⑴ 隨機模擬方法
2.2.1 隨機模擬的直接演算法
對隨機問題（帶有場域隨機性或時域隨機性）分析的直接模擬方法的基本步驟是：
（1）建立描述和刻畫系統行為功能的確定性分析模型，並確定其求解方法。
（2）分析和確認基本的隨機變數（隨機場）及其分布函數。採用蒙特卡羅方法產生隨機數（隨機樣本）。
（3）根據所產生的隨機樣本，按確定性分析方法求解所模擬問題的輸出量（系統反應）。
（4）計算分析系統反應量的樣本反應估計值，如樣本反應均值，樣本反應方差及樣本反應譜密度估計等。
2.2.2 Neumann展開演算法
對許多工程問題的分析計算最終都歸結為計算求解下列形式的線性方程組：
地下水系統隨機模擬與管理
式中：K——受隨機變數影響的系統結構整體剛度矩陣；
F——由邊界和系統外部條件確定的列向量；
H——系統狀態反應列向量。
由於矩陣K一般具有對稱正定性，所以可用Cholesky分解法求解上述方程，即取：
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而H可由下列兩步求解過程給出：
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在隨機模擬的直接演算法中，每產生一次隨機樣本結構，就要進行一次（2.14）式的分解運算，而為了獲得更加精確的隨機樣本的統計量，必然會有大量的隨機樣本產生，所以其計算工作量非常之大，而利用Neumann展開思想，可以在全部模擬計算過程中只進行Cholwsky分解，從而使計算工作量大大降低。為此設：
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式中：K0——均值參數結構所對應的系統整體結構矩陣；
ΔK——樣本結構關於均值參數結構的偏差部分。
顯然：
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由式（2.13）及式（2.17）有：
令：
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則由Neuman展開公式有：
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將式（2.21）代入式（2.19）有：
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顯然可得下列遞推公式：
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將式（2.20）代入式（2.23）並稍作變換即有：
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於是，一旦由K0 H0=F（2.25）
求出H0，即可用遞推公式依此求得H1，H2，…，Hn。代入（2.22）便得樣本反應量H。
原則上，Neumann展開演算法只是隨機模擬演算法實施過程中為節省運算工作量而採取的一項技術措施，而對於隨機模擬的思想則未做任何改進。
2.2.3 攝動演算法
對於確定性物理問題的控制方程可以表示為帶有小參數的方程。
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式中：L——一般的線性運算元；
H——所研究物理問題的解，H一般可表示為H=H（X，ε）；
X——控制自變數；
ε——小參數。
一般地說，方程（2.26）所描述的問題往往不能精確地解出，但根據H為X和ε的函數且ε是小參數的特點，可以用ε的一個漸近展開式來表示H，即：
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式中Hi（x）與ε無關。
將式（2.27）代入式（2.26），並將ε的同次冪系數合並起來可得：
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式中：L0，L1，L2，…——空間H中的線性運算元；
h——關於x的實函數，可根據具體情況給出它們的形式。
由於方程（2.28）對所有的ε都必須成立，又因為ε的序列是線性無關的，故ε各次冪前面的系數項必須自動為零，即有：
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式（2.29）構成了關於Hi（x）的遞推方程組。
根據邊初值條件可依次求得序列H0，H1，H2，…從而代入式（2.27）可得H（x，ε）的近似解。
將上述關於確定性物理問題的攝動求解思想推廣到帶有隨機參數的問題中來，就構成了隨機參數攝動問題，為此，設所考慮問題的隨機微分運算元方程為：
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式中：L——運算元符號；
x——自變數；
ξ——某一給定分布的隨機變數；
Y——一隨機函數，可表示為Y=Y（x，ξ）。
隨機變數 可轉化為用標准隨機變數表示的形式：
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式中：ξ0——隨機變數ξ的均值；
ξr——隨機變數ξ的均方差；
b——均值為零，方差為1的標准化隨機變數。
將式（2.31）代入式（2.30）有：
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利用隨機函數的冪級數展開式可將解Y（x，ξ）展開為關於隨機變數b的級數：
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由於-b=0，故上式可表示為：
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由於 y 未知，所以系數式等也是未知的，但可將上式等價地寫為：
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顯然，上式中的系數Ui（x）與b無關，為一確定性函數。
將式（2.34）代入式（2.32）並經適當的運算後將b的不同次冪系數項合並起來，可得：
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式中：L0，L1，L2，…，Ln——確定性運算元；
h——關於x的實函數。
由於隨機變數b具有任意性，因此，式（2.35）成立的充分條件是各系數項皆為零，由此可得：
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上述方程組為一組確定性運算元方程，當給定邊界條件和初值條件以後，便可依次求出解U0，U1，U2，…回代方程（2.13）後即可得到y（x，ξ）的形式解答，而解答的均值與方差分別為：
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