勾股定理設計哪些特別方法

⑴ 勾股定理有哪些方法

勾股定理是一個基本的幾何定理。
在我國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即「勾」，「股」）邊長平方和等於斜邊（即「弦」）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²。
勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
趙爽在註解《周髀算經》中給出了「趙爽弦圖」證明了勾股定理的准確性，勾股數組呈a² + b² = c²的正整數組(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。

⑵ 勾股定理的16種證明方法

加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、向明達證法、楊作梅證法、李銳證法

例，如下圖：

設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(2)勾股定理設計哪些特別方法擴展閱讀

性質：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理；

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值，這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。

⑶ 證明勾股定理都有些什麼方法

【證法1】（梅文鼎證明） 作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 , ∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2 【證法2】（項明達證明） 作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP‖BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【證法3】（趙浩傑證明） 作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直線上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直線上， 所以a^2+b^2=c^2【證法4】（歐幾里得證明） 作三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等於， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ 即a的平方+b的平方=c的平方【證法5】歐幾里得的證法 《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書
望採納

⑷ 勾股定理的五種解題方法（大吐血50分）

證法一：

⑸ 勾股定理的主要方法

1,1 探索勾股定理
教材
義務教育課程標准實驗教科書(北師大版)八年級數學上冊第一章第1節P2~ P6.
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的一種美妙關系,將形與數密切聯系起來,在數學的發展和現實世界中有著廣泛的作用.本節是直角三角形相關知識的延續,同時也是學生認識無理數的基礎,充分體現了數學知識承前啟後的緊密相關性,連續性.此外,歷史上勾股定理的發現反映了人類傑出的智慧,其中蘊涵著豐富的科學與人文價值.
授課教師: 劉洋
教學目標
1,知識與技能目標:掌握直角三角形三邊之間的數量關系,學會用符號表示.學生在經歷用數格子與割補等辦法探索 股定理的過程中,體會數形結合的思想,體驗從特殊到一般的邏輯推理過程.
2,能力目標:通過分層訓練,使學生學會熟練運用勾股定理進行簡單的計算,在解決實際問題中掌握勾股定理的應用技能.
3,情感目標:通過數學史上對勾股定理的介紹,激發學生學數學,愛數學,做數學的情感.使學生從經歷定理探索的過程中,感受數學之美,探究之趣.
教學重點,難點
重點:用面積法探索勾股定理,理解並掌握勾股定理.
難點:計算以斜邊為邊長的大正方形C面積及割補思想的理解與應用.
教學方法
選擇引導探索法,採用"問題情境----建立模型----解釋,應用與拓展"的模式進行教學.
教具准備
多媒體課件;若干張已畫好直角三角形的方格紙;剪刀;已剪好的紙片若干張.
教學過程
創設情境,引入新課
(師)請同學們觀察動畫,我國科學家曾向太空發射勾股圖
試圖與外星人溝通,在2002年的國際數學家大會上採用弦圖
作為會標,它為什麼有如此大的魅力呢 它蘊涵著怎樣迷人的
奧妙呢 這節課我就帶領大家一起探索勾股定理.
(設計意圖:用一段生動有趣的動畫,點燃學生的求知慾,以
景激情,以情激思,引領學生進入學習情境.)
師生互動,探究新知
活動1:(觀察圖1)你知道正方形C的面積是多少嗎
你是怎樣得出上面結果的呢
(生)獨立思考後交流,採用直接數方格的辦法,或者是
分割成幾個等腰直角三角形的方法計算正方形C的面積.(多
媒體演示)
(過渡語)同學們用數格子的方法發現了正方形C的面積,那麼對於
下面圖2中的正方形C, "數方格子"的方法還行得通嗎 下面我們
一起來研究.
活動2:(觀察你手中方格紙上的圖2)正方形C的面積是多少
你是怎樣得出結果的呢
(師)我們用數方格子的方法能算出正方形C的面積嗎 參考弦圖,你想到什麼好方法了嗎 (引出"割"法)
大家想一想還有沒有其它方法呢 受"割"法的啟示,我們能通過"補"的方法得出結論嗎
(生)獨立思考,在預先准備的方格紙上將圖形剪一剪,拼一拼,用分割成四個全等直角三角形的方法或將正方形C補成邊長為整數的大正方形的方法求出斜邊上的正方形C的面積.接著將成果與同伴交流,學生代表發言.
活動3:
分工1:(如圖3)請每個小組兩名組員試著將手中的已剪好的四個全等的四邊形拼成正方形B.
分工2:(如圖4)另兩名組員再將同樣的四個四邊形和正方形A一起拼成一個大正方形C.

圖3 圖4
思考:
1,等腰直角三角形
(師)觀察圖5,對於等腰直角三角形,將正方形A,正方形B和已計算的正方形C的面積填入下表,它們的面積有什麼關系
三角形
的形狀
正方形A
面積
正方形
B
面積
正方形C
面積
一般直角
三 角 形
結論:正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積
2,直角邊長為整數的一般直角三角形
(師)觀察圖6,直角邊長為整數的一般直角三角形,正方形A,正方形B,正方形C面積又有什麼關系呢
三角形
的形狀
正方形A
面積
正方形
B
面積
正方形C
面積
等腰直角
三 角 形
結論:正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積
3,任意直角三角形
(師)那麼,對於直角邊長不是整數的一般直角三角形上面的結論還成立嗎 (出示圖7)
生合作:試著將已拼好的正方形B和大正方形C同正方形A拼成如圖7所示的圖形.

圖7 圖8
(師)同學們從活動中都得出正方形A,正方形B,正方形C面積有什麼關系
(生)小組交流,學生代表發言.
結論:正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積
師點撥:這里的四個全等的四邊形是正方形B按如圖8所示的方法分割的.
師小結:通過以上活動,我們發現以任意直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形面積之和都等於以斜邊為邊長的正方形面積.
(師)下面我們運用幾何畫板進一步驗證上面的結論(改變直角三角形的三邊長度,同學們發現結論仍然成立).
4,正方形面積與直角三角形三邊關系
(師)若我們設兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,你能用三角形的邊長來表示這三個正方形的面積嗎 (將正方形的面積和三角形的邊長聯系起來)
(生)正方形A面積為a2,正方形B面積為b2,正方形C面積為c2.
(師)你發現直角三角形三邊長度之間有什麼聯系
(生)分組討論,交流並發言.
結論:由於 正方形A面積 + 正方形B面積 = 正方形C面積,所以 a2 + b2 = c2 即兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.
5,認識直角三角形三邊關系
(師)利用幾何畫板展示任意直角三角形,我們發現:無論三邊長度如何變化,兩條直角邊的平方和總是等於斜邊平方.
(師)請將上述結論用數學語言表述並符號化.
(生)學生討論,交流並發言.
如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那麼a2 + b2 = c2
即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方.
(師)在中國古代,人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾",下半部分稱為"股".我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為"勾",較長的直角邊稱為"股",斜邊稱為"弦".所以我國古代把上面的定理稱為"勾股定理".再請學生看一看,讀一讀:早在三千多年前周朝數學家商高就提出勾三,股四,弦五,並在後來被記載在中國古代著名數學著作《周髀算經》之中,一千多年後西方的畢達哥拉斯證明了此定理.
(設計意圖:在探索定理的過程中, 為了突出本節重點,解決難點,我將按下面兩個層次設計探索過程.第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三邊關系的研究,體現從特殊到一般的方法,第二方面引導學生用割,補等方法計算正方形C面積到用拼圖的方法探索直角三角形三邊關系,展示由簡單到復雜的思想,探索出勾股定理.)
回歸生活,應用新知
要求:面向全體學生,部分學生可選擇從自己需要的層次做起.
A層:
在△ABC中,∠C=90°(1)若a=8,b=6,則c= ; (2)若c=20,b=12,a= .
2,若直角三角形中,有兩邊長是3和4,則第三邊長的平方為( )
A 25 B 14 C 7 D 7或25
3,情景探索
小明的媽媽買來一部29英寸(74厘米)的電視機,小明量了電
視機的熒屏後,發現熒屏只有58厘米長46厘米寬,他認為售貨員搞
錯了.對不對 (582=3364 462=2116 74.032≈5480)
4,一根旗桿在離地9米處斷裂,旗桿頂部落在離旗桿底部12米處,旗桿折斷之前有多高
(設計意圖:本層是基礎性習題,強化學生掌握在直角三角形中已知任意兩邊,都能利用勾股定理求出第三邊的重要解題方法,以及定理的實際應用.以當堂檢測學生的達標情況.)
B層:

兩個邊長分別為4個單位和3個單位的正方形連在一起的"L"形
紙片,請你剪兩刀,再將所得圖形拼成一個正方形.

2,做一個長,寬,高分別為50厘米,40厘米,30厘米的木
箱,一根長為70厘米的木棒能否放入,為什麼 試用今天學
過的知識說明.( 70.712≈5000 )
(設計意圖:本層題目難度稍有提高,加強探索性和趣味性,以檢測學生對定理靈活運用能力.)
C層:
閱讀分析題:迄今為止,關於勾股定理的證明方法已有500餘
種.其中,美國第二十任總統伽菲爾德的證法在數學史上被傳為佳話.
後來,人們為了紀念他對勾股定理直觀,簡捷,易懂,明了的證明,
就把這一證法稱為"總統"證法.下面我們一起來了解這一證法.
∵
∴
此證明方法的核心思想是"面積之間的等量關系".右圖是歷史上著名
的"弦圖",你能通過此圖,利用面積之間的等量關系來證明勾股定理嗎
(設計意圖:本層題目面向學有餘力的學生,注重思維開放性的培養.其中勾股定理總統證法和弦圖證法,不但拓展了學生的視野,激發了學生的探究熱情,而且使學生感受到勾股定理證明的博大精深.)
感悟收獲,布置作業:
你這節課的主要收獲是什麼
該定理揭示了哪一類三角形中的什麼元素之間的關系
3,在探索和驗證定理的過程中,我們運用了哪些方法
4,你最有興趣的是什麼 你有沒有感到困難的地方
(設計意圖:梳理本節課的重要方法和知識點,加深對本節知識的理解.)
五,教學評價:
1,在探索勾股定理的過程中,老師應了解學生的創造性的解題思路,並能給予充分的肯定,同時記錄在案.
2,在分層訓練中,對學生的不同水平的解答老師應給於肯定和適當的鼓勵,並記錄在其成長記錄袋中,以積累學生的學習成果.
六,課後作業:
將課堂訓練和課本中未完成的題目練完.
在網上搜集有關勾股定理的資料和其它的驗證方法.
參考網址 http://www.ev.net http://www.ihep.ac.cn/
利用周末去深圳科學館參觀"勾股弦定理"模型.
六,設計說明:
1,本節課是公式課,根據學生的知識結構,我採用的教學流程是:提出問題―實驗操作―歸納驗證―分層訓練―布置作業五部分,這一流程體現了知識發生,形成和發展的過程,讓學生體會到觀察,猜想,歸納,驗證的思想和數形結合的思想.
2,探索定理採用了面積法,引導學生利用實驗由特殊到一般對直角三角形三邊關系的研究,得出結論.這種方法是認識事物規律的重要方法之一,通過教學讓學生初步掌握這種方法,對於學生良好思維品質的形成有重要作用,對學生的終身發展也有一定的作用.
3,關於練習的設計,我採用分層訓練,讓不同的學生都學有所得,以達到因材施教的目的.
4,在課堂教學評價中,強調學生個體學習成果的積累,為終結性評價提供科學依據.

⑹ 證明勾股定理的16種方法

證明勾股定理的16種方法如下：

1、證法一（鄒元治證明）；

2、證法二（課本的證明）；

3、證法三（趙爽弦圖證明；

4、證法四（總統證明）；

5、證法五（梅文鼎證明）；

12、證法十二（利用多列米定理證明）；

13、證法十二（利用多列米定理證明）；

14、證法十四（利用反證法證明）；

15、證法十五（辛卜松證明）；

16、證法十六（陳傑證明）。