向量空間的正確方法

❶ 向量空間怎樣理解

維數相同的行向量或列向量組成的集合叫向量組V={ v1,v2,v3......vn}.
向量組中任意選兩個向量(v1和v2)進行數乘(如kv1)和加法運算(v1+v2)後仍在向量組V內,則稱向量組V是一個向量空間.
如:V={ (x,y) | x \in R, y \in R}是一個向量空間,它符合上面的描述.(\in是屬於的意思,我打不出符號)
V={ (x,y,z) | x*x+y*y+z*z<=9}不是向量空間,他不符合上面的描述

❷ 向量的向量空間

研究向量空間一般會涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或復數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。
一個實數或復數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。
一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。
一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。 一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作span（B）。給出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V， 則稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R0，R1，R2，R3。。。，R∞，。。。中，Rn 的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以坐標系統來呈現。
向量的中線公式
若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則OP=1/2(OA+OB)

❸ 空間向量法的應用和特點 最好舉例子

空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。
如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得 或對空間一定點O有
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若： （其中x＋y＋z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量 （k∈R）．
4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量 ．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 ，求： 的問題．
6、利用向量求距離就是轉化成求向量的模問題： ．
7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．

首先該圖形能建坐標系
如果能建
則先要會求面的法向量
求面的法向量的方法是 1。盡量在土中找到垂直與面的向量
2。如果找不到，那麼就設n=（x,y,z）
然後因為法向量垂直於面
所以n垂直於面內兩相交直線
可列出兩個方程
兩個方程，三個未知數
然後根據計算方便
取z（或x或y）等於一個數
然後就求出面的一個法向量了

會求法向量後
1。二面角的求法就是求出兩個面的法向量
可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積
如過在兩面的同一邊可以看到兩向量的箭頭或箭尾相交
那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角的補角
如果只能看到其中一個的箭頭和另一個的箭尾相交
那麼上面兩向量的夾角就是所求

2。點到平面的距離就是求出該面的法向量
然後在平面上任取一點（除平面外那點在平面內的射影）
求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量記為n1
點到平面的距離就是法向量與n1的數量積的絕對值除以法向量的模即得所求
例題：
一、空間中角的向量求法

空間中各種角的計算一直以來是立體幾何教學中的重點也是難點，藉助於向量的夾角公式可以很方便的避開尋找角的過程，而是通過對向量夾角的計算來實現。

夾角公式：設

則

現以近幾年的高考題來分析這個公式在求解異面直線所成角及二角的平面角問題中的應用。

⒈異面直線所成角的計算問題

求異面直線所成角一般可以通過在異面直線上選取兩個非零向量 和 ，通過求這兩個向量的夾角得出異面直線所成角

例1 （2006廣東卷）如圖5所示，AF、DE分別是⊙O、⊙O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直徑，AB＝AC＝6，OE//AD.

⑴ 求直線BD與EF所成的角

解：以O為原點，BC、AF、OE所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0， ，0），B（ ，0，0）,D（0， ，8），E（0，0，8），F（0， ，0）

所以，

設異面直線BD與EF所成角為 ，則

直線BD與EF所成的角為

方法小結：空間向量在解決異面直線所成角的計算時，通常要先建立空間直角坐標系，然後利用計算出兩個向量的坐標在帶入夾角公式中計算，特別注意的是由於向量夾角的范圍是 ，而異面直線所成角的范圍確是 ，所以一定要注意最後計算的結果應該取正值。

⒉關於二面角的二面角的計算

二面角的計算可以採用平面的法向量間的夾角來實現，進而轉化為對平面法向量的求解。最後要注意法向量如果同向的話，其夾角就是二面角平面角的補角，異向的話就是二面角的平面角。

例2 在正三稜柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側面AC1。若 AA1=A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1所成的二面角的度數α。

解：以A1為原點，構造空間直角坐標系，如圖8，設△A1B1C1邊長為1，則A1（0，0，0），B1（ ， ，0），C1（0，1，0），A（0，0，1），B（ ， ，1），顯然 是平面A1B1C1的法向量，

又AA1=A1B1，所以 ⊥ ，從而 是平面A1EC的法向量， =（0，0，1）， =（0，1，－1），設此兩法向量的夾角為θ，

則 cosθ= ，

從而 coa(π－θ)=cosα= ，

∴所求二面角的度數為α=arcos = 450

方法小結：藉助平面的法向量求解二面角的平面角時，一定要注意判斷法向量間的方向。

二、空間中距離的計算

藉助向量求解距離主要有兩種方法，通過距離公式或者向來能夠的正投影。

⑴設 ，則

⑵如圖，點A到平面a的距離等於a的斜線段AB在a的法向量 上的正射影長，即：d＝A1B1＝ ；

⑶a、b為異面直線，，若bÌa，a∥a， 為a的向量，A1、B1分別為a、b上兩點在 上的正射影，則a、b的距離d＝A1B1＝

例3 已知: 平面α，直線l上有兩點A，B到平面α的距離分別為m，n，C為直線l上任意一點(不與A，B重合)，且AC∶CB=λ， 求點C到平面α的距離。

分析：此題通過化歸為平面幾何問題，結合向量共線充要條件，使得問題的解決順其自然，而無需死記坐標公式。

解: 以直線l在平面α的射影 為x軸，以直線l與 的交點O為原點建立直角坐標系，如圖，設A(xA，m)，B(xB，n)，C(xC，yC)，設各點在 上的射影分別為A1，B1，C1，

=（xC－xA，yC－m）， =(xB－xC，n－yC)。

已知AC∶CB=λ，且A、B、C三點共線，則向量 =±λ ，

即 （xC－xA，yC－m）=±λ(xB－xC，n－yC)，

yC－m=±λ(n－yC)，

得 (取正號)，yC= (取負號)，

有兩個結果是由於A，B或在平面同側或在平面異側，

當A、B同側，C到平面距離為 ， 異側， yC= 。

(說明，此題通過化歸為平面幾何問題，結合向量共線充要條件，使得問題的解決順其自然，而無需死記坐標公式。)

三．空間中的證明

用平面的法向量和直線的方向向量來證明空間幾何問題，簡單快捷。解題的關鍵是先確定與問題相關的平面及其法向量.如果圖中的法向量沒有直接給出，那麼必須先創設法向量.

例4 四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD，E、F分別為PA、PC上的中點。

(1) 求證：四棱錐的高取任意值（不為0），平面PAD與平面PCD所成的二面角恆大於900；

(2) 當四棱錐的高為何值時，PD⊥平面EFB。

證明（1）：以B為原點，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖。

設四棱錐高為h，則各點坐標為A（0，a，0），C（a，0，0），P（0，0，h）。過點B作BB1⊥AP交AP於點B1，則B1（0，y，z），（顯然z≠0），

∵ ⊥平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，

∴ =（0，－y，－z）是平面PAD的法向量，

同理可得平面PCD的法向量 =（－x，0，－z）,

設此兩法向量夾角為θ，

則cosθ= ＞0 ，

從而所求二面角的餘弦值 cos(π－θ)＜0。

∴平面PAD與平面PCD所成的二面角恆大於900 。

解（2）：E(0， ， )，F( ，0， )，D(a，a，0)，

若 ⊥平面EFB，則 · =(a，a，－h)·(0，－ ，－ )=0，

即 － + =0 ，

化簡得 a=h，∴當h=a時，PD⊥平面EFB。

❹ 空間向量的學習方法

如果確定是用空間向量的話，
你可以先建立空間直角坐標系，然後把所有需要的點的坐標寫出。結合問題，看看是求什麼

把向量的坐標寫出來，用坐標可以求夾角、距離、長度等等
其實用空間向量是最容易的，只要計算不出錯就行了。
不用太多的思考。

用的公式可以是：
cos&=(a*b)/(|a|*|b|)

用上面的的角度，再加上一條邊的長度可以求距離。。。。。

❺ 空間向量的定義與運算知識要點

空間向量（space vector）是空間中具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的長度或模（molus)。 規定，長度為0的向量叫做零向量，記為 0. 模為1的向量稱為單位向量。 與向量 a長度相等而方向相反的向量，稱為 a的相反向量。記為- a 方向相等且模相等的向量稱為相等向量。

中文名
空間向量
外文名
space vector
基本定理
1共線向量定理

兩個空間向量a,b向量(b向量不等於0），a∥b的充要條件是存在唯一的 實數λ，使a=λb

2共面向量定理

如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的 充要條件是：存在唯一的一對實數x,y,使c=ax+by

3 空間向量分解定理

如果三個向量a、b、c不共面，那麼對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。

卦限

三個坐標面把 空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸 正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按 逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。[1]

空間向量的八個卦限的符號

Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
x
+
-
-
+
+
-
-
+
y
+
+
-
-
+
+
-
-
z
+
+
+
+
-
-
-
-
問題
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。

常識
以下用向量法求解的簡單常識：

1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的 有序實數對x、y，使得PM=xPA+yPB

2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），則四點P、A、B、C共面．

3、利用向量證a∥b，就是分別在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．

4、利用向量證a⊥b，就是分別在a，b上取向量a·b=0 ．

5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取a,b，求：<a,b>的問題．

6、利用向量求距離即求向量的模問題．

7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．

計算
第一步：

按照圖形建立三維坐標系O-xyz

空間向量
之後，將點的坐標帶進去，求出所需向量的坐標。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

因為法向量垂直於此平面

所以n垂直於此面內兩相交直線（其方向向量為a，b)

可列出兩個方程n·a=0,n·b=0

兩個方程，三個未知數

然後根據計算方便

取z（或x或y）等於一個數（如：1，√2等）

代入即可求出面的一個法向量n的坐標了.

會求法向量後

1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的餘角或者夾角減去π/2.

2.點到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，

求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量，記為a

點到平面的距離就是法向量n與a的數量積的絕對值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量

可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)

那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。

4.設直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν則

線線平行 l∥m<=>a∥b<=>a=kb

線面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0

面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν

空間向量
線線垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0

線面垂直 l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ

面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=0

5.向量的坐標運算：設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則

1.|a|=√（x1²+y1²)

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a·b=x1x2+y1y2

6.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般寫為：x1y2-x2y1=0)

7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]

註：x1中的1為下標，以此類推

❻ 向量空間是什麼意思

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。

(6)向量空間的正確方法擴展閱讀：

若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或「線性映射」。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定後，線性映射可以用矩陣來表達。

同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

1、一個實數或復數向量空間加上長度概念。就是范數稱為賦范向量空間。

2、一個實數或復數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。

3、一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。

4、一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。

❼ 空間向量計算方法

空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。
如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得
或對空間一定點O有
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：
（其中x＋y＋z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量
（k∈R）．
4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量
．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取
，求：
的問題．
6、利用向量求距離就是轉化成求向量的模問題：
．
7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．

❽ 空間向量

空間向量作為新加入的內容，在處理空間問題中具有相當的優越性，比原來處理空間問題的方法更有靈活性。
如把立體幾何中的線面關系問題及求角求距離問題轉化為用向量解決，如何取向量或建立空間坐標系，找到所論證的平行垂直等關系，所求的角和距離用向量怎樣來表達是問題的關鍵．
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這里比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等為向量，由於圖不方便做就如此代替，下同）
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a‖b，就是分別在a，b上取向量 （k∈R）．
4、利用向量證在線a⊥b，就是分別在a，b上取向量 ．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 ，求： 的問題．
6、利用向量求距離就是轉化成求向量的模問題： ．
7、利用坐標法研究線面關系或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．
首先該圖形能建坐標系
如果能建
則先要會求面的法向量
求面的法向量的方法是 1。盡量在空中找到與面垂直的向量
2。如果找不到，那麼就設n=（x,y,z）
然後因為法向量垂直於面
所以n垂直於面內兩相交直線
可列出兩個方程
兩個方程，三個未知數
然後根據計算方便
取z（或x或y）等於一個數
然後就求出面的一個法向量了
會求法向量後
1。二面角的求法就是求出兩個平面的法向量
可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積 ：cos<a,b>=|n·n1|/|n|
如過在兩面的同一邊可以看到兩向量的箭頭或箭尾相交
那麼二面角就是上面求的兩法向量的夾角的補角
2。點到平面的距離就是求出該面的法向量 在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，
求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量記為n1
點到平面的距離就是法向量與n1的數量積的絕對值除以法向量的模即得所求
設直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν 則
線線平行 l‖m <=> a‖b <=> a=kb；
線面平行 l‖α <=> a⊥μ <=> a·μ=0；
面面平行 α‖β <=> μ‖ν <=> μ=kν
線線垂直 l⊥m <=> a⊥b <=>a·b=0；
線面垂直 l⊥α <=> a‖μ <=> a=kμ；
面面垂直 α⊥β <=> μ⊥ν <=> μ·ν=0

❾ 學空間向量有什麼方法和技巧

1、牢記平面向量的各種公式和定理
2、與立體幾何相結合