求下列極限的最佳方法

㈠ 求極限的方法總結

求極限的方法總結如下：

1、抽象數列求極限這類題一般以選擇題的形式出現,因此可以通過舉反例來排除。此外,也可以按照定義、基本性質及運演算法則直接驗證。

2、具體的求極限,可以用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性,進而確定極限存在性;其次,通過遞推關系中取極限,解方程,從而得到數列的極限值。

3、如果數列極限能看成某函數極限的特例,形如,則利用函數極限和數列極限的關系轉化為求函數極限,此時再用洛必達法則求解。

4、若可以找到這個級數所對應的冪級數,則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出,再根據這個極限的形式代入相應的變數求出函數值。

5、若數列每一項都可以提出一個因子,剩餘的項可用一個通項表示,則可以考慮用定積分定義求解數列極限。

㈡ 大學高等數學求極限的方法

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

㈢ 求極限，有什麼好方法

極限是描述數列和函數在無限過程中的變化趨勢的重要概念，是從近似認識精確，從有限認識無限，從量變認識質變的一種數學方法。同時，極限是微分的理論基礎，研究函數的性質實際上就是研究各種類型的極限，如連續、導數、定積分等，由此可見極限的重要性。而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數學生尤其是基礎較差的中專學生較為頭痛的問題。求極限不僅要准確理解極限的概念、性質和極限存在的條件，而且還要能准確地求出各種極限。求的方法很多，針對中專學生的實際情況，筆者從基本概念、基本思路和計算方法三個方面總結如下。

一．基本概念

要求函數的極限，首先而且必須要正確理解函數的極限以及與其有關的幾個重要的基本概念。

⒈ ； .

以上兩個充要條件不僅給出了判斷極限是否存在的一個准則，而且指明了含義為兩方面；的含義為兩方面。

⒉無窮大和無窮小

無窮大和無窮小（除常數0外）都不是常數，而是兩類具有特定變化趨勢的變數，如果變數在某變化過程中，其絕對值無限制地增大，則稱在該變化過程中，為無窮大；如果在某變化過程中變數以零為極限，則稱在該變化過程中，為無窮小。籠統說某變數是無窮大或無窮小而沒有指出變化趨勢都是不正確的。

要求極限必須理解下面幾個與無窮大或無窮小有關的重要關系，它們對求函數的極限非常有用。

⑴函數的極限與無窮小的關系：

⑵無窮小與無窮大的關系：在同一變化過程中，若為無窮大，則是無窮小；若是無窮小，則是無窮大。

⑶無窮小與有界函數的關系：無窮小與有界函數的乘積仍是無窮小。

⒊函數連續與極限的關系

在某點處函數的連續性與極限既區別又聯系。

區別是：函數在某點處連續不僅要求函數在這一點有極限，而且要求函數在這點處的極限值一定等於該點的函數值；而極限則是指函數在某點附近的變化趨勢，而與函數在該點處是否有定義或該點處的函數值沒有關系。

聯系是：⑴函數在點連續的充要條件是：。由此充要條件在可以判斷分段函數在分段點處的連續性。

⑵函數在點連續存在。

二． 求極限的基本思路

極限的計算題中分兩大類：一類是確定型的極限，它包括以下幾種情況：

⒈根據初等函數的連續性； ⒉直接利用極限運演算法則；

⒊利用無窮大與無窮小的關系；⒋利用無窮小與有界函數乘積為無窮小。

另一類是未定型（也稱未定式）的極限，它包括：、、∞—∞、1∞型。計算未定型限的基本思路是通過恆等變形等轉化為確定型的極限進行計算，或利用兩個重要極限，或羅必達法則進行計算。

三．求極限的方法

一．確定型的極限

⒈利用連續函數的連續性求極限——代入法

由函數在點連續定義知，。由於初等函數在定義區間內處處連續，所以求初等函數在定義區內任意點處的極限值，就是求其函數在該點處的函數值。

【例1】：求【解】∵是初等函數，在其定義域（全體實數）內連續∴所以用代入法求出該點的函數值就可。即=2·2＋2·2－5=3。

【例2】；求 【解】由於=在處連續，所以

⒉利用極限的四則運演算法則求極限。

設= A，= B，則±=A±B； ·=A·B，特別地=C·A； 。

⒊利用「無窮小與有界函數的乘積仍為無窮小」性質求極限。

利用「無窮小與有界函數的乘積仍為無窮小」這一性質可以計算某些函數的極限，但在應用這一性質求極限時，要注意求解過程的寫法。

【例3】求的極限 【解】當時，是無窮小，而是有界函數，因此利用無窮小與有界函數的乘積是無窮小很快就會得解。於是，=0

⒋利用無窮大與無窮小的關系求極限。

無窮大與無窮小的關系：無窮大的倒數是一個無窮小；反之，在變化過程中不為零的無窮小，其倒數為一個無窮大。

【例4】求極限

【解】因為=0。即是當時的無窮小，根據無窮大與無窮小的關系可知，它的倒數是當時的無窮大，即。

⒌分別利用左右極限求得函數極限

求分段函數在連接點處的極，要分別求左、右極限求得函數極限。它根據以下定理：。對於分段函數考察是否存在就要分別求與。

二．未定型（也稱未定式）的極限

⒈可化為連續函數的函數極限

求函數極限時，有時常常會遇到，函數在點沒有意義，即函數在點不連續，這時就不能直接利用代入法求函數的極限。這時要視具體情況對進行適當的恆等變形，轉化為連續函數，再利用函數的連續性求出極限，該方法常用於「」型的極限。在進行變形時常用到因式分解、分子或分母「有理化」的運算以及三角函數的有關公式。其目的就是消去分母中的零因子。

【例5】求

【解】當時，，這時不能直接利用代入法求函數的極限，但對函數進行分母「有理化」的恆等變形以後，就可化為連續函數的函數極限，再用代入法求函數的極限，即：

⒉利用兩個重要極限求極限

兩個重要極限給出了求型、1∞型的極限的計算

⑴兩個重要極限為：①②或

⑵由重要極限及替換可求下列極限：

① 若，則 ，極限過程改為其它情形也有類似的結論。

【例6】求

【解】

【例7】求

【解】

② 設，則利用重要極限有，其。

【例8】求極限

【解】=〔〕

⒊自變數趨向無窮大時有理分式求極限法則

⑴若分式中分子和分母的同次，則其極限等於分子和分母的最高次項的系數之比；

⑵若分式中分子的次數低於分母的次數，則該分式的極限是零；

⑶若分式中分子的次數高於分母的次數，則該分式的極限不存在（為無窮大）。

即當時有

⒋利用洛必達法則求未定式的極限

求型或型未定式更常用的方法是用洛必達法則。具體方法如下：

⑴設的空心鄰域可導，，其中A可以是極限數也可以是。將改為或等也有相應的洛比達法則。

⑵應用上述法則是應注意：①若不存在，也不為，不能說明不存在。例如，不存在。

②必須驗證應用法則的條件，必須是型或型未定式方可利用洛比達法則。例如，以下計算是錯誤的： 。事實=，這里不是型也不是型未定式。

③若是型或型，可連續用洛比達法則，只要符合條件，一直可用到求出極限為止。
<求極限十法 >

1、利用定義求極限。

2、利用柯西准則來求。
柯西准則：要使{xn}有極限的充要條件使任給ε>0,存在自然數N，使得當n>N時，對於
任意的自然數m有|xn-xm|<ε.

3、利用極限的運算性質及已知的極限來求。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.

4、利用不等式即：夾擠定理。

5、利用變數替換求極限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.

6、利用兩個重要極限來求極限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞

7、利用單調有界必有極限來求。

8、利用函數連續得性質求極限。

9、用洛必達法則求，這是用得最多的。

10、用泰勒公式來求，這用得也很經常。

㈣ 求數學高手：求極限的七種方法，最好有例子

您好！
1、利用定義求極限。
例如：很多就不必寫了！
2、利用柯西准則來求！
柯西准則：要使{xn}有極限的充要條件使任給ε>0,存在自然數N，使得當n>N時，對於任意的自然數m有|xn-xm|<ε.
3、利用極限的運算性質及已知的極限來求！
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即：夾逼原則！
例子就不舉了！
5、利用變數替換求極限！
例如lim
(x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得原式=n/m.
6、利用兩個重要極限來求極限。
(1)lim
sinx/x=1
??x→0
(2處弗邊煌裝號膘銅博擴)lim
(1+1/n)^n=e
??n→∞?
7、利用單調有界必有極限來求！
8、利用函數連續得性質求極限。
9、用洛必達法則求，這是用得最多的。
10、用泰勒公式來求，這用得也很經常。

㈤ 極限的幾種求法

極限的求法有很多中：
1、連續初等函數，在定義域范圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函數的極限值就等於在該點的函數值
2、利用恆等變形消去零因子（針對於0/0型）
3、利用無窮大與無窮小的關系求極限
4、利用無窮小的性質求極限
5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算
6、利用兩個極限存在准則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限
7、利用兩個重要極限公式求極限
8、利用左、右極限求極限，（常是針對求在一個間斷點處的極限值）
9、洛必達法則求極限
其中，最常用的方法是洛必達法則，等價無窮小代換，兩個重要極限公式。
在做題時，如果是分子或分母的一個因子部分，如果在某一過程中，可以得出一個不為0的常數值時，我們常用數值直接代替，進行化簡。另外，也可以用等價無窮小代換進行化簡，化簡之後再考慮用洛必達法則。

㈥ 求極限的所有方法，要求詳細點

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

拓展資料

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

㈦ 求極限的方法有哪些

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

拓展資料

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

㈧ 請列舉求極限常用的幾種方法（如有適用范圍，請說明）

1.定義法2.利用極限四則運演算法則3. 利用夾逼性定理求極限4．換元法5.單調有界原6.先用數學歸納法,再求極限. 7.利用兩個重要極限8.利用等價無窮小來求極9.用洛必達法則求極限10.積分的定義及性質11.級數收斂的必要條件. 12.對表達式進行展開、合並、約分和因式分解以及分子分母有理化，三角函數的恆等變形13.奇數列和偶數列的極限相同，則數列的極限就是這個極限。14．利於泰勒展開式求極限15.利於無窮小量的性質和無窮小量和無窮大量之間的關系求極限

㈨ 高等數學中求極限有哪幾種方法

求極限的常用方法：
1。函數的連續性
2。等價無窮小代換
3。「單調有界的數列必有極限」定理
4。有界函數與一個無窮小量的積仍為無窮小量
5。兩個重要極限（sinx/x=1,e）
6。級數的收斂性求數列極限
7。羅必塔法則
8。定積分的定義