可以用哪些矩陣方法證明不等式

❶ 關於矩陣的秩的問題 不等式r(A)+r(B)=>r（A+B） 如何證明啊謝謝 大一剛學老師沒講 做題的時候要用

證明方法有很多，這里用一個方程的思想
R(A)=r1,R(B)=r2 r(A+B)=r3
作分塊陣(A,B),設這個分塊陣為秩為r4
顯然 r1+r2>=r4
列方程
(A,B)X=0
及 (A+B)X=0
可以知道，第一個方程的解必然是第2個方程的解。說明解空間中，第一個方程的解空間的維度
n-r4不會大於第個方程解空間的維度n-r3

即n-r4<=n-r3 r4>=r3
r1+r2>=r4>=r3
證畢

❷ 矩陣不等式的推論有哪些

原因如下：

設 A是 m×n 的矩陣，可以通過證明 Ax=0 和A'Ax=0 兩個n元齊次方程同解證得 r(A'A)=r(A)。

1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解，好理解。

2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0。

故兩個方程是同解的。

同理可得 r(AA')=r(A')。

另外 有 r(A)=r(A')。

所以綜上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。

矩陣的秩不等式

(1)矩陣A的秩等於矩陣A的轉置的秩，也即矩陣的行秩=列秩。

證明思路：一個矩陣經過一系列初等變換，都可以對應到一個標准型，而標准型的非零行數就是矩陣的秩。又因為矩陣的標准型是唯一的，所以矩陣的行秩與矩陣的列秩一定相等。

(2)矩陣A的秩等於矩陣A轉置乘矩陣A的秩。

證明思路：分別構造構造齊次的線性方程組，Ax=0與A轉置乘Ax=0同解。因為可以使用前面一個方程式子推到後面一個方程式，反之，倒過來也成立。兩個方程組同解，故秩相等，即得到證明。

❸ 不等式證明都有哪幾種方法

不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：.
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差.
②變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和.
③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號.
注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.
（2）綜合法：由因導果.
（3）分析法：執果索因.基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①「分析法」證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件.
②「分析法」證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然後用「綜合法」進行表達.
（4）反證法：正難則反.
（5）放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的.
放縮法的方法有：
①添加或捨去一些項，如：；；
②將分子或分母放大（或縮小）；
③利用基本不等式，如：；；
（6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元.
如：已知，可設；
已知，可設()；
已知，可設；
已知，可設；
（7）構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，並掌握相應的步驟，技巧和語言特點．
⑻數學歸納法法：數學歸納法法證明不等式在數學歸納法中專門研究.

❹ 高數，證明不等式都有哪些方法

一：假設證明fx<gx
解：令Fx=fx-gx，對Fx求導，得到Fx的單調性，再求一次極限得到Fx的符號，就證明完畢了。（如果一階導看不出來，就求二階導，然後得到一階導的單調性，通過極限得知一階導的符號。）

二：構造函數 ，例如證明a的b次<b的a次
解：原式=b*lna<a*lnb=a/lna<b/lnb，構造函數fx=lnx/x

❺ 不等式的證明方法有哪些

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。 2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。 3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。 4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。 5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。 6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 1、比較法（作差法） 在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求證： 。 證明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。 例2、求證： 。 證明：要證 ，即證 ，即，，，， ，由此逆推即得 。 3、綜合法 證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。 例3、已知： ， 同號，求證： 。 證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即。 4、作商法（作比法） 在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。 例4、設 ，求證： 。 證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故。 5、反證法 先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。 例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。 證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。 例6、已知： ， ，求證： 。 證明：因為 ，， 所以， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式獲證。 7、放縮法（增減法、加強不等式法） 在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。 例7、求證： 。 證明：令 ，則 ， 所以。 8、數學歸納法 對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。 例8、已知： ，， ，求證： 。 證明：（1）當時， ，不等式成立； （2）若時， 成立，則 =， 即 成立。 根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。 9、換元法 在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。 例9、已知： ，求證： 。 證明：設， ，則， （因為 ，）， 所以。

❻ 不等式的證明的好例題

三角形內角的嵌入不等式
三角形內角的嵌入不等式，在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形的三個內角，則對任意實數 x、y、z，有：

算術-幾何平均值不等式
在數學中，算術-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數：算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關系。設為 n 個正實數，它們的算術平均數是，它們的幾何平均數是 。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：

等號成立當且僅當 。
算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。
算術-幾何平均值不等式經常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），盡管後者是一組包括它的不等式的合稱。

例子
在 n = 4 的情況，設: ， 那麼
.
可見。
歷史上的證明
歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n = 2的情況很早就為人所知，但對於一般的 n，不等式並不容易證明。1729年，英國數學家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。
柯西的證明
1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出了一個使用逆向歸納法的證明[1]：
命題Pn：對任意的 n 個正實數，
1. 當 n=2 時，P2 顯然成立。
2. 假設 Pn 成立，那麼 P2n 成立。證明：對於2n 個正實數，

3. 假設Pn成立，那麼Pn − 1成立。證明：對於n - 1 個正實數，設，，那麼由於Pn成立， 。
但是 ， ，因此上式正好變成

綜合以上三點，就可以得到結論：對任意的自然數 ，命題 Pn 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 k，命題 都成立。因此對任意的 ，可以先找 k 使得 ，再結合第三條就可以得到命題 Pn 成立了。
歸納法的證明
使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（algebra）的第二卷中給出的[2]：
由對稱性不妨設 xn + 1 是 中最大的，由於 ，設 ，則 ，並且有 。
根據二項式定理，

於是完成了從 n 到 n + 1 的證明。
此外還有更簡潔的歸納法證明[3]：
在 n 的情況下有不等式 和 成立，於是：

所以 ，從而有。
基於琴生不等式的證明
注意到幾何平均數 實際上等於 ，因此算術-幾何平均不等式等價於：
。
由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

此外還有基於排序不等式、伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。
推廣
算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。
加權算術-幾何平均不等式
不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 和 為正實數，並且 ，那麼：
。
加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩陣形式
算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於系數都是正實數的矩陣

設 ，，那麼有：

也就是說：對 k 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均大於等於對 n 個橫行取的 n 個幾何平均數的算術平均。
極限形式
也稱為積分形式：對任意在區間[0,1]上可積的正值函數 f，都有

這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 後，將兩邊的黎曼和中的 n 趨於無窮大後得到的形式。
伯努利不等式
數學中的伯努利不等式是說：對任意整數，和任意實數，
；
如果是偶數，則不等式對任意實數x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0時等號成立，而對任意正整數和任意實數，，有嚴格不等式：
。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
[編輯] 證明和推廣
伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n = 0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數時成立，那麼

。
下面是推廣到實數冪的版本：如果x > − 1，那麼：
若或，有；
若，有。
這不等式可以用導數比較來證明：
當r = 0,1時，等式顯然成立。
在上定義f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中， 對x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 則f'(x) = 0當且僅當x = 0。分情況討論：
0 < r < 1，則對x > 0，f'(x) < 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0時取最大值0，故得。
r < 0或r > 1，則對x > 0，f'(x) > 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0時取最小值0，故得。
在這兩種情況，等號成立當且僅當x = 0。
[編輯] 相關不等式
下述不等式從另一邊估計(1 + x)r：對任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那麼：
，
等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；也就是a / A = b / B = c / C。
[編輯] 證明
由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),
再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2

= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)
於是，

= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命題得證。
等號成立當且僅當,也就是說兩個三角形相似。

ABC是第一個三角形，A'B'C'是取相似後的第二個三角形，BC與B'C'重合
幾何證法
三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個系數λ2，使得λA = a，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。
設這時A、B、C變成x、y、z，F變成F'。
考慮 AA' 的長度。由餘弦公式，

將,代入就變成：

兩邊化簡後同時乘以，並注意到a=x，就可得到原不等式。
等號成立當且僅當A與A'重合，即兩個三角形相似。

內斯比特不等式
內斯比特不等式是數學的一條不等式，它說對任何正實數a，b，c，都有：

[編輯] 證明
此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：
，
移項得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得證。

埃爾德什－莫德爾不等式

如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大於到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍
在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對於任何三角形ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。
埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於等於內切圓半徑的兩倍。
[編輯] 歷史
該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之後，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明[1]。之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。
[編輯] 證明
如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊於D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那麼埃爾德什-莫德爾不等式為：

一個初等的證明方式是使用三角函數以及均值不等式。
首先，由於OF垂直於AF，OE垂直於AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應的內角）。
過點F、E作關於BC的垂線交BC於X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY於U、V。由於OF垂直於AF，OE垂直於AE，，。於是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長度大於等於直角腰UV。因此：

類似地，還有：
，
三式相加，得到：

根據均值不等式，，等等，於是最終得到：

這就是埃爾德什-莫德爾不等式。
外森比克不等式
設三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。
[編輯] 證明一
除了「所有平方數非負」以外，這個證明不用到其它任何不等式。

兩邊取平方根，即得證。
舒爾不等式
舒爾不等式說明，對於所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：

當且僅當x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。
[編輯] 證明
由於不等式是對稱的，我們不妨設。則不等式

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即得舒爾不等式。
[編輯] 推廣
舒爾不等式有一個推廣：
假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是順序的，則以下的不等式成立：

2007年，羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：
考慮，其中，而且要麼，要麼。設，並設要麼是凸函數，要麼是單調函數。那麼：

當x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr時，即化為舒爾不等式。[1]