怎麼用開平方法解一元一次方程

① 解一元一次方程的方法有3種

一元二次方程的解法

一、知識要點：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基

礎，應引起同學們的重視。

一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例題精講：

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解為x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以

此方程也可用直接開平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項系數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=

當b2-4ac≥0時，x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項系數化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項

系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓

兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般

形式，同時應使二次項系數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式

法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。

例5．用適當的方法解下列方程。(選學）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差

公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。

（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

（3）化成一般形式後利用公式法解。

（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。

說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求，必要時進行分類討論。

練習：

（一）用適當的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參考答案：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試

選擇題

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、無實根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不對

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,

注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。

2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1

時，方程成立，則必有根為x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，

則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.

另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！

5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。

8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理為：(x-)2=

方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

中考解析

考題評析

1．（甘肅省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確

選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元

二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為

C。

另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（遼寧省）方程的根為（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、

B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。

評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。

5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方

根，即可選出答案。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二

次的整式方程。 一般形式為

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它

的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次

方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中

之一。

公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公

式。

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種

不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次

給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的

數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。

韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。

我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學

家還在方程的研究中應用了內插法。

② 解方程有幾種方法如何才能輕松求解

在上小學的時候，很多學生都會接觸到加法、乘法、除法和減法，在上小學高年級的時候，比如說五六年級就有可能接觸到方程。對於小學生來說方程是比較難的，但是如果你掌握到解方程的技巧，也能夠輕松的把方程解出來。那你知道解方程有幾種方法嗎？如何才能夠輕松求解呢？

總結

所以雖然方程比較難，但是如果你掌握了正確的方法，就能夠用不同的方法將這個方程解出來。在學習數學的時候，不要想著一口吃成胖子，應該一步一步的學習，將基礎打好之後才能夠把比較難的題解出來。

③ 如何解一個方程，都可以用哪些方法

解方程的步驟：
1、去括弧：
（1）運用乘法分配律；
例如：
x/3=x/2
x/3*6=x/2*6
2x=3x
（2）括弧前邊是「－」，去掉括弧要變號；括弧前邊是「＋」，去掉括弧不變號。
例如：
-（x-1）=0
-x+1=0
2、移項：
方法1：運用等式性質，兩邊同加或同減，同乘或同除；
例如:
x/3-1=x/2-2
x/3-1+1=x/2-2+1
x/3=x/2+1
x/3*6=x/2*6+1*6
2x=3x+6

方法2：符號過牆魔法，越過「=」時，加減號互變，乘除號互變。
例如：
2x*3=x/2-2
2x=1/3(x/2-2)
2x=x/6-2/3
注意：
（1）總是移小的；
（2）帶未知數的放一邊，常數值放另一邊。
3、合並同類項：未知數的系數合並；常數加減計算。
4、系數化為1：利用同乘或同除，使未知數的系數化為1。
例如：
x/3=x/2
x/3*6=x/2*6
2x=3x
2x/2=3x/2
x=3x/2
5、寫出解：未知數放在「=」左邊，數值（即解）放右邊；如x=1
6、驗算：將原方程中的未知數換成數，檢查等號兩邊是否相等。
注意：（1）做題開始要寫「解：」 （2）上下「=」要始終對齊
例如：
x+1=10
x=9
檢驗：
把x=9帶入方程的左邊=9+1=10=等式的右邊，成立