算數學一元二次的簡便方法

㈠ 一元二次方程的解法有哪些

一元二次方程有四種解法：直接開平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法為通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。

1、直接開平方法

形如x²=p或（nx+m）²=p（p≥0）的一元二次方程可採用直接開平方法解一元二次方程。如果方程化成x²=p的形式，那麼可得x=±√p。如果方程能化成（nx+m）²=p（p≥0）的形式，那麼nx+m=±√p，進而得出方程的根。

2、配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，先將常數c移到方程右邊，將二次項系數化為1，方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方，方程左邊成為一個完全平方式。

3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b²-4ac的值，當b²-4ac≥0時，把各項系數a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

4、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。

把二次方程分成不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。

法國的韋達（1540～1603）除推出一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出了根與系數的關系

㈡ 怎樣運算一元二次方程

一元二次方程的解法

一、知識要點：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基

礎，應引起同學們的重視。

一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例題精講：

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解為x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以

此方程也可用直接開平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項系數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=

當b2-4ac≥0時，x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項系數化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項

系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓

兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般

形式，同時應使二次項系數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式

法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。

例5．用適當的方法解下列方程。(選學）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差

公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。

（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

（3）化成一般形式後利用公式法解。

（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。

說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求，必要時進行分類討論。

練習：

（一）用適當的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參考答案：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試

選擇題

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、無實根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不對

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,

注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。

2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1

時，方程成立，則必有根為x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，

則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.

另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！

5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。

8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理為：(x-)2=

方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

中考解析

考題評析

1．（甘肅省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確

選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元

二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為

C。

另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（遼寧省）方程的根為（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、

B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。

評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。

5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方

根，即可選出答案。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二

次的整式方程。 一般形式為

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它

的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次

方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中

之一。

公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公

式。

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種

不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次

給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的

數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。

韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。

我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學

家還在方程的研究中應用了內插法。

㈢ 一元二次方程有沒有簡便的計算方法

公式法是比較快的
方法 一、公式法
1
先判斷△=b²-4ac，
若△<0原方程無實根；
2
若△=0，
原方程有兩個相同的解為：
X=-b/（2a）；
3
若△>0，
原方程的解為：
X=（（-b）±√（△））/（2a）。
END
方法二、配方法
先把常數c移到方程右邊得：
aX²+bX=-c
將二次項系數化為1得：
X²+（b/a）X=- c/a
3
方程兩邊分別加上（b/a）的一半的平方得：
X²+（b/a）X +（b/（2a））²=- c/a +（b/（2a））²
4
方程化為:
（b+（2a））²=- c/a +（b/（2a））²
5
①、若- c/a +（b/（2a））²<0，原方程無實根；
②、若- c/a +（b/（2a））² =0，原方程有兩個相同的解為X=-b/（2a）；
③、若- c/a +（b/（2a））²>0，原方程的解為X=（-b）±√（（b²-4ac））/（2a）。
END
方法三、直接開平方法
1
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接開平方法求得解為X=m±√n
END
方法四、因式分解法
1
將一元二次方程aX²+bX+c=0化為如（mX-n）（dX-e）=0的形式可以直接求得解為X=n/m，或X=e/d。

㈣ 數學一元二次方程解法

數學一元二次方程解法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。

二、配方法：把一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0（a≥0）左端配成一個含有未知數的完全平方式，右端是一個非負常數，進而可用直接開平方法來求解。一般步驟是移項、二次項系數化成1，配方，開平方根。配方法適用於解所有一元二次方程。

三、公式法：利用求根公式，直接求解。把一元二次方程的各系數代入求根公式，直接求出方程的解。

1、把方程化為一般形式。

2、確定a、b、c的值。

3、計算b-4ac的值。

4、當b-4ac≥0時，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；當b-4ac<0時，方程沒有實數根。

5、需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫萬能方法，對於任意一個一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出來。求根公式是用配方法解一元二次方程的結果，用它直接解方程避免繁雜的配方過程。因此沒有特別要求，一般不會用配方法解方程。

四、因式分解法：先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等於0的形式，再使這兩個一次式分別等於0，從而實現降次。

1、移項：將方程的右邊化為0。

2、化積：把左邊因式分解成兩個一次式的積。

3、轉化：令每個一次式都等於0，轉化為兩個一元一次方程。

4、求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

5、需要注意的是：在方程的右邊沒有化為0前，不能把左邊進行因式分解；不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解，即因式分解法只適用部分一元二次方程。

㈤ 數學一元二次方程的解法

配方法
（直接開）
形如x=p或（nx+m）=p（p≥0）的一元二次方程可採用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x²=p的形式，那麼可得x=±p；(x²=p,x=±根號p）
如果方程能化成（nx+m）=p（p≥0）的形式，那麼nx+m=±p．（同上）
注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數．
②降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程．
③方法是根據平方根的意義開平方
（配方法）
（1）將一元二次方程配成（x+m）=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，並把常數項移到方程右邊；
③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；
④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；
⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．
配方法的應用：1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理論依據是公式a²±2ab+b²=（a±b）
配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數化為1，然後在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．
2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數的值．
關鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數項是一次項系數一半的平方．
公式法
1）把 德爾塔=b²-4ac 叫做一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的判別式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；
②求出b²-4ac的值（若b²-4ac0 方程有兩個不相等的實根，b²-4ac=0時方程有兩個等根 ）；
③在b²-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b²-4ac≥0．
求根公式：

利用一元二次方程根的判別式（△=b-4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△<0時，方程無實數根．
上面的結論反過來也成立．
根與系數的關系：
利用一元二次方程根的判別式（△=b-4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關系：
①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△<0時，方程無實數根．
上面的結論反過來也成立．
特殊解法
開平方法，因式分解法（包括十字相乘法，雙十字相乘法，拆項和添減項法等）
因式分解法：
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那麼這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．

㈥ 解一元二次方程的方法有哪些

一元二次方程的解法 一、知識要點： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基 礎，應引起同學們的重視。 一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解 法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例題精講： 1、直接開平方法： 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解為x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以 此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丟解) ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項系數化為1：x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2= 當b2-4ac≥0時，x+ =± ∴x=(這就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2 將二次項系數化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解為x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項 系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x= = = ∴原方程的解為x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓 兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個 根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小結： 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般 形式，同時應使二次項系數化為正數。 直接開平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式 法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程 是否有解。 配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方 法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。 例5．用適當的方法解下列方程。(選學） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差 公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。 （2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。 （3）化成一般形式後利用公式法解。 （4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我 們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即(5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可變形為 x2+px=-q (常數項移到方程右邊) x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方) (x+)2= (配方) 當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。 說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母 取值的要求，必要時進行分類討論。 練習： （一）用適當的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列關於x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 練習參考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即(2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 測試 選擇題 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、無實根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不對 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案與解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5, 注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。 2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1 時，方程成立，則必有根為x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零， 則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0. 另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！ 5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0, 則(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。 8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理為：(x-)2= 方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1 則(x-1)2=m+1. 中考解析 考題評析 1．（甘肅省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或（D） 或 評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確 選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元 二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為 C。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（遼寧省）方程的根為（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、 B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。 評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。 5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方 根，即可選出答案。 課外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二 次的整式方程。 一般形式為 ax2+bx+c=0, (a≠0) 在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它 的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次 方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。 埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。 在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。 希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中 之一。 公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公 式。 在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種 不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次 給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的 數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。 韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。 我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的.

㈦ 一元二次方程最簡單的解法

人教版九年級數學上冊一元二次方程不同解法

以愛教育孩子

08-31 20:49中小學教師
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在解一元二次方程時常用配方法，公式法和因式分解法，其中配方法和公式法適用於所有的一元二次方程，因式分解適合某些一元二次方程，且可以簡化解題過程，解一元二次方程的基本思路是降次，即把二次方程降次為一次方程，下面這題我們試用三種方法解題，試比較哪種更容易。

題目：x(x-2)+x-2=0

一、用配方法，解題過程如下圖：

二、用公式法，解題過程如下圖

三、用因式分解法，解題過程如下圖

通過以上三種方法解此題，可以看出公式法步驟較多，但學生喜歡用公式法，因為幾乎不用思考太多，只要代入公式就可以！用因式分解法是最簡單的，但是有個別學生看不出應該提取哪個公因式，這題還算是比較簡單的，書中有道練習題更是難倒一些學生，請看下題如何用因式分解法解題。

題目：3x(2x+1)=4x+2

解題過程如下圖

對於基礎不太好的學生，還真看不出來提取哪個公因式，如果沒有特別要求，也可以採用公式法解題，只是解題過程會復雜一些。

㈧ 一元二次方程公式法步驟

一元二次方程是中考的重點內容，也是初中數學學習的重點，解一元二次方程是重要的應用，不管是直接開平方，還是配方法、公式法、因式分解法等等方法解方程，解法各有不同，不同的依據，不同的適用范圍。

一元二次方程的解法

直接開平方法：依據的是平方根的意義，步驟是：將方程轉化為x=p或（mx+n)=p的形式；分三種情況降次求解：當p>0時；當p=0時；當p<0時，方程無實數根。需要注意的是：直接開平方法只適用於部分的一元二次方程，它適用的方程能轉化為x=p或（mx+n)=p的形式，其中p為常數，當p≥0時，開方時要取「正、負。

公式法：利用求根公式，直接求解。把一元二次方程的各系數代入求根公式，直接求出方程的解。一般步驟為：把方程化為一般形式；確定a、b、c的值；計算b-4ac的值；當b-4ac≥0時，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；當b-4ac<0時，方程沒有實數根。

㈨ 一元二次方程有什麼簡便的演算法嗎

公式法：
把方程變成 ax²+bx+c=0
然後用求根公式
x=[-b±√(b²-4ac)]/2a
湊方法：
將一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接開平方法求解的方法
因式分解法：
把方程轉化成（x+m）（x+n）=0的方式，則-m和-n是根，

一般適用於b和c之間有明顯的相加和相乘的關系b=m+n，c=m*n

㈩ 數學在初中解1元2次方程有哪幾種方法

1.分解因式法（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分「提公因式法」、「公式法（又分「平方差公式」和「完全平方公式」兩種）」和「十字相乘法」.因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得,因式分解的內容在八年級上學期學完.
如
1.解方程：x^2+2x+1=0
利用完全平方公式因式解得：（x+1﹚^2=0
解得：x1=
x2=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0
即
x-3=0
或
x+1=0
∴
x1=3,x2=-1
3.解方程x^2-4=0
（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴
x1=-2,x2=
2
十字相乘法公式：
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1.ab+b^2+a-b-
2
=ab+a+b^2-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
2.公式法（可解全部一元二次方程）
求根公式
首先要通過Δ=b^2-4ac的根的判別式來判斷一元二次方程有幾個根
1.當Δ=b^2-4ac0時
x有兩個不相同的實數根
當判斷完成後,若方程有根可根屬於2、3兩種情況方程有根則可根據公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
來求得方程的根
3.配方法（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x^2+2x－3=0
把常數項移項得：x^2+2x=3
等式兩邊同時加1（構成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
因式分解得：（x+1)^2=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口訣
二次系數化為一
常數要往右邊移
一次系數一半方
兩邊加上最相當