立體幾何大題證明常用方法

⑴ 高中立體幾何證明定理有哪些

一.直線與平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一條直線如果平行於平面內的一條直線,那麼這條直線與這個平面平行.
2.應用:反證法(證明直線不平行於平面)
二.平面與平面平行的(判定)
1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行於另一個平面,那麼這兩個平面平行
2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點
三．直線與平面平行的（性質）
1.性質：一條直線與一個平面平行,則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行 2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交,那麼交線平行於這條直線
四．平面與平面平行的（性質）
1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那麼他們的交線平行
2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線,實現線線平行
五：直線與平面垂直的（定理）
1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直
2.應用：如果一條直線與一個平面垂直,那麼這條直線垂直於這個平面內所有的直線（線面垂直→線線垂直）
六.平面與平面的垂直(定理)
1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直
(或者做二面角判定)
2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換
七.平面與平面垂直的(性質)
1.性質一:垂直於同一個平面的兩條垂線平行
2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直
3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那麼經過第一個平面內的一點垂直於第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什麼用,可以不用記)
以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本!

⑵ 解高中立體幾何的方法

1,平面外直線和平面內的一條直線平行由平面外直線平行於這個平面.這是由線線平行到線面平行
2,一條直線平行於一個平面,過這條直線的平面和已知平面相交,則這條直線平行於兩個平面的交線,這是線面平行到線線平行
3,一個平面內的兩條相交直線分別和另一個平面平行,則這兩個平面平行,這是線面平行到面面平行
4,兩個平面平行,第三個平面和它們相交,則交線平行,這是面面平行到線面平行
在具體運用中可根據題設條件進行相互轉化.
5,一條直線和平面內的兩條相交直線都垂直,則這條直線和這個平面垂直.這是由線線垂直到線面垂直
6,一條直線和一個平面垂直,則這條直線和這個平面內的所有直線都垂直,這是由線面垂直到線線垂直
7,一條直線和一個平面垂直,則經過這條直線和平面和已知平面垂直,這是由線面垂直到面面垂直
8,兩個平面互相垂直,其中一個平面內的一條直線垂直於交線,則這條直線垂直於另一個平面,這是由面面垂直到線面垂直,也到線線垂直,這一條包含了兩條,即由面面垂直到線面垂直,也由面面垂直到線線垂直.
在應用時,平行和垂直的判定定和性質定理要結合起來,才能在做題時靈活轉化.

⑶ 立體幾何證明過程最常用到的定理

投影定理：
若垂直相交的兩直線中有一條直線平行於某一投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍然相互垂直；反之，若相交兩直線在某一投影面上的投影互相垂直，且其中一直線平行於該投影面時，則兩直線在空間也一定相互垂直。
面面垂直：
兩個面中的兩條與兩個面交線垂直的線，相互垂直

下面是解立體幾何一些簡單的公式定例：
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那麼這條直線上的所有點都在這個平面內。
（1）判定直線在平面內的依據
（2）判定點在平面內的方法

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那它還有其它公共點，這些公共點的集合是一條直線 。
（1）判定兩個平面相交的依據
（2）判定若干個點在兩個相交平面的交線上

公理3：經過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 （1）確定一個平面的依據
（2）判定若干個點共面的依據

推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且僅有一個平面。 （1）判定若干條直線共面的依據
（2）判斷若干個平面重合的依據
（3）判斷幾何圖形是平面圖形的依據

推論2：經過兩條相交直線，有且僅有一個平面。
推論3：經過兩條平行線，有且僅有一個平面。

立體幾何 直線與平面
空 間 二 直 線 平行直線
公理4：平行於同一直線的兩條直線互相平行
等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，並且方向相同，那麼這兩個角相等。

異面直線

空 間 直 線 和 平 面 位 置 關 系
（1）直線在平面內——有無數個公共點
（2）直線和平面相交——有且只有一個公共點
（3）直線和平面平行——沒有公共點

立體幾何 直線與平面
直線與平面所成的角
（1）平面的斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線與平面所成的角
（2）一條直線垂直於平面，定義這直線與平面所成的角是直角
（3）一條直線和平面平行，或在平面內，定義它和平面所成的角是0度的角

三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它和這條斜線垂直

三垂線逆定理 在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它和這條斜線的射影垂直

空間兩個平面 兩個平面平行 判定
性質
（1）如果一個平面內有兩條相交直線平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行
（2）垂直於同一直線的兩個平面平行

（1）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行於另一個平面
（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行
（3）一條直線垂直於兩個平行平面中的一個平面，它也垂直於另一個平面

相交的兩平面 二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的線，這兩個半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個面內分另作垂直棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

兩平面垂直 判定
性質
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直
（1）若二平面垂直，那麼在一個平面內垂直於它們的交線的直線垂直於另一個平面
（2）如果兩個平面垂直，那麼經過第一個平面內一點垂直於第二個平面的直線，在第一個平面內

立體幾何 多面體、稜柱、棱錐
多面體
定義 由若干個多邊形所圍成的幾何體叫做多面體。
稜柱 斜稜柱：側棱不垂直於底面的稜柱。
直稜柱：側棱與底面垂直的稜柱。
正稜柱：底面是正多邊形的直稜柱。
棱錐 正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，並且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。
球
到一定點距離等於定長或小於定長的點的集合。
歐拉定理
簡單多面體的頂點數V，棱數E及面數F間有關系：V+F-E=2

⑷ 做立體幾何題的方法 規律和技巧

我也是高考生讓我來幫助你吧…立體幾何在高中數學里不是很難的，只是大腦里多想想體積的東西，一定要熟練的背誦定理，先由課本聯系為主，等書上的題沒問題之後就開始做些課外練習題，世紀金榜這本書不錯的，遇到不會的題要去問老師的，對於學習沒有捷徑的。

⑸ 高中常見立體幾何證明的方法

一.直線與平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一條直線如果平行於平面內的一條直線,那麼這條直線與這個平面平行.
2.應用:反證法(證明直線不平行於平面)
二.平面與平面平行的(判定)
1. 判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行
2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點
三．直線與平面平行的（性質）
1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行 2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那麼交線平行於這條直線
四．平面與平面平行的（性質）
1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼他們的交線平行
2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現線線平行
五：直線與平面垂直的（定理）
1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線垂直於這個平面內所有的直線（線面垂直→線線垂直）
六.平面與平面的垂直(定理)
1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直
(或者做二面角判定)
2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現線面垂直證面面垂直的轉換
七.平面與平面垂直的(性質)
1.性質一:垂直於同一個平面的兩條垂線平行
2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直
3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那麼經過第一個平面內的一點垂直於第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什麼用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本!!
(這是我自己整理的筆記，希望可以採納我的。。）

⑹ 立體幾何常用證明定理 高中的。

有六種：

1.定義法。

2.垂面法。

3.射影定理。

4.三垂線定理。

5.向量法。

6.轉化法。

(6)立體幾何大題證明常用方法擴展閱讀：

三垂線定理：

在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線在平面的射影垂直。

1、三垂線定理描述的是PO(斜線)，AO(射影)，a(直線)之間的垂直關系。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理。

關於三垂線定理的應用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線。至於射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂，二射，三證。即幾何模型

第一，找平面(基準面)及平面垂線；

第二，找射影線，這時a，b便成平面上的一條直線與一條斜線；

第三，證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。

1.定理中四條線均針對同一平面而言；

2.應用定理關鍵是找"基準面"這個參照系。

用向量證明三垂線定理。

1.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬於a，且b垂直OA，求證：b垂直PA

證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）

所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b） 加 （向量OA 乘以 b ）=O，

所以PA垂直b。

2.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬於a，且b垂直PA，求證：b垂直OA

證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為PA垂直b， 向量OA=（向量PA-向量PO）

所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）減 （向量PO 乘以 b ）=0，

所以OA垂直b。

3.已知三個平面OAB，OBC，OAC相交於一點O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交線OA於平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB+向量AB），O是內心，又因為AB=BC=CA，所以OA於平面OBC所成的角是30度。

⑺ 怎麼能快速弄會高中立體幾何證明題

沒有捷徑可走。只有多做題。但是我可以給你一個我自己的方法。只要是立體幾何，必然可以建立空間坐標系，依照題目的要求，設立坐標。打個比方，如果證明平行，那就計算兩條線的方程斜率一樣。這個方法可以解絕大多數立體幾何題，優點是易於上手，缺點是需要計算，但是不要怕計算，只要空間坐標系建立的合理，坐標取值准確，計算的數值很小。

⑻ 怎麼證明立體幾何！該如何表達好多定理我都忘記了。

立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題。雖然分值比重不是特別大，但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學好立體幾何談幾點建議。

一 立足課本，夯實基礎
直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關系的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很復雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處：
（1） 深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什麼，多用在那些地方，怎麼用。
（2） 培養空間想像力。
（3） 得出一些解題方面的啟示。
在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想像力。對後面的學習也打下了很好的基礎。

二 培養空間想像力
為了培養空間想像力，可以在剛開始學習時，動手製作一些簡單的模型用以幫助想像。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察，逐步培養自己對空間圖形的想像能力和識別能力。其次，要培養自己的畫圖能力。可以從簡單的圖形（如：直線和平面）、簡單的幾何體（如：正方體）開始畫起。最後要做的就是樹立起立體觀念，做到能想像出空間圖形並把它畫在一個平面（如：紙、黑板）上，還要能根據畫在平面上的「立體」圖形，想像出原來空間圖形的真實形狀。空間想像力並不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設為根據，以幾何體為依託，這樣就會給空間想像力插上翱翔的翅膀。

三 逐漸提高邏輯論證能力
立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到准確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然後用綜合法（「推出法」）形式寫出

四 「轉化」思想的應用
我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運用「轉化」這種數學思想，要明確在轉化過程中什麼變了，什麼沒變，有什麼聯系，這是非常關鍵的。例如：
1. 兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。
2. 異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。
3. 面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。
4. 三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。
以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，通過轉化可以使問題得以大大簡化。

五 總結規律，規范訓練
立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正餘弦定理、三角定義常用，若是餘弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正餘弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。
還要注重規范訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環節交待不清，表達不夠規范、嚴謹，因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規范性在數學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對於即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在「按步給分」的原則下，從平時的每一道題開始培養這種規范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。

六 典型結論的應用
在平時的學習過程中，對於證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對於一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們打開解題思路，進而求解出答案。

我相信，如果在學習過程中做到了以上六點，那麼任何題目也會迎刃而解。第一:要建立空間觀念，提高空間想像力。

從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學自製一些空間幾何模型並反復觀察，這有益於建立空間觀念，是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，並且判斷其中的線線、線面、面面位置關系，探索各種角、各種垂線作法，這對於建立空間觀念也是好方法。
此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中「證明」定理和構造定理的「圖」，對於建立空間觀念也是很有幫助的。

第二:要學好《立體幾何》的基礎知識和基本技能。

要用圖形、文字、符號三種形式表達概念、定理、公式，要及時不斷地復習前面學過的內容。這是因為《立體幾何》內容前後聯系緊密，前面內容是後面內容的根據，後面內容既鞏固了前面的內容，又發展和推廣了前面內容。在解題中，要書寫規范，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉；要寫出解題根據，不論對於計算題還是證明題都應該如此，不能想當然或全憑直觀；對於文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖；用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數而不把它寫出來是不行的。要學會用圖（畫圖、分解圖、變換圖）幫助解決問題；要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法———分析法、綜合法、反證法。

第三要不斷提高各方面能力。

通過聯系實際、觀察模型或類比平面幾何的結論來提出命題；對於提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個特例進行檢驗，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗創造數學知識。要不斷地將所學的內容結構化、系統化。所謂結構化，是指從整體到局部、從高層到低層來認識、組織所學知識，並領會其中隱含的思想、方法。所謂系統化，是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認識。牢固地把握一些能統攝全局、組織整體的概念，用這些概念統攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關系的已知知識間的聯系，提高整體觀念。要注意積累解決問題的策略。如將立體幾何問題轉化為平面問題，又如將求點到平面距離的問題，或轉化為求直線到平面距離的問題，再繼而轉化為求點到平面距離的問題；或轉化為體積的問題。要不斷提高分析問題、解決問題的水平：一方面從已知到未知，另方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識銜接點———一個固有的或確定的數學關系。

要不斷提高反省認知水平，積極反思自己的學習活動，從經驗上升到自動化，從感性上升到理性，加深對理論的認識水平，提高解決問題的能力和創造性。

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