科學的數集擴充方法有哪些

㈠ 高等代數中數集是怎樣擴充的

設子空間上的一組基為{e1,e2,,er}任取一組整個空間上的基舉嘩{f1,f2,,fn}把fi依次一個一個地虧歲放入子空間的基，比如{e1,e2,,er,f1},如果這組向量線性相關，則拿掉f1，如正空行果線性無關，則留在裡面，擴充了一個，記f1=e_(r+1)再把f2放進去{e1,e2,,er,e_(r+1),f2}同上述過程一樣。最終得到一組線性無關的向量{e1,e2,es}容易看出{f1,f2,,fn}能與{e1,e2,es}互相線性表示得出{e1,e2,es}的極大無關組個數為n又因為{e1,e2,es}線性無關，所以s=n所以{e1,e2,en}就是擴充後的一組基。

㈡ 從自然數集N擴充到實數集R經歷了哪幾次擴充,擴充後各加入了何種新數

第一節 自然數和數的擴充

1．數的兩種擴充

數頃兆的擴充，有兩種不同的體系．一種是自然的、歷史的體系，它反映了人類認識數的歷史過程．茄慶一種是理論的、邏輯的體系，是數學家人為的構造，它反映了現代數學思想和數學方法．

(1)數的自然擴充表

(2)數的邏輯擴顫乎握充表

㈢ 仿照整數集的擴充方式,將整數集擴充為有理數集,並給出其運算、順序和絕對值等概念。

自然數集到整數集，使得減法運算（加法的逆)得以完備，任意兩個整數相減仍然是整數；整數集到有理數集，使得除法運算(乘法的逆)得以完備，任意兩個有理數相除（除數非0）仍然是有理數；有理數集到實數集，使得正數的開方橘帶運算(乘方的逆)得以完備，任意正數的開方都為實數；實數集到復數集， 使得任意數的開方的運算漏手得以完備，任意復數的開方仍然為復數，這同時圓搜蘆擴展到對數運算，指數運算，三角運算等等在復數范圍內也是完備。

㈣ 數的發展 急用!

上面那位不行

你說的是中國的"數學"並且不是"數"

我來個你矯正

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。「結繩記事」也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事（圖6）。我國古書《易經》中有「結繩而治」的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。比如古代埃及的記數符號是（圖7），用古埃及的記數符號表示345，就要寫成古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。
你能從這些數字的實例中找出羅馬數字寫法的規律嗎？實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代旦岩兆表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：
1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如：「III」表示「3」；「XXX」表示「30」。
2．右加左減：一模租個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如「VI」表示「6」，「DC」表示「600」。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如「IV」表示「4」，「XL」表示「40」，「VD」表示「495」。
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：「 」表示 「15,000」，「 」表示「165,000」。
我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法––籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的（圖9）。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字.
如果要表示1971，就可以擺成如圖11的樣子。
從算籌數碼中沒有「10」這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位棗指進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有「零」，遇到「零」就空位。比如「6708」，就可以表示為「┴ ╥ 」。數字中沒有「零」，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與「零」的出現有關。不過多數人認為，「0」這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（•）表示零，後來逐漸變成了「0」。
說起「0」的出現，應該指出，我國古代文字中，「零」字出現很早。不過那時它不表示「空無所有」，而只表示「零碎」、「不多」的意思。如「零頭」、「零星」、「零丁」。「一百零五」的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。「105」恰恰讀作「一百零五」，「零」字與「0」恰好對應，「零」也就具有了「0」的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有「0」。其實在公元5世紀時，「0」已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用「0」。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用「0」的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。
但「0」的出現，誰也阻擋不住。現在，「0」已經成為含義最豐富的數字元號。「0」可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫 ，並不是說沒有氣溫；「0」是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！="1（零的階乘等於1） 除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進制最終佔了上風。
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。
隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為「數」是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使「數」不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然 ，推導的結果即 。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為 ，根據勾股定理 ，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數（圖14）。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成π、 、 、 等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號「 」表示「-1」的平方根，即 ，虛數就這樣誕生了。「 」成了虛數的單位（圖15）。後人將實數和虛數結合起來，寫成 的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不「虛」了。
數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了「四元數」的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數和一個向量
（其中 、 、 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對「多元數」理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

㈤ 一點小問題

數是數學最基本的研究對象，也是在一切科學技術和社會領域中必不可少的工具．本講主要討論數的概念的形成與擴展，數的運算與性質等內容．這些知識，對於掌握、駕馭中學代數教材，都是十分必要的.

一、數的發展簡史

數是各種具體的量的抽象．從歷史上看,人類對於數的認識,大體上是按照以下的邏輯順序進行的:

自然數(添正分數)-→正有理數(添零)-→非負有理數(添負數)

-→有理數(添無理數)-→實數(添虛數)-→復數

自然數的產生，起源於人類在生產和生活中計數的需要．開始只有很少幾個自然數，後來隨著生產力的發展和記數方法的改進，逐步認識越來越多的自然數．這個過程大致可以分為三個階段．在第一階段，物體集合的性質，是由物體間的直接比較確定的．我國古代傳說的結繩記數便屬於這一階段.在第二階段,出現了數詞，如三頭牛、五隻羊等等．這時，還沒能把單個的數從具體物體的集合中分離出來．在第三階段，認識到每一個單個的數,是物體集合的一種性質，把數從具體物體的集合中分離出來，形成了抽象的自然數(正整數)概念，並有了代表它的符號．從某種意義上說，幼兒認識自然數的過程，就是人類祖先認識自然數的過程的再現．

隨著生產的發展，在土地測量、天文觀測、土木建築、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾．這樣，正分數就應運而生．據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關於正分數的問題．引進正分數,這是數的概念的第一次擴展．

最初人們在記數時，沒有「零」的概念．後來，在生產實踐中,需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法．有了這種記數法，零的產生就不可避免的了．我國古代籌算中，利用「空位」表示零.公元6世紀，印度數學家開始用符號「0」表示零. 但是，把「0」作為一個數是很遲的事．引進數0，這是數的概念的第二次擴充．

以後,為了表示具有相反意義的量,負數概念就出現了．我國是認識正、負數最早的國家，《九章算術》中就有了正、負數的記載．在歐洲，直到17世紀才對負數有一個完整的認識．引進 負數，這是數的概念的第三次擴充．

數的概念的又一次擴充淵源於古希臘。公元前5世紀，古希臘畢達哥拉斯(Pythagqras，約公元前580～前500)學派發現了單位正方形的邊長與對角線是不可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數值，導致了無理數的產生．當時只是用幾何的形象來說明無理數的存在，至於嚴格的實數理論，直到19世紀70年代才建立起來．引進無理數，形成實數系，這是數的概念的第四次擴充．

數的概念的再一次擴充，是為了解決數學自身的矛盾．16世紀前半葉，義大利數學家塔爾塔利亞發現了三次方程的求根公式，大膽地引用了負數開平方的運算，得到了正確答案．由此，虛數作為一種合乎邏輯的假設得以引進，並在進一步的發展中加以運用,成功地經受了理論和實踐的檢驗，最後於18世紀末至19世紀初確立了虛數在數學中的地位．引進虛數，形成復數系，這是數的概念的第五次擴充．

上面,我們簡要地回顧了數的發展過程．必須指出，數的概念的產生，實際上是交錯進行的．例如，在人們還沒有完全認識負數之前，早就知道了無理數的存在；在實數理論還未完全建立之前,經運用虛數解三次方程了．

直到19世紀初，從自然數到復數的理論基礎，並未被認真考慮過．後來，由於數學嚴密性的需要以及公理化傾向的影響，促使人們開始認真研究整個數系的邏輯結構．從19世紀中葉起，經過皮亞諾(G．Peano，1855～1939)、康托爾(G．Cantor，1845～1918)、戴德金(R．Dedekind，1831～1916)、外爾斯特拉斯(K.Weierstrass，1815～1897)等數學家的努力，完成了建立整個數系的邏輯工作．

近代數學關於數的理論，是在總結數的歷史發展的基礎上，用代數結構的觀點和比較嚴格的公理系統加以整理而建立起來的.作為數的理論系統的基礎，首先要建立自然數系，然後逐步加以擴展．一般採用的擴展過程是

N--------→Z--------→Q--------→R--------→C

(自然數集) (整數集) (有理數集) (實數集) (復數集)

科學的數集擴充，通常採用兩種方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的數集中去；二是構造法,即從理論上構造一個集合，然後指出這個集合的某個真子集與先前的數集是同構的．

中、小學數學教學中，為了適應學生的年齡特徵和接受能力,關於數系的擴充，主要是滲透近代數學觀點，採用添加元素並強調運算的方法來進行的．其擴充過程是:

自然數集(添零)→擴大的自然數集(添正分數)→算術數集(添負有理數)

→有理數集(添無理數)→實數集(添虛數)→復數集

數系的每一次擴充，都解決了一定的矛盾，從而擴大了數的應用范圍．但是，數系的每一次擴充也會失去某些性質．例如，從自然數系 N 擴充到整數系 Z 後，Z 對減法具有封閉性，但失去N 的良序性質，即N 中任何非空子集都有最小元素．又如，由實數系R 擴充到復數系C 後，C 是代數閉域，即任何代數方程必有根,但失去了R的順序性，C 中元素已無大小可言．

數系擴充到復數系後，能否繼續擴充?這個問題的答案是有條件的．如果要求完全滿足復數系的全部運算性質,那麼任何擴充都是難以成功的．如果放棄某些要求，那麼進一步的擴充是可能的．比如，放棄乘法交換律，復數系C可以擴充為四元數系H,如果再適當改變對乘法結合律的要求，四元數系H 又可擴充為八元數系Ca 等等．當然,在現代數學中，通常總是把「數」理解為復數或實數，只有在個別情況，經特別指出，才用到四元數．至於八元數的使用就更罕見了．

㈥ 「數」的發展過程

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩嘩寬迅記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的亂此符號。
數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。
古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鍾上還常常使用。
實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：
1．重復次數：一個羅馬數字元號重復幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。
2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。
3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：""表示 "15,000"，""表示"165,000"。
我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鍾鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。
從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。
說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。
但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫0℃，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。
除了十進制以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進制、二進制、三進制、七進制、八進制、十進制、十六進制、二十進制、六十進制等多種數字進製法。在長期實際生活的應用中，十進制最終佔了上風。
現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進巧罩制位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。
數的概念、數碼的寫法和十進制的形成都是人類長期實踐活動的結果。
隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。
隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。
但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然，推導的結果即x2=2。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理x2=12+12=2，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 π、等形式，稱它們為無理數。
有理數和無理數一起統稱為實數。在實數范圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即i＝，虛數就這樣誕生了。"i "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數。在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。
數的概念發展到虛和復數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量（其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了復數的范疇，人們稱其為超復數。
由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的范疇，但若歸入超復數中不太合適，所以，人們將復數和超復數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。盡管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。

㈦ 數系的擴充和復數的概念是什麼

數系的擴充不僅僅是增加一種新的數，它還涉及數的運算．因此，數系的擴充還需保留原來的基本運算，用今天的話來講，就是要向前「兼容」，不能推倒小樓建大樓．具體運虧悔來講，就是空友加、減、乘、除、乘方和開方的運算律應得到繼承．比如要滿足加法、乘法的交換率和結合律以及乘法對加法的分配律。

復數的引入，體現了數系擴充的必要性及現實意義；給出的相關規定體現了數系擴充後運算的封閉性，同時體現了規定的合理性。

(7)科學的數集擴充方法有哪些擴展閱讀：

在每一次數系擴充中，人們都遵守了如下幾條原則：

1、擴充的目的：在原數集中某種運算不封閉，在擴充後的新數集中該運算封閉；

2、擴充後的集合要擴大：進行的每一次擴充都是從一個較小的原數集擴充到一個較大的新數集，且使得原數集是新數集的一部分；

3、保持原有的運算：進行擴充時,要使原數集中所能夠進行的運算在新的數集中有意義，並且當把原數集中的數看成新數集中的數進行運算時，其結果應與它們在原數集中所得到的結果完全相同；

4、擴充的最小性與唯一性：要使擴充後的新數旁正集是原數集滿足以上的①、②、③原則的最小擴充，並且該擴充是唯一的。

㈧ 簡述數系的五次擴充的過程

淺談數系與數系的擴充
郭民
(東北師范大學長春130024)

1數的起源與數系的發展
i.i自然數的產生
遠古人類如何創造了數已不可考，今天只能進行一些猜測:人類的祖先在起初時，也許只會用物物逐
一比較的辦法來分別多少，以後又學會了物與第三者(如人的手指，牆上的刻痕或懸掛的繩索等)來進行
間接的比較，從而逐漸產生了不依附於具體對象的「個數」概念。隨著生產和交換活動的不斷擴大，桐橋這種
「個數」概念也就逐漸被賦予了某種記號或語音，這就產生了最早的數。人類最初掌握的數是很少的，在近
代殘存的原始部落中，人們發現他們所掌握的數均未超過二十，這大概與人的手指和腳趾的總數是二十
有關。隨著人類社會的進步，數也不斷地發展完善，其中應當提一下的是進位記數法的產生。進位記數法，
就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，去表示不同的數(如現在運用的十進位法)。進位記數法
的產生，使得記數的范圍得到無限的擴大，也使復雜的算術運算有了實施的可能。這標志著人類掌握的數
的語言，已從少量的文字個體，發展到了一個具有完善運算規則的數系。人類第一個認識的這個數系，就
是常說的自然數系。當然，自然數系遠遠不是完美無缺的。由於自然數系是一個離散的數系，因此它只限
於去表示一個單位，為了創造一個既符合實際又滿足於理論上的需要的強有力的工具，我們必須把數的
原始概念，即只把自然數當作數的這種概念，大大推廣。在一個漫長而曲折的發展過局納猛程中，零、負整數、分
數逐漸取得了和正整數同樣的地位;而且今天這些數的運算規則已為普通中、小學校的學生所掌握。
1.2作為度f工具的有理數
自然數是從計算有限集合的元素的個數的過程中抽象出來的。但在日常生活中，我們不僅要數單個
的對象，而且也需要度量像長度、面積、重量和時間這樣的量。如果我們要能夠自如地度量這種能任意細
分的量，就必須把算術的范圍擴展到自然數的范圍之外，第一步是把度量的問題變為計數的問題。首先我
們任意地選擇一個度量單位，比如英尺、英寸、磅、克或秒等等，當然我們選擇哪一個度量單位根據實際情
況而定，並規定此度量單位為1，然後我們數一數被度量的那個量包含了多少個單位，例如某一塊金屬可
能恰好是37英磅，但是一般說來，算單位的個數的過程中，某結果不一定是「正好算完」，即給定的量不一
定恰好是我們所選擇的單位的整數倍。可以茄乎說，在大多數情況下它是介於這個單位的兩個相鄰倍數之間，
例如36磅和37磅之間。遇到這種情況時，我們可以通過把原單位分成n等分，引進一個新的小單位。即
在數學的符號體系中，把原來一個單位分為。等分而得到的小單位，用符號上來表示;如果一個給定的量
恰好包含m個小單位，它的度量將用符號m來表示。這個符號稱為分數或比，人類在長期的社會生產實
踐中才認識到符號m脫離了它同測量過程及被測量的量的具體關系，而被看作是一種純粹的數，它本身
作為一個實體與自然數有同樣的地位，當和是自然數時，我們稱符號m稱為有理數。引進有理數，除了
n
有其「實際」的原因而外，還有一個更內在的，從某些方面來看甚至是更為迫切的理由就是運算的封閉性。
在通常的自然數的算術中，我們總能進行兩個基本運算:加法和乘法，但是「逆運算」減法和除法並不總是
可行的。兩個整數a,6的差6-a是一個使得a+c=6的整數。，即方程a+x=6有解。但在自然數的范圍內，符
號b-a僅限於6>a時才有意義，因為只有這時方程a+x=b才有一個自然數的解x，通過引進了符號一1,-2,
-3 } ..，以及對6 <a的情況，定義6-a=一(a-的這就保證了減法能在正整數和負整數范圍內無限制地進行。
為了在一個擴大了的既包括正整數，又包括負整數的算術中引進新的符號一1,-2,-3,}}}，當然我們必須定
義它們的運算，使得算術運算原來的規律保持不變。因為在這種擴大了的數的范圍內，不僅形式上的結合
律、交換律和分配律成立，而且方程a+x=6和。=6不受限制地總有解二二6-。和魚(a}0)。通過引進新的
a
符號，擴充一個范圍，使得在原來范圍內成立的規律，在這更大的范圍內繼續成立，這是數系擴充的一個
特徵。從自然數擴充到有理數，既滿足去掉減法和除法的限制這一理論上的需要，也滿足用數學來表示度
量結果這一實際上的需要。也正是由於有理數適應了這兩方面的需要，這就使得有理數有了它真正的重
大意義。
I .3不可公度線段，無理數的引入
在比較兩個線段a和6的長度時，可能6恰好是a的正整數倍，在這種情況下，我們可以用a來表示
線段b的度量，即b=ar(;為整數)，也可能出現a的整數倍不等於6的情況，這時我們把a分為n等分，每
一個單位長為生，使得線段生的某個整數m倍等於6。即b='"-,a-當形如此式的等式成立時，我們說兩個
線段a和b是可公度的，因為它們有一公共度量線段生，它的n倍等於a，而它的m倍等於6。就度量的實
n
際目的來說，有理數完全夠了，即使從理論上講，由於全體有理點稠密地布滿整個直線，似乎直線上的所
有點都是有理點。如果這是真的，則任何一條線段將和單位長線段可公度。但是情況的解決並不是這么簡
單，這就是早期希臘數學最驚的發現之一。存在著不可公度線段，或者說，如果我們認為每一線段都對應
著藉助於單位長度而給出的一個數，則存在著無理數。
例如，一個正方形的對角線與它的邊是不可公度的，我們可以假設，給定的正方形的邊是選定的單位
長，而對角線的長為:。則根據勾股定理有xz=I z+Iz=2，如果:與I是可公度的，我們就能找到兩個整數P
和「，使得x=令 }P ,9「互質』。則」x=29z,由於等式右邊為偶數，所以Pz為偶數，故「本身是偶數，故代人，二
2r上式得4r} _匆z}9 z_2t}9為偶數，與P,9互質矛盾!因而xz=1z+1』不成立，x不能是有理數。由此我們
得出結論:沒有等於V丁的有理數。我們很容易作出許多與單位長不可公度的線段，如果在數軸上以0
為起點把這些線段標出來，則它們的端點稱為無理點。用數來度量長度時我們引進了分數，現在我們要用
同樣的辦法來處理與單位長不可公度的線段時，即我們要將數與直線上的點之間建立對應關系，就必須
引進無理數。因此我們可以說一個無理數表示一個與單位長不可公度的線段的長度。
1.4虛數的起源與引入
人們在長期的社會實踐中認識到，在數學發展史上，在數學思想的發展過程中，數學的發展以及數學
中的發明創造決不是個別人努力的結果，它們是具有繼承性的逐步演化的過程的產物，而不能把主要功
勞歸於某個人，為了便於作形式計算，需要用到負數和有理數，它們並不象自然數那樣直觀具體，直到中
世紀末，數學家們在用到這些概念時才開始失去不舒適的感覺，直到十九世紀中葉，數學家們才完全認識
到，在一個擴充的數域中的運算，其邏輯和哲學基礎本質上是形式主義的;這擴充的數域必須通過定義來
創造，這些定義是隨意的，但是如果不能在更大的范圍內保持在原來范圍內通行的規則和性質，它是毫無
用處的。這些擴充有時可以和「實際」對象相聯系，通過這種方式為新的應用提供工具，這是最重要的，但
是這只能提供一種動力而不是擴充的合理性的邏輯證明。
最早要求應用復數是為了解二次方程，我們知道，線性方程。幼，這里要確定的是未知量x，方程的
解是x=牛，如果要求每一個帶有整數系數a}0和6}0的線性方程有唯一解。必須引進有理數。象xZ=2
』一』『一』一b』『」』一』一』一『」一」一一「』一一『一」』一『一』一、『一「一』『~』「』「一『~『』一』『一一。『-一一
這樣的方程，在有理數域內不存在解x，這促使我們構造一個更廣的數域，使得在這個數域中有解，然而即
使實數域也沒能足以提供二次方程的完整理論，比如，x}二一1這樣一個簡單的方程沒有實數解，因為任意
實數的平方不可能為負數。我們或者滿足於宣稱這個簡單的方程不可解，或者按照我們所熟悉的擴充數
的概念的途徑引進使得這個方程可解的數，當我們用定義i=-1引進新的符號1時，這個方程就可解了。當
然，對於把數作為計數手段這樣的概念來說，這個符號1是「虛數單位」是不起作用的。這純粹是一個符號，
它服從於基本規則i2=-1，而其價值將完全取決於究竟這個引進是否真正有用以及數系的這個擴充能不
能實現。我們通過如下定義對數的系統進行推廣:一個形如a+bi的符號，其中a和6是任意兩個實數，我
們稱a+bi為復數。
2數系的擴充
2.1由自然數集N到整數集Z的擴充
要把自然數集擴充為整數集，需定義新數零和負整數。我們採用對原有集合劃分等價類的方法進行。
我們把一個自然數「折成兩個」，例如:
2=3-1=4-2=5-3=6一二}_5=g_6=...
所以自然數2對應一系列有序自然數對(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6)"""，這些數對有下
列關系:
4+1=3+2;5+2=3+4;6+3=4+5，…
因此，我們可以把一個自然數看作是有序自然數對的集合{(m,n:m>n)}，並且這個集合是一個等價
類，等價關系是:
(m,n)一伽,q )tip+n=q+m,
我們把這個等價類記為.孤下萬。去掉限制m>n，我們就得到了負整數和零。
定義4在笛卡爾積NxN中定義一個關系如下:
(m,n)一((p ,q )tip+n=q+m,
則「一」為一等價關系，等價類
(m,n)={(P,q):(P}9)一(m,n)
稱為整數商集。
Z=NxNI}={(蔽麗}
稱為整數集。
進而可以在Z中定義加法、乘法;可以證明對加法存在零元(記作0),0軟不1萬，關於加法構成交換群;
還可以證明對乘法存在單位元1=.(2,1)，以及乘法對於加法是雙側分配的，因此，(Z,+,")是一個帶單位
元1}0的交換環，注意到Va,6 e Z，從a"b=0可推出二0或6=0，所以(Z,+,)是一個整環。
2.2從整數集到有理數集的擴充
從自然數集擴充到整數集是為了對daeN，使加法有逆元，也即要使減法永遠可施行。為了使整數集
中每一非零元關於乘法有逆元，即使除法(除數不為零)永遠可施行，需將整數集再擴充為有理數集，方法
仍然是在原有集Z中引人等價關系，劃分等價類。因為除數不能為零，所以要對笛卡爾積稍作處理，記Z，=
z-(o )。
在卡氏積ZxZ'中定義一關系如下:設(a,6),(c,d)eZxZ'。則(a,6)一(c,d)t}bc=ad可以證明「一」是一
個等價關系，事實上，我們有:
(1)ab=ab，所以(a,b卜(a}b)，自反性成立。
(2)若(a,6)一(c,d)，則bc=ad，所以da=cb，推出(c,d)一(a,6)，即對稱性成立。
(3)若(a,b卜(c,d)且(c,d卜(e刀。則有bc=ad且de=cf}bcde=adef，即(動" (cd)二(be) " (cd)，考慮到
Z是整環，所以be=of，於是((a,6)一((e刃。即傳遞性成立。
定義5等價類
(a,6)二{(。,d)。ZxZ':(。,d)一(a,6)}
稱為有理數，有時為了方便，將丈萬兩萬記為_a6，商集
Q=ZxZ，一{麗或舍一Z,b·『，}
稱有理數集。
進而可在Q中定義加法(+)、乘法(·)，並可證明((Q}+)是一個交換群，(Q，·)是一個帶單位元的交換
半群，(Q}+} ")是一個帶單位元的交換環，還可以證明(Q』，·)(其中Q}=Q_}0))是交換群。因此(Q}+}')是
一個域，即有理數域。
2.3從有理數集到實數集的擴充
從有理數集到實數集的擴充是為了使開方運算永遠可施行只是其一方面。
開方運算結果所得的數，而是有理數叫(1+ n )n} '} n-}+oo時的極限
因為像數。，它並不是一個
而√2也是有理數列:
1,1.4,1.41,1.414,}}}(√2的不足近似值所組成的數列)的極限。因此從有理數集到實數集的擴充是為了
解決極限運算封閉的問題，擴充的思想方法與從自然數集到整數集的擴充、從整數集到有理數的擴充是
類似的，只是具體做法有所不同而已。
參考文獻:
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