分解因式簡便運算方法

Ⅰ 因式分解是怎麼算的

因式分解，也叫分解因式，
是把多項式，變成一個個式子相乘的形式；
如果需要示意圖，就看看漢字
「目」、「月」
和
「朋」、「用」，
「月」
和
「目」
就是長為
3，寬分別是
a、b
的兩個長方形，
寫成
3a
+
3b
像
「朋」
就是一個兩項式，
如果
「月」
和
「目」
拼成一個
「用」，就是
3(a
+
b)
的一個長方形，
把
3a
+
3b
兩項相加的式子變成
3(a+b)
乘積的式子就是因式分解。
分解因式最簡單的方法，就是提公因式，
不過要注意，公因式不僅是系數、字母，還會是一個式子，例如
(a+b)(3m+2n)
+
(2m+3n)(a+b)，公因式是
(a+b)
=
(a+b)(
3m
+
2n
+
2m
+
3n
)
=
(a
+
b)(
5m
+
5n
)
這樣再提系數
5
=
5(
a
+
b
)(
m
+
n
)
公式法，
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒過來用
a"
-
b"
=
(a
-
b)(a
+
b)
a"
+
2ab
+
b"
=
(a
+
b)"
a"
-
2ab
+
b"
=
(a
-
b)"
a"'
+
b"'
=
(a
+
b)(a"
-
ab
+
b")
a"'
-
b"'
=
(a
-
b)(a"
+
ab
+
b")
分組分解法，十字相乘法，
公讓冊式就是
x"
+
(
a
+
b
)x
+
ab
=
(
x
+
a
)(
x
+
b
)
兩個方法最好坦唯宏結合起來用，
二次三項式，先把一次項一分為二，
接下來把四個項，分開兩組提公因式，做起來就輕松多了；
Q
關鍵是一次項怎樣一分為二，就由常數項的正負來決定，
先看看完全平方式，把
2ab
拆開兩個
ab
做起來也覺得更加可靠。
例如
x"
+
10x
+
25
=
x"
+
5x
+
5x
+
25
=
x(
x
+
5
)
+
5(
x
+
5
)
=
(
x
+
5
)"
這樣也看到，完山做全平方式的
b"
必然是正數
x"
-
10x
+
25
=
x"
-
5x
-
5x
+
25
=
x(
x
-
5
)
-
5(
x
-
5
)
=
(
x
-
5
)"
Q
如果常數項是正數，
一次項就是拆開兩個絕對值比原來小的兩個項；
x"
+
10x
+
24
=
x"
+
4x
+
6x
+
24
=
x(
x
+
4
)
+
6(
x
+
4
)
=
(
x
+
4
)(
x
+
6
)
常數項
24
不變，一次項
±
10x
就都是拆開
4x
與
6x，還有
x"
-
10x
+
24
=
x"
-
4x
-
6x
+
24
=
x(
x
-
4
)
-
6(
x
-
4
)
=
(
x
-
4
)(
x
-
6
)
Q
中間一次項不變，常數項的絕對值也不變，
只要常數項變成相反數，一次項就要改變一分為二的方式
x"
-
10x
-
24
=
x"
-
12x
+
2x
-
24
=
x(
x
-
12
)
+
2(
x
-
12
)
=
(
x
+
2
)(
x
-
12
)
常數項
-24
不變，一次項
±
10x
就都是拆開
2x
與
12x，還有
x"
+
10x
-
24
=
x"
+
12x
-
2x
-
24
=
x(
x
+
12
)
-
2(
x
+
12
)
=
(
x
-
2
)(
x
+
12
)
Q
如果常數項是負數，
一次項系數就是分開兩個項的相差數；
看到了吧，一次項和常數項，絕對值都是
10x
和
24，
分解因式卻有
4
種結果，會不會看得暈頭轉向呢？
怎麼辦？只要這樣一步一步地寫出來，就肯定不會出錯了。
x"
±
5x
±
6
x"
±
10x
±
24
x"
±
15x
±
54
x"
±
20x
±
96
x"
±
25x
±
150
都是這樣有
4
種結果，
使用這個分解因式的方法，你自己也試一試吧。
只要熟悉這個方法，就連二次項系數不是
1
也同樣方便，
例如
4x"
-
31x
-
45
對著
31，我們恐怕不知道怎樣分開兩項
可是看到
-45，我們都會想到
4X9=36，5X9=45，那麼
=
4x"
-
36x
+
5x
-
45
=
4x(
x
-
9
)
+
5(
x
-
9
)
=
(
x
-
9
)(
4x
+
5
)
或者
=
4x"
+
5x
-
36x
-
45
=
x(
4x
+
5
)
-
9(
4x
+
5
)
=
(
x
-
9
)(
4x
+
5
)

Ⅱ 因式分解，哪種方法最簡便。

可以不用公式法，和配方法的時候可以用平方差公式，立方和(差)，完全平方法，十字相乘法更簡便。
如果上述簡便方法都不能用時，只能用公式法，還有一點，如果判別式＜0的話實數范圍內不能分解。

Ⅲ 因式分解12種方法

因式分解12種方法

因式分解12種方法？在解決數學問題的時候，很多人都會用到因式分解法，因式分解法是很多高等數學的基礎。我已經為大家搜集和整理好了因式分解12種方法的相關信息，一起來了解一下吧。

因式分解12種方法1

因式分解12種方法分別是：提公因法、應用公式法、分組分解法、十字相乘法、配方法、添項法、換元法、求根法、圖象法、主元法、利用特殊值法、待定系數法 。方法詳解：

1、提公因法，如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

2、應用公式法，由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

3、分組分解法，要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)。

4、十字相乘法，對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m, c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)。

5、配方法，對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

6、拆、添項法，可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。

7、換元法，有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

8、求根法，令多項式f(x)=0,求出其根為x , x , x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )。

9、圖象法，令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x , x , x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )。

10、主元法 先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

11、利用特殊值法 將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

12、待定系數法 首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

因式分解12種方法2

因式分解的`概念是什麼?

因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等．

1、提公因式法

①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.。

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「－」號，使括弧內的第一項的系數是正的.

2、運用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

3、分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.

4、拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

Ⅳ 數學因式分解的12種方法

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

解方程依據

1、移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘；

2、等式的基本性質

性質1：等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。

(1)a+c=b+c

(2)a-c=b-c

性質2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得的結果仍是等式。

用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。則：

a×c=b×c 或a/c=b/c

性質3：若a=b，則b=a（等式的對稱性）。

性質4：若a=b，b=c則a=c（等式的傳遞性）。

Ⅳ 因式分解最簡單的方式是哪種要詳細的解釋

因式分解最簡單的方式是提公因式法。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。
具體方法：在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的系數有分數時，公因式系數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出負號時，多項式的各項都要變號。
基本步驟：
(1)找出公因式；
(2)提公因式並確定另一個因式：
①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母；
②提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因 式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
口訣：找准公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
因式分解主要有十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

Ⅵ 因式分解法的四種方法

因式分解法的四種方法：提公因式法、分組分解法、待定系數法、十字分解法。

1、一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、分組分解法指通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，分解方式一般分為「1+3」式和「2+2」式。

3、待定系數法是初中數學的一個重要方法。用待定系數法分解因式，就是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數可先用字母表示，它們的值是待定的。

由於這些因式的連乘積與原式恆等，然後根據恆等原理，建立待定系數的方程組，最後解方程組即可求出待定系數的值。

4、十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式（x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

Ⅶ 分解因式的方法與技巧有哪些

1、提公因式法：公因式是指各項都含有公共的因式。提公因式法是指當一個多項式的各項都有公因式時，把這個公因式提出來，將多項式化成兩個或多個因式乘積的形式。

2、公式法：公式法主要是指平方差公式，完全平方公式，立方差公式，立方和公式。

3、十字相乘法：十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。

4、待定系數法：首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

5、換元法：有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

6、求根公式法：令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

7、分組分解法：能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。如：a·x+a·y+b·x+b·y=a·(x+y)+b·(x+y)=(a+b)·(x+y)，把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配。

Ⅷ 怎麼樣因式分解才是最簡的

因式分解定義

把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用，是解決許多數學問題的有力工具。

因式分解方法靈活，技巧性強。學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養解題技能、發展思維能力都有著十分獨特的作用。學習它，既可以復習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養學生的觀察、思維發展性、運算能力，又可咐拆李以提高綜合分析和解決問題的能力。

相關結論

基本結論：分解因式與整式乘法為相反。

高級結論：在高等數學上因式分解有一些重要結論，在初等數學層面上證明很困難，但是理解很容易。

1）因式分解與解高次方程有密切的關系。對於一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於復雜，在非專業領域沒有介紹。對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

2） 所有的三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項式在復數范圍內都可以因式分解。這看起來或許有點不可思議。比如x4+1,這是一個一元四次多項式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數高於3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數法將其分解，只是分解出來的式子並不整潔。(這是因為，由代數基本定理可知n次一元多項式總是有n個根，也就是說，n次一元多項式總是可以分解為n個一次因式的乘積。並且還有一條定理：實系數多項式的虛數根兩兩共軛的，將每對共軛的虛數根對應的一次因式相乘，可以得到二次的實系數因式，從而這條結論也就成立了。)

3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個多項式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉相除法來求得。標準的輾轉相除技能對於中學生來說難度頗高，但是中學有時候要處理的多項式次數並不太高，所以反復利用多項式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。

4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。

分解一般步驟

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

口訣：先提首項負號，再看有無公因式，後看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

原則

1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括弧，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，御寬然後再抽出公因子；

6、括弧內的首項系數一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；

8、考試時在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數。

口訣：衡遲首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。

Ⅸ 求關於多項式（高次）因式分解的簡便方法!

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.
(6)應用因式定理：如果f（a）=0,則f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式
另外,在多次多項式內,還可以用雙十字相乘法,輪換對稱法解決.
主要注意事項：初學因式分解的「四個注意」
因式分解初見於九年義務教育三年制初中教材《代數》第二冊,在初二上學期講授,但它的內容卻滲透於整個中學數學教材之中.學習它,既可以復習初一的整式四則運算,又為本冊下一章分式打好基礎；學好它,既可以培養學生的觀察、注意、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力.其中四個注意,則必須引起師生的高度重視.
因式分解中的四個注意散見於教材第5頁和第15頁,可用四句話概括如下：首項有負常提負,各項有「公」先提「公」,某項提出莫漏1,括弧裡面分到「底」.現舉數例,說明如下,供參考.
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式.
－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
這里的「負」,指「負號」.如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項系數是正的.防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤?膊荒薌 漢啪拖取疤帷保 勻 飩 蟹治觶?/p>
如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0,求證這個三角形是等腰三角形.
分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解.
證明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0,∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0,∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三條邊,∴a＋2b＋c＞0,∴a－c＝0,
即a＝c,△abc為等腰三角形.
例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式.－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
這里的「公」指「公因式」.如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式；這里的「1」,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括弧內切勿漏掉1.防止學生出現諸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的錯誤.
例4 在實數范圍內把x4－5x2－6分解因式.
x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）
這里的「底」,指分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.即分解到底,不能半途而廢的意思.其中包含提公因式要一次性提「干凈」,不留「尾巴」,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解.防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤.
由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適」是一脈相承的.
例題：3ab+5b
-22y2+35y-3
a^2+b^2+ab+a+b+a+1

Ⅹ 怎麼快速分解因式

因式分解的一般步驟是:一提二套三分解
一提:即提公因式,看到因式分解的題目,首先看有沒有公因式,若有,則
先提公因式;若沒有,則套用公式.
二套:即套用公式,在沒有公因式的前提下,則套用公式,
常用公式有:a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
十字相乘法:x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
舉例:x^2+5x+6=(x+3)(x+2)
即分組分解法.對於四項或四項以上的,一般都採用這種方法
下面主要對分組分解法和其他常見的方法歸納如下．
一、分組分解因式的幾種常用方法．
1．按公因式分解
例1 分解因式7x2-3y+xy+21x．
分析：第1、4項含公因式7x,第2、3項含公因式y,分組後又有公因式(x-3),
原式=(7x2-21x)+(xy-3y)=7x(x-3)+y(x-3)=(x-3)(7x+y)．
2．按系數分解
例2 分解因式x3+3x2+3x+9．
分析：第1、2項和3、4項的系數之比1：3,把它們按系數分組．
解；原式=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．
3．按次數分組
例3 分解因式 m2+2m·n-3m-3n+n2．
分析：第1、2、5項是二次項,第3、4項是一次項,按次數分組後能用公式和提取公因式．
原式=(m2+2m·n+n2)+(-3m-3n)=(m+n)2-3(m+n)＝(m+n)(m+n-3)．
4．按乘法公式分組
分析：第1、3、4項結合正好是完全平方公式,分組後又與第二項用平方差公式．
5．展開後再分組
例5 分解因式ab(c2+d2)+cd(a2+b2)．
分析：將括弧展開後再重新分組．
原式=abc2+abd2+cda2十cdb2＝(abc2+cda2)+(cdb2+abd2)＝ac(bc+ad)+bd(bc+ad)＝(bc+ad)(ac+bd)．
6．拆項後再分組
例6 分解因式x2-y2+4x+2y+3．
分析：把常數拆開後再分組用乘法公式．
原式=x2-y2+4x+2y+4-1=(x2+4x+4)+(-y2+2y-1)=(x+2)2-(y-1)2=(x+y+1)(x-y+3)．
7．添項後再分組
例7 分解因式x4+4．
分析：上式項數較少,較難分解,可添項後再分組．
原式=x4+4x2-4x2+4=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
二、用換元法進行因式分解
用添加輔助元素的換元思想進行因式分解就是原式繁雜直接分解有困難,通過換元化為簡單,從而分步完成．
例8 分解因式(x2+3x-2)(x2+3x+4)-16．
分析：將令y=x2+3x,則原式轉化為(y-2)(y+4)-16再分解就簡單了．
令y=x2+3x,則
原式=(y-2)(y+4)-16=y2+2y-24=(y+6)(y-4)．
因此,原式=(x2+3x+6)(x2+3x-4)=(x-1)(x+4)(x2+3x+6)．
三、用求根法進行因式分解
例9 分解因式x2+7x+2．
分析：x2+7x+2利用上述各方法皆不好完成,但仍可以分解,可用先求該多項式對應方程的根再分解．
四、用待定系數法分解因式．
例10 分解因式x2+6x-16．
分析：假設能分解,則應分解為兩個一次項式的積形式,即(x+b1)(x+b2),將其展開得
x2+(b1+b2)x十b1·b2與x2+6x-16相比較得
b1+b2=6,b1·b2=-16,可得b1,b2即可分解．
設x2+6x-16=(x+b1)(x+b2)
則x2+6x-16=x2+(b1+b2)x+b1·b2
∴x2+6x-16=(x-2)(x+8)．