解一元二次方程的方法還有哪些

㈠ 一元二次方程6種解法是什麼

一元二次方程只有五種解法，沒有六種，如下：

1、直接開平方法

對於直接開平方法解一元二次方程時注意一般都有兩個解，不要漏解，如果是兩個相等的解，也要寫成x1=x2=a的形式，其他的都是比較簡單。

2、配方法

在化成直接開平方法求解的時候需要檢驗方程右邊是否是非負的，如果是則利用直接開平方法求解即可，如果不是，原方程就沒有實數解。

3、公式法

公式法是解一元二次方程的根本方法，沒有使用條件，因此是必須掌握的。用公式法的注意事項只有一個就是判斷「▲」的取值范圍，只有當△≥0時，一元二次方程才有實數解。

4、因式分解法

因式分解，在初二下學期的時候重點講了，之前也有相關的文章，重要性毋庸置疑，在一元二次方程里，因式分解法用的還是挺多的，難度非常容易調節，所以也是考試出題老師非常喜歡的一類題型。

5、圖像解法

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的幾何意義是二次函數y=ax2+bx+c的圖像(為一條拋物線)與x軸交點的x坐標。

當△>0時，則該函數與x軸相交(有兩個交點)。

當△=0時，則該函數與x軸相切(有且僅有一個交點)。

當△≤0時，則該函數與軸x相離(沒有交點)。

㈡ 解一元二次方程的方法除了十字相乘法還有什麼方法

方法一：配方法。例：4x²-12x-1=0，系數化為1得：x²-3x-1/4=0，把常數項移到等號的右邊得x²-3x=1/4，下面配方：等號的兩邊同時乘以一次項系數一半的平方，這樣得出結果x1=½√10+3/2，x2=-½√10+3/2。

方法二：公式法。例：ax²+bx+c=0，根據判別式Δ=b2-4ac判別根的情況，當Δ=b2-4ac<0時，方程無解。當Δ=0時，方程有兩個相同的解x=b/-2a。當Δ>0時，方程有兩個不同的解x=-b+Δ/2a，x=-b-Δ/2a。

(2)解一元二次方程的方法還有哪些擴展閱讀：

解一元二次方程的注意事項：

一、注意實根的存在條件。

一元二次方程有實根的條件為Δ≥0，當△<0時方程無實根.根據實根的存在條件，可求一元二次方程的字母系數。

二、當二次項系數含字母系數時，若題意未說明方程為一元二次方程，要注意對二次項系數，進行分類討論。

三、注意方程中的其他隱含條件。

將一元二次方程知識與其他知識結合，構成具有一定綜合性的題目解這類題目，除注意上述要注意的問題外，還要注意題目的其他隱含條件，如：三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

㈢ 解一元二次方程的方法有哪些

一元二次方程的解法 一、知識要點： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基 礎，應引起同學們的重視。 一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解 法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例題精講： 1、直接開平方法： 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項系數化為1：x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2= 當b2-4ac≥0時，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項系數化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項 系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓 兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個 根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小結： 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般 形式，同時應使二次項系數化為正數。 直接開平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式 法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程 是否有解。 配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方 法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。 例5．用適當的方法解下列方程。(選學） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差 公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。 （2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。 （3）化成一般形式後利用公式法解。 （4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我 們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即(5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可變形為 x2+px=-q (常數項移到方程右邊) x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方) (x+)2= (配方) 當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。 說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母 取值的要求，必要時進行分類討論。 練習： （一）用適當的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列關於x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 練習參考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即(2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 測試 選擇題 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、無實根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不對 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案與解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5, 注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。 2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1 時，方程成立，則必有根為x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零， 則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0. 另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！ 5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0, 則(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。 8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理為：(x-)2= 方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1 則(x-1)2=m+1. 中考解析 考題評析 1．（甘肅省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或（D） 或 評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確 選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元 二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為 C。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（遼寧省）方程的根為（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、 B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。 評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。 5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方 根，即可選出答案。 課外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二 次的整式方程。 一般形式為 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它 的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次 方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。 埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。 在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。 希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中 之一。 公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公 式。 在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種 不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次 給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。 韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。 我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的.

㈣ 一元二次方程6種解法是什麼

一元二次方程沒有6種解法，一元二次方程4種解法：

一、直接開平方法。

形如（x+a)^2=b，當b大於或等於0時，x+a=正負根號b，x=-a加減根號b；當b小於0時。方程無實數根。

二、配方法。

1、二次項系數化為1。

2、移項，左邊為二次項和一次項，右邊為常數項。

3、配方，兩邊都加上一次項系數一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。

4、利用直接開平方法求出方程的解。

三、公式法。

現將方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再將abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大於或等於0）即可。

四、因式分解法。

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等號左邊的代數式容易分解，那麼優先選用因式分解法。

一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：

①是整式方程，即等號兩邊都是整式，方程中如果有分母；且未知數在分母上，那麼這個方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根號，且未知數在根號內，那麼這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）。

②只含有一個未知數。

③未知數項的最高次數是2。

㈤ 解一元二次方程的方法有幾種

有三種方法：
一、配方法歷灶
二、因式分解法
三、公式法肢升扮
舉例如下：
x²-4x+3=0
方法一笑源：
(x-2)²-4+3=0
(x-2)²-1=0
(x-2)²=1
x-2=±1
x1=3
x2=1
方法二：
(x-1)(x-3)=0
x1=1
x2=3
方法三：
x=[4±√(-4)²-4×3]/2
x=(4±2)/2
x1=3
x2=1

㈥ 一元二次方程解法有哪些

一元二次方程的解法有開平方法、求根公式發、配方法等。

1、開平方法

形如x^2=p或(nx+m)^2=p的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。

2、配方法

將一元二次方程配成（x+m）^2=n 的形式，再利用直接開平方法求解。

配方法的理論依據是完全平方公式：

5、圖像解法

利用一元二次方程的根的幾何意義，在圖上畫出曲線，找出曲線與X軸相交的點，即為一元二次方程的解。

㈦ 一元二次方程怎樣解

x=[－b±根號﹙b²－4ac﹚]／﹙2a﹚

△=b²－4ac≥0

用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式的形式．

㈧ 一元二次方程的解法有哪些

一元二次方程有四種解法：直接開平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法為通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。

1、直接開平方法

形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。如果方程化成x²=p的形式，那麼可得x=±√p。如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那麼nx+m=±√p，進而得出方程的根。

2、配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，先將常數c移到方程右邊，將二次項系數化為1，方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方，方程左邊成為一個完全平方式。

3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b²-4ac的值，當b²-4ac≥0時，把各項系數a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

4、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。

把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。

法國的韋達（1540～1603）除推出一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出了根與系數的關系

㈨ 解一元二次方程的四種方法

解一元二次方程的方法介紹如下：

5.說明：一元二次方程有兩個實數根或者沒有實數根，絕對不存在一個實數根；如果方程有實數根，配方法和公式法都能解；直接開平方法要求方程必須是左平方右常數形式；因式分解法要求左邊必須能分解因式為A•B＝0即兩個因式相乘為0，因式分解法的理論依據為：「如果兩個因式的乘積為零，那麼至少有一個因式為零」。