，
比較兩式得 ，
COSB=0 ，
B=90度。

㈥ 勾股定理逆定理證明過程是什麼

勾股定理逆定理是指如果三角形兩條邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。

勾股定理的逆定理的證明方法：

已知在△ABC中，設AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2。求證∠ACB=90°

證明：在△ABC內部作一個∠HCB=∠A，使H在AB上。

∵∠B=∠B,∠A=∠HCB

∴△ABC∽△CBH(有兩個角對應相等的兩個三角形相似)

∴AB/BC=BC/BH，即BH=a2/c

而AH=AB-BH=c-a2/c=(c2-a2)/c=b2/c

∴AH/AC=(b2/c)/b=b/c=AC/AB

∵∠A=∠A

∴△ACH∽△ABC(兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似)

∴△ACH∽△CBH(相似三角形的傳遞性)

∴∠AHC=∠CHB

∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°

∴∠AHC=∠CHB=90°

∴∠ACB=∠AHC=90°

勾股定理證明方法：

做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像下圖那樣拼成兩個正方形。

發現四個直角三角形和一個邊長為a的正方形和一個邊長為b的正方形，剛好可以組成邊長為(a+b)的正方形;四個直角三角形和一個邊長為c的正方形也剛好湊成邊長為(a+b)的正方形。所以可以看出以上兩個大正方形面積相等。可以列出公式為：a2+b2+4×1/2ab=c2++4×1/2ab，計算可得：a2+b2=c2。