1.求和問題:
正常的等差等比數列求和公式，裂項相消，累加累乘，錯位相減還有一般項求和等方法。
2.求通項問題:
(1)等差數列:通法是將已知的一些項都化成首項a1及公差d的形式，然後再通過至少兩個方程，用解方程組的方式來解得這兩個未知量a1和d,再求通項an=a1+(n-1)d.但是具體問題要具體分析，比如有時要用到等差數列的對稱求和性，以簡化計算。例如S2k-1=(2k-1)ak,
am+an=am-1+an-1=...
(2)等比數列:等比數列相對要簡單得多，只要將所給的條件中的項都化成首項a1及公比q的形式就行了。
② 數列求和有幾種不同的方法高考中經常用的是哪幾種
數列求和的幾種常用方法
數列求和是數列部分的重要內容,題型復雜多變,我們根據不同題型總結出一些方法.它對數列的學習是有好處的.
一、 反序相加法
例1 求數列{n}的前n項和.
解 記Sn=1+2+…+(n-1)+n,
將上式倒寫得: Sn=n+(n-1)+…+2+1
把兩式相加,由於等式右邊對應的項和均為n+1,
∴2 Sn=n(n+1),即Sn= n(n+1)
說明 此法亦稱為高斯求和.
二、 錯位相減法
若{an}為等差數列,{bn}為等比數列,則{anbn}的前n項和可用錯位相減法.
例2 求和S =
解 由原式乘以公比 得:
Sn=
原式與上式相減,由於錯位後對應項的分母相同,可以合並,
∴Sn- Sn= +
即 Sn=3
一般地, 當等比數列{bn}的公比為q, 則錯位相減的實質是作「Sn- qSn」求和.
三、 累加法
例3 求和Sn=
分析 由 得
,令k=1、2、3、…、n得
2 －1 =3•1 ＋3•1＋1
3 －2 ＝3•2 ＋3•2＋1
4 －3 ＝3•3 ＋3•3＋1
……
（n+1） －n =3n +3n+1
把以上各式兩邊分別相加得：
（n+1） －1=3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n
=3Sn+ n(n+1)+n
因此，Sn＝ n(n+1)(2n+1)
想一想 利用此法能否推導自然數的立方和公式：
點撥 利用(k+1) =k +4k +6k +4k+1進行累加.
歸納 推導自然數的方冪和 公式的方法。
四、 裂項法
從一般項入手，尋找規律，有時往往把一般項折項，使
得折項後能相消或歸結於基本類型。
(1) 裂項分組
例4 求數列:
的前n項的和.
分析 從一般項入手，記a = ，
則 an＝ ＝ .
可見，每一項都可分成一個常數項與一個等比數列的和，若記原數列的前n項為Sn，則
Sn＝
(2) 裂項相消
例5 求和：S ＝
分析 從一般項考慮知： ，
所以將各項裂項後，前後的相鄰項可以相消。
即 S ＝
例5 求證 tgxtg2x+tg2xtg3x+…+tg(n-1)xtgnx= -1
觀察 觀察式子的結構特點,左邊各項的兩因式的角之差
為定值x,從一般項入手,能否使之裂項出現這兩角的差?
點撥 考慮兩角差的正切函數公式的變式.
事實上,由tg(k-1)xtgkx= -1,
令k=2,3,…,n.各式相加即得結論.
③ 高中數列求和的幾種方法
1.
公式法：
等差數列求和公式:
sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
sn=na1(q=1)sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
2.錯位相減法
適用題型：適用於通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式
{
an
}、{
bn
}分別是等差數列和等比數列.
sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：
an=a1+(n-1)d
bn=a1·q^(n-1)
cn=anbn
tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qtn=
a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn=
a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)
tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)
sn
=a1+
a2+
a3+......
+an
sn
=an+
a(n-1)+a(n-3)......
+a1
上下相加
得到2sn
即
sn=
（a1+an)n/2
4.分組法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合並即可.
例如：an=2^n+n-1
5.裂項法
適用於分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然後累加時抵消中間的許多項。
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例]
求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則sn
=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）＝
1-1/(n+1)＝
n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
例：求證：1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)
=
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明：
當n=1時，有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
=
2×3×4×5×(1/5
+1)
=
2×3×4×5×6/5
假設命題在n=k時成立，於是：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有：
1×2×3×4
+
2×3×4×5
+
3×4×5×6
+
……
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
1×2×3×4
+
2×3×4*5
+
3×4×5×6
+
……
+
k(k+1)(k+2)(k+3)
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
+
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5
+1)
=
[(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立，歸納得證
7.通項化歸
先將通項公式進行化簡，再進行求和。
如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8.並項求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
（並項）
求出奇數項和偶數項的和，再相減。
④ 誰幫我總結下高中數學中常用的數列求和裂
大約共有五種方法：
一。公式法
當你確定一個數列是等差或等比數列時，直接用等差或等比數列的前n項和公式去求
二。分組求和
當一個數列是由等差或等比數列相加而得時，用分組轉化法分別求和再相加
三。錯位相減
當一個數列是由一個等差和一個等比相乘而得時，用錯位相減法
四。裂項相消法
當一個數列是分式的形式時，一般用裂項相消
五。並項求和法
當一個數列的項是正負相間時，可以兩項並一項