圓中線段求差最佳方法

㈠ 在坐標系中如何求兩條線段之差或之和的最大值及最小值

如圖：

如果是在x軸上求一點P，使PA+PB最小；則方法是作B關於x軸的對稱點B1,連接AB1交x軸於P或（作A關配盯於x軸的對稱點A1,連接A1B交x軸於P），如果是在x軸上求一點P,使|PA－PB|最大；則方法是直線AB交x軸於P。

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有關線段差的最大值與線段和的最小值問題的主要應用原理是：戚賣埋

1、兩點這間線段最短。

2、三角形的任意兩邊之和大於第三邊（找和的最小值）。

3、三角形的任意兩邊之差小於第三邊（找差的最大值）。

作圖找點的關鍵：充分利用軸對稱，找出對稱點，然後，使三點在一條直線上。即利用線段的垂直平分線定理可以把兩條線段、三條線段、四條線段搬在同一條直線上。證明此類問題，可任意另找一點，利用以上原理來證明。

㈡ 初中數學問題中問兩線段之和之差最大最小問題解決思路

和最小：把直線同側兩點轉化為異側兩吵埋點，方法是求兩點中隨便哪一點關於直線的堆成點。
利用「三角形兩邊之和大於第三邊」原理升旅螞。
當直線上的點位於某一點與另一點的連線與直線交點時，和最小。

差最大：把異側兩點化為同側兩點進行考察。鎮顫

㈢ 初中數學求線段和差最值知識

初中階段我們學過三種路徑最值問題,一是兩點之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點與直線上一點的連線中,垂線段最短。

一、直接利用公理(定理)求最值

1、公理：兩點直接線段最短

2、定理：三角形的兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊(由上面公理證明而得)

3、定理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。(簡稱垂線段最短)

所有的線段和差問題都是直接利用或者轉化為第1點或第3點來求最值，這是咱們思考這類問題的出發點，大家要死死記住。

二、結合圖形三大變換求最值

1、應用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(將軍飲馬問題)

2、應用旋轉變換將線段和差轉化為可以利用公理(定理)求最值(費馬點問題)

【將軍飲馬問題】

【費馬點問題】

三.例題

1.如圖，A、B兩個小集鎮在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節省，並求出總費用是多少?

作點B關於直線CD的對稱點B'，連接AB'，交CD於點M

則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點時，費用最小

如右圖，在直角△AB'E中，

AE = AC+CE = 10+30 = 40

EB' = 30

所以：AB' = 50

總費用為：50×3 = 150萬

2.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

(1)用含x的代數式表示AC+CE的長;

(2)請問點C滿足什麼條件時，AC+CE的值最小?

(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值

3.兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加油站，，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發，經過一個加油站，再到另一個加油站，最後回到油庫所走的路程最短.

分析 這是一個實際問題，我們需要把它轉化為數學問題，經過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB於C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那麼是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關系進行說明.

解：分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2，

連結P1P2分別交OA、OB於C、D，

則C、D就是建加油站的位置.

若取異於C、D兩點的點，

則由三角形的三邊關系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.

點評：在這里沒有詳細說明為什麼在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學們思考弄明白。

4.如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

分別作點P關於OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，

交OA、OB於點Q，R，連接OP1，OP2，

則OP = OP1 = OP2 = 10

且∠P1OP2 = 90°

由勾股定理得P1P2 = 10

5.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值為

即在AC上作一點P，使PB+PE最小

作點B關於AC的對稱點B'，連接B'E，交AC於點P，則B'E = PB'+PE = PB+PE

B'E的長就是PB+PE的最小值

在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3

根據勾股定理，B'E =

6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值

分別作點C、B關於AB、AC的對稱點C’、B’，連接C’B’交AB、AC於點M、N，則BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB

∴∠B’AC’ = 60°

∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

∴AC’ = AB’

∴△AB’C’是等邊三角形

∴B’C’ = 20

7.如圖，在等邊△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值