㈠ 開平方根的方法和步驟是什麼
開平方根的方法和步驟如下:
1、將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開,分成幾段,表示所求平方根是幾位數。
2、根據左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數。
3、從第一段的數減去最高位上數的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。
4、把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數,所得的最大整數作為試商。
5、用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商.如果所得的積小於或等於余數,試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於余數,就把試商減小再試。
6、用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數。
㈡ 開平方運算的如何手動開平方
不用平方根表和計算器,可不可以求出一個數的平方根呢?先一起來研究一下,怎樣求 ,這里1156是四位數,所以它的算術平方根的整數部分是兩位數,且易觀察出其中的十位數是3.於是問題的關鍵在於;怎樣求出它的個位數a?為此,我們從a所滿足的關系式來進行分析.
根據兩數和的平方公式,可以得到
1156=(30+a)^2=30^2+2×30a+a^2,
所以 1156-30^2=2×30a+a^2,
即 256=(20×3+a)a,
這就是說, a是這樣一個正整數,它與20×3的和,再乘以它本身,等於256.
為便於求得a,可用下面的豎式來進行計算:
根號上面的數3是平方根的十位數.將 256試除以20×3,得4(如果未除盡則取整數位).由於4與20×3的和64,與4的積等於256,4就是所求的個位數a.豎式中的余數是0,表示開方正好開盡.於是得到 1156=34^2, 或√1156=34. 上述求平方根的方法,稱為筆算開平方法,用這個方法可以求出任何正數的算術平方根,它的計算步驟如下: 1.將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開(豎式中的11』56),分成幾段,表示所求平方根是幾位數;
2.根據左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數(豎式中的3);
3.從第一段的數減去最高位上數的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數(豎式中的256);
4.把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數,所得的最大整數作為試商(20×3除256,所得的最大整數是 4,即試商是4);
5.用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商.如果所得的積小於或等於余數,試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於余數,就把試商減小再試(豎式中(20×3+4)×4=256,說明試商4就是平方根的第二位數);
6.用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數.
如遇開不盡的情況,可根據所要求的精確度求出它的近似值.例如求 的近似值(精確到0.01),可列出上面右邊的豎式,並根據這個豎式得到
筆算開平方運算較繁,在實際中直接應用較少,但用這個方法可求出一個數的平方根的具有任意精確度的近似值. 設A = X^3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標準的公式:
例如,A=5,,即求
5介於1的3次方;至2的3次方;之間(1的3次方=1,2的3次方=8)
初始值X0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式:
第一步:X1=1.9+(5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416,1.3850416-1.9=-0.5149584,-0.5149584×1/3=-0.1716528,1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,,即1.7。
第二步:X2=1.7+(5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位數,比前面多取一位數。
第三步:X3=1.71+(5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步:X4=1.709+(5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
這種方法可以自動調節,第一步與第三步取值偏大,但是計算出來以後輸出值會自動轉小;第二步,第四步輸入值
偏小,輸出值自動轉大。即5=1.7099^3;
當然初始值X0也可以取1.1,1.2,1.3,。。。1.8,1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當然,我們在實際中初始值最好採用中間值,即1.5。 1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7。
如果用這個公式開平方,只需將3改成2,2改成1。即
例如,A=5:
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取 中間值2.5。 第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;
即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。
第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;
即5/2.2=2.272,2.272-2.2=0.072,0.072×1/2=0.036,2.2+0.036=2.23。取3數。
第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關系,輸出值會自動調節,接近准確值。 順便介紹開5次方公式:
例如:A=5;
5介入1的5次方至2的5次方之間。2的5次方是32,5靠近1的5次方。初始值可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9.例如我們取中間值1.4;
1.4+(5/1.4^4-1.4)1/5=1.38
1.38+(5/1.38^4-1.38)1/5=1.379.
1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797.
計算次數與精確度成為正比。即5≈1.3797^5.。
㈢ 如何手動開平方
1.從個位起向左每隔兩位為一節,若帶有小數從小數點起向右每隔兩位一節,用「,」號將各節分開;
2.求不大於左邊第一節數的平方根,為平方根最高上的數;
3.從左邊第一節數里減去求得的最高位上的數的平方,在它們的差的右邊寫上第二節數作為第一個余數;
4.把商的最高位上的數乘20去試除第一個余數,所得的是整數作試商(如果這個最大整數大於或等於10,就用9或8作試商);
5.用最高位的數乘以20加上試商再乘以試商。如果所得的積小於或等於余數,這個試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於余數,就把試商逐次減小再試,直到積小於或等於余數為止;
6.用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數。
㈣ 不用計算器等,手動如何開平方
看看圖,一目瞭然。從右到左,每兩位隔開。
其他的就不用說了。
㈤ 如何手算開平方
例如:65536的手算開平方
Step1:將被開方數(為了形象,表述成「被除數」,此例中即為65536)從個位往高位每兩位一斷寫成6,55,35的形式,為了方便表述,以下每一個「,」稱為一步。
Step2:從高位開始計算開方。例如第一步為6,由於2^2=4<6<9=3^2,因此只能商2(這就是和除法不同的地方,「除數」和「商」的計算位必須相同)。於是將2寫在根號上方,計算開方余項。即高位余項加一步低位,此例中,即為高位余項2和低位一步55,余項即為255。
Step3:將Step2得到的第一步開方得數2乘以20(原理在後面證明)作為第二步除數的高位。即本步除數是4x(四十幾)。按照要求,本步的商必須是x。因為45×5=225<255<46×6=276,所以本步商5。
Step4:按照類似方法,繼續計算以後的各步。其中,每一步的除數高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除數高位就是25×20=500,所以第三步除數為50x。本例中,506×6=3036恰好能整除,所以256就是最終計算結果。
(5)手動開平方正確方法擴展閱讀:
整數開平方步驟:
(1)將被開方數從右向左每隔2位用撇號分開;
(2)從左邊第一段求得算數平方根的第一位數字;
(3)從第一段減去這個第一位數字的平方,再把被開方數的第二段寫下來,作為第一個余數;
(4)把所得的第一位數字乘以20,去除第一個余數,所得的商的整數部分作為試商(如果這個整數部分大於或等於10,就改用9左試商,如果第一個余數小於第一位數字乘以20的積,則得試商0);
(5)把第一位數字的20倍加上試商的和,乘以這個試商,如果所得的積大於余數時,就要把試商減1再試,直到積小於或等於余數為止,這個試商就是算數平方根的第二位數字;
(6)用同樣方法繼續求算數平方根的其他各位數字。2、小數部分開平方法:求小數平方根,也可以用整數開平方的一般方法來計算,但是在用撇號分段的時候有所不同,分段時要從小數點向右每隔2段用撇號分開。
如果小數點後的最後一段只有一位,就填上一個0補成2位,然後用整數部分開平方的步驟計算。
任意數開立方根筆算步驟如下:
1、把所求數從右往左每3位分一段分成若干段,從左往右開始計算;
2、先從最左邊一段開始計算。用試演算法得出這段的得數(該得數要取其立方不溢出所求數第一段上的數時的最大數)設該得數為A;
3、把第一段所求數與A^3的差,在其後面按位補上第二段的數,為第二段要算的數(所求數),取一個試算數B,在計算紙的其它地方第一行寫上3A^2,第二行往右移一位寫上3AB,第三行往右移一位寫上B^2,用豎式加法算出這三行數的和(上面兩行數,相應空位補上0).用這個和乘以試算數B所得的積與該段所求數進行比較.試算出最大的B(積不溢出所求數),該數B即為第二段上的得數.把該得數寫在算式相應段的上方。
4、相同的方法進行下一段的計算,所不同的是A要取前面已算出的得數,(如前面兩位得數分別是1,3,A就取13,如算到第四段,前面三位數分別是1,3,5,A就取135,)試算出相應的B寫在該段上方。
5、算到最後一段,如最後試算出來的余數不為0,則說明所求數的立方根不是整數,此時,用與求開方相似的方法,在該數後面補一段000,再算出的得數就是小數點後的第一位數,還有餘數,再補三位0,只到余數為0或者至算至足夠的小數位即可。
㈥ 怎樣徒手開平方根
怎樣徒手開平方根
1、將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開,分成幾段,就表示平方根是幾位數。
2、根據被開方數左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數字。
3、從第一段的數減去這最高位上數的平方,再把被開方數的第二段拖下來,組成第一個余數。4、把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數,所得的最大整數作為試商。如果這個整數部分大於或者等於10,就改用9作試商,如果第一個余數小於第一位數字乘以20的積,則得試商0。
5、用最高位數的20倍加上試商的和乘以這個試商,如果所得的積小於或等於余數,試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於余數,就把試商減小再試。
6、用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數。
7、求小數的算術平方根,同樣可以用整數開平方的方法來計算,但在用撇號分段時要從小數點起向左把整數部分每隔兩位用撇號分開,從小數點起向右把小數部分每隔兩位也用撇號分開。如果小數點後的最後一段只有一位,就添上一個0補成兩位。
8、如遇開不盡的情況,可先化去根號下的分母,然後用上面的開平方的方法,把被開方數中能開得盡方的因數開出來後,移到根號外面即可。如12.5的平方根,可以寫作5√2/2。
9、求分數的算術平方根,可把分子和分母分別用上面的開平方的方法開方。
㈦ 手動開方的詳細步驟
1.將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開,分成幾段,表示所求平方根是幾位數;小數部分從最高位向後兩位一段隔開,段數以需要的精度+1為准。
2.根據左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數。
3.從第一段的數減去最高位上數的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。
4.把求得的最高位數乘以20去試除第一個余數,所得的最大整數作為試商
5.用商的最高位數的20倍加上這個試商再乘以試商.如果所得的積小於或等於余數,試商就是平方根的第二位數;如果所得的積大於余數,就把試商減小再試,得到的第一個小於余數的試商作為平方根的第二個數。
6.用同樣的方法,繼續求平方根的其他各位上的數。
㈧ 最簡單的手算開平方方法是什麼
按照教科書上的開平方的方法,對位數不多的數來講,還比較實用,但對於位數較多的數字或小數位數較多的數來講,此方法就比較繁瑣,並且還有可能出錯,並且一出錯就得重頭計算。經過筆者不斷總結、分析,找到一個非常好的方法,暫且叫做「中值法」吧。 一個實數的平方根為絕對值相等的一正一負兩個數,所以,a應該是兩個值。 【中值法步驟】 1、確定區間[a1,a2],使a1�0�5≤a�0�5≤a2�0�5。一般區間可考慮整數,如[100,200]、[500,600]等。 2、取區間中間值a3,即a3=(a1+a2)÷2。 3、計算a的初值a4,即a4=(a3+a�0�5÷a3)×0.5 4、計算a的准確值。a5=(a4+a�0�5÷a4)×0.5,如果a5與a4相差很小,根據a�0�5的個位數,判斷a的個位數,確定a的准確值。 如果a�0�5是一個完全平方數(及a為整數),到上面第4步時,結果就已經出來了;如果不是一個完全平方數(即a是一個小數),並且需要精確到小數點後n位,則重復第3、4步,直到小數位數達到需要的n位,就可以了。 假設a�0�5=53,509,225,求a 1、判斷a區間。明顯 7,000<a�0�5<8,000 2、取區間中間值。 (7,000+8,000)÷2=7,500 3、計算初值。 (7,500+53,509,225÷7,500)×0.5=7,317.281,667 4、確定準確值。 (7,317.281,667+53,509,225÷7,317.281,667)×0.5=7,315.000,356 這個結果與初值相差不大。且a�0�5的個位為5,所以,a值就是7,315和 -7,315
㈨ 怎麼手動開方
1.從個位起向左每隔兩位為一節,若帶有小數從小數點起向右每隔兩位一節,用「,」號將各節分開; 2.求不大於左邊第一節數的完全平方數,為「商」; 3.從左邊第一節數里減去求得的商,在它們的差的右邊寫上第二節數作為第一個余數; 4.把商乘以20,試除第一個余數,所得的最大整數作試商(如果這個最大整數大於或等於10,就用9或8作試商); 5.用商乘以20加上試商再乘以試商。如果所得的積小於或等於余數,就把這個試商寫在商後面,作為新商;如果所得的積大於余數,就把試商逐次減小再試,直到積小於或等於余數為止; 6.用同樣的方法,繼續求。 追問: 沒有簡單方法嗎? 回答: 手動開平方 1.將被開方數的整數部分從個位起向左每隔兩位劃為一段,用撇號分開,分成幾段,表示所求平方根是幾位數;小數部分從最高位向後兩位一段隔開,段數以需要的精度+1為准。 2.根據左邊第一段里的數,求得平方根的最高位上的數。(在右邊例題中,比5小的平方數是4,所以平方根的最高位為2。) 3.從第一段的數減去最高位上數的平方,在它們的差的右邊寫上第二段數組成第一個余數。 4.把第二步求得的最高位的數乘以20去試除第一個余數,所得的最大整數作為試商。(右例中的試商即為[152/(2×20)]=[3.8]=3。) 5. http://iask.sina.com.cn/ 中「手動開方的方法」,有改動和補充。】 以《九章算術》中求55225的開方為例,圖解說明。 | 5』 52』 25 (1) 2 | 5』 52』 25 (2) | 4 |1』 52 (3) 152/(2×20)=3+... | 1』 52』 (4) (2×20+3)×3=129 | 1』 52』 (5) 1 29 | 23』 25 (6) 2325/(23×20)=5+... | 23』 25 (7) (23×20+5)×5=2325 | 23』 25 (8) | 23』 25 (9) 0 (10) 於是,235即為所求。