因式分解計算簡便方法

1. 求因式分解的簡便方法

這是競賽中的快速方法分組分解法 分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。 能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。 比如： ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。 同樣，這道題也可以這樣做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 幾道例題： 1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 說明：系數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。 2. x3-x2+x-1 解法：=(x^3-x2)+(x-1) =x2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然後相合輕松解決。 3. x2-x-y2-y 解法：=(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。 十字相乘法 這種方法有兩種情況。 ①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 </b>這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． </B>②kx2+mx+n型的式子的因式分解 </b>如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)． 圖示如下： a b ╳ c d 例如：因為 1 -3 ╳ 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中 拆項、添項法 這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． 配方法 </B>對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。 例如：x2+3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5)． 應用因式定理 對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a． 例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．) 注意：1、對於系數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項系數約數； 2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項系數，c為常數項，則有a為c/b約數 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。 相關公式 注意:換元後勿忘還元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x2+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y+2-12=y2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x2+x+5)(x2+x-2) =(x2+x+5)(x+2)(x-1)． 也可以參看右圖。 求根法 </B>令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ． 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1． 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)． 圖象法 </B>令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)． 與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠准確。 例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6. 作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)． 主元法 </B>先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。 特殊值法 </B>將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ． 注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值， 則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。 待定系數法 </B>首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 相關公式 =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4． 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 也可以參看右圖。 雙十字相乘法 </B>雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。 雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f x、y為未知數，其餘都是常數 用一道例題來說明如何使用。 例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12． 分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。 解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可 x 2y 2 ① ② ③ x 3y 6 ∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 雙十字相乘法其步驟為： ①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)； ②先依一個字母（如y）的一次系數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)； ③再按另一個字母（如x）的一次系數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。 利用根與系數的關系對二次多項式進行因式分解 例：對於二次多項式 aX^2+bX+c(a≠0) aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X]. 當△=b^2-4ac≥0時， =a(X^2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2).

2. 數學因式分解，遇到這種數字較大的，有什麼簡便方法可以解出來嗎

①分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式

②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

註：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。

分解步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要相對合適。」

(2)因式分解計算簡便方法擴展閱讀

主要方法：

1、提取公因式法：

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式

（2）提公因式並確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母

②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式

③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。

2、公式法：

把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反過來，得到因式分解的公式：

平方差公式：a2-b2=（a+b）·（a-b）；

完全平方式：a2±2ab+b2=（a±b）2；

3、分組分解法：

利用分組分解因式的方法叫做分組分解法，ac+ad+bc+bd=a·（c+d）+b·（c+d）=（a+b）·（c+d）

其原則：

①連續提取公因式法：分組後每組能夠分解因式，每組分解因式後，組與組之間又有公因式可提。

②分組後直接運用公式法：分組後各組內可以直接應用公式，各組分解因式後，使組與組之間構成公式的形式，然後用公式法分解因式。

4、十字相乘法：a2+（p+q）·a+p·q=（a+p）·（a+q）。

5、解方程法:

通過解方程來進行因式分解，如

x2+2x+1=0 ,解，得x1=-1，x2=-1，就得到原式=（x+1）×（x+1）

6、待定系數法:

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

3. 因式分解，哪種方法最簡便。

可以不用公式法，和配方法的時候可以用平方差公式，立方和(差)，完全平方法，十字相乘法更簡便。
如果上述簡便方法都不能用時，只能用公式法，還有一點，如果判別式＜0的話實數范圍內不能分解。

4. 運用因式分解簡便計算

答案如下：

5. 利用因式分解法進行簡便計算，標清題號回答，要過程，回答好的追加

1、2009²-2008×2009
=2009*2009-2008*2009
=2009*（2009-2008）
=2009

2、99²+198+1
=99²+2*99*1+*
=（99+1）²
=100²
=10000

3、x²-3x-4
=（x-4）（x+1）

4、（a²+b²）²-4a²b²
=（a²）²+（b²）²+2a²b²-4a²b²
=（a²）²+（b²）²-2a²b²
=（a²-b²）²

5、（m²+2x）²+2x²+4x+1
=（m²+2x）²+2（x²+2x+1）-1
=、（m²+2x）²+2（x+1）²-1

6、已知m²+n²-6m+10n+34=0，求（m+n)²的平方根
m²+n²-6m+10n+34=0
（m²-6m+9）+（n²+10n+25）=0
（m-3）²+（n+5）²=0
m=3，n=-5
所以（m+n)²的平方根=（3-5）²的平方根=4的平方根=2

6. 誰能告訴我關於因式分解的簡便方法嗎學霸們，幫幫忙

因式分解，也叫分解因式，
因式分解，是主謂短語，
分解因式，是動賓短語，
就是把多項式，變成一個個式子相乘的形式；

如果需要示意圖，就看看漢字 「目」、「月」 和 「朋」、「用」，
「月」 和 「目」 就是長為 3，寬分別是 a、b 的兩個長方形，
寫成 3a + 3b 像 「朋」 就是一個兩項式，
如果 「月」 和 「目」 拼成一個 「用」，就是 3(a + b) 的一個長方形，
把 3a + 3b 兩項相加的式子變成 3(a+b) 乘積的式子，就是因式分解。

分解因式，也正如分解質因數，
分解質因數，是要把整數變成一個個質數的乘積，在因數中去掉合數；
分解因式，就是把整式變成一個個因式的乘積，盡量降低各個因式的次數，

具體方法，
【第一步，提取公因式】
這也是最簡單的方法，
公因式不僅有：系數、字母、單項式（這些我們都熟悉了），
而且，公因式還可能是一個式子，
例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b)，公因式是 (a+b)
原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) ——這樣再提取系數 5
= 5( a + b )( m + n )

【第二步，公式法】
就是把整式乘法的公式倒過來用，
a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差，
a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和，
a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差，
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和，
a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差，
熟悉公式，熟悉平方數、立方數是關鍵，

【平方差】還有兩個完全平方相減的式子，
例如 9( x + y )" - 4( x + y - 1 )"
= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )

【完全平方式】應該注意
( a - b )"
= [ - ( b - a ) ]" = ( b - a )"
= a" - 2ab + b" = b" - 2ab + a"
而且
( a - b )" = [ a + ( - b ) ]"
= a" - 2ab + b" = a" + 2a(-b) + (-b)"
公式或許就只有一個
( a + b )" = a" + 2ab + b"

【立方和、立方差】
原來兩個三次項，分解因式變成五個項，
兩個是一次項、三個是二次項，
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )

我們看看特徵，
兩個一次項 a 和 b，正負與原來的三次項 a"' 和 b"' 一樣；
三個二次項，a" + b" 還是平方和，中間項 ab 就要與一次項相反。
或者，
看分解因式的五個項，
立方和，只有二次項 ab 為負，其餘全都是正；
立方差，除了一次項 b 為負，其餘全都是正。

想一想，
二次項 ab，如果立方和換成 +ab，立方差換成 -ab，
再變成 2 不就成了完全立方嗎？怎麼是立方和、立方差呢？
( a + b )( a" + 2ab + b" ) =( a + b )( a + b )" =( a + b )"'
( a - b )( a" - 2ab + b" ) = ( a - b )( a - b )" = ( a - b )"'
這樣看來，立方和是 -ab，立方差是 +ab，就是要加大與完全立方的差別啊！

為了熟悉公式，我們也應該取簡單的數字算一算，
2"' - 1"' = 8 - 1
= 7 = 1 X 7
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
相信我們都知道，分解因式是這五個項，
相對困難就是正負符號，不知怎樣確定，
這樣只要算一算，就能夠幫助自己確定符號了。

【第三步，二次三項式分解】
我建議，十字相乘法，結合分組分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
把單項式 mx = (a+b)x ，拆開變成 ax + bx ，
就能夠分組提公因式進行分解。

【】關鍵是看常數項的正負，決定一次項怎樣一分為二，
常數項不變，只是一次項變成相反數，一次項一分為二的絕對值就不變；
一次項不變，只要常數項變成相反數，一次項就要改變一分為二的方式；

前面已經說過，完全平方，b" 必然都是 +b"，
x" + 10x + 25 = ( x + 5 )"
x" - 10x + 25 = ( x - 5 )"
再看看 x" ± 10x ± 24，分解因式 4 種情況都有，

【】如果常數項是正數，
一次項就是拆開兩個絕對值比原來小的兩個項；
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )

常數項 +24 不變，一次項 ±10x 就都是拆開 4x 與 6x 的和，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

【】如果常數項是負數，
一次項系數就是分開兩個項的相差數；
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

常數項 -24 不變，一次項 ±10x 就都是拆開 12x 與 2x 的相差數，
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x + 12 )( x - 2 )

像這樣的二次三項式，還有
x" ± 5x ± 6，
x" ± 10x ± 24，
x" ± 15x ± 54，
x" ± 20x ± 96，
x" ± 25x ± 150，
……
8x" ± 26x ± 15，
8x" ± 52x ± 60，
8x" ± 78x ± 135，
……
或者說，這些也就是兩組，
x" ± 5xy ± 6y" ，
8x" ± 26xy ± 15y" ，

這兩組包括了多種具體情況，
讓我們也都親自取值做一做，
感受一下其中的奧秘吧。

【】二次三項式，分解因式，
這樣也是技巧、竅門，
關鍵就看 c 與 a 的正負，
只要熟悉這個方法，
x" + bx + c，
ax" + bx + c，
ax" + bxy + cy"，
我們都同樣做得方便。

【復雜的多項式，配方法】
如果上面這些方式方法都不熟悉，
或者二次三項式看起來復雜，不知所措，
還可以使用配方法，
我們還是看看 x" - 10x - 24 ，

x" - 10x - 24
首先配方，把二次項和一次項，變成完全平方，
= x" - 10x + 5" - 25 - 24
= ( x - 5 )" - 49
分解因式，用平方差公式
= ( x - 5 )" - 7"
= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
= ( x - 12 )( x + 2 )

【分解之後，還要檢驗】
確保分解徹底，因式分解變形正確，
例如 x^6 - y^6，應該
= ( x"' - y'" )( x"' + y"' )
= ( x - y )( x + y )( x" - xy + y" )( x" + xy + y" )
相當於 64 - 1，
= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
= 1 X 7 X 3 X 3
如果先用立方差，做成
= ( 4 - 1 )( 4" + 4 + 1 )
= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
= 1 X 3 X 21
就還有 21 不是質因數，分解不徹底，也就不正確了。

正如現在的平方差，有兩個完全平方式相減，
現在要求分解的式子都比較復雜，要想還原就不方便了，
各種類型的式子，我們就都要熟悉兩三種解答方式，
看看不同的方式方法是不是同一個結果，
這樣才能夠相互檢驗，確保解答正確。

7. 求關於多項式（高次）因式分解的簡便方法!

①如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.
(6)應用因式定理：如果f（a）=0,則f（x）必含有因式（x-a）.如f（x）=x^2+5x+6,f（-2）=0,則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式
另外,在多次多項式內,還可以用雙十字相乘法,輪換對稱法解決.
主要注意事項：初學因式分解的「四個注意」
因式分解初見於九年義務教育三年制初中教材《代數》第二冊,在初二上學期講授,但它的內容卻滲透於整個中學數學教材之中.學習它,既可以復習初一的整式四則運算,又為本冊下一章分式打好基礎；學好它,既可以培養學生的觀察、注意、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力.其中四個注意,則必須引起師生的高度重視.
因式分解中的四個注意散見於教材第5頁和第15頁,可用四句話概括如下：首項有負常提負,各項有「公」先提「公」,某項提出莫漏1,括弧裡面分到「底」.現舉數例,說明如下,供參考.
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式.
－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
這里的「負」,指「負號」.如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括弧內第一項系數是正的.防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤?膊荒薌 漢啪拖取疤帷保 勻 飩 蟹治觶?/p>
如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0,求證這個三角形是等腰三角形.
分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解.
證明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0,∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0,∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三條邊,∴a＋2b＋c＞0,∴a－c＝0,
即a＝c,△abc為等腰三角形.
例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式.－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
這里的「公」指「公因式」.如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式；這里的「1」,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括弧內切勿漏掉1.防止學生出現諸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的錯誤.
例4 在實數范圍內把x4－5x2－6分解因式.
x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）
這里的「底」,指分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.即分解到底,不能半途而廢的意思.其中包含提公因式要一次性提「干凈」,不留「尾巴」,並使每一個括弧內的多項式都不能再分解.防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤.
由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適」是一脈相承的.
例題：3ab+5b
-22y2+35y-3
a^2+b^2+ab+a+b+a+1

8. 解分解因式的簡單方法

因式分解（factorization）

因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等．

⑴提公因式法

①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「－」號，使括弧內的第一項的系數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時，那麼

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多項式因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。

經典例題：

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.證明：對於任何數x,y，下式的值都不會為33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立

因式分解的十二種方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與x軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定系數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

9. 因式分解最簡單的方式是哪種要詳細的解釋

因式分解最簡單的方式是提公因式法。
如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。公因式可以是單項式，也可以是多項式。
具體方法：在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的。當各項的系數有分數時，公因式系數為各分數的最大公約數。如果多項式的第一項為負，要提出負號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出負號時，多項式的各項都要變號。
基本步驟：
(1)找出公因式；
(2)提公因式並確定另一個因式：
①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數再確定字母；
②提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因 式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
口訣：找准公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。
因式分解主要有十字相乘法，待定系數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

10. 因式分解有哪幾種計算方法是怎樣的

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

(10)因式分解計算簡便方法擴展閱讀

韋達首先發現了因式分解的工具性和重要性，在其《論方程的整理和修改》中，首先給出代數方程的多項式因式分解方法，並證得所有三次和三次以上的一元多項式在實數范圍內皆可因式分解。

1637年笛卡兒（R. Descartes，1596-1650）在其《幾何學》中，首次應用待定系數法將4次方程分解為兩個2次方程求解，並最早給出因式分解定理。

笛卡兒還改進了韋達的一些數學符號，首先用x,y,z表示未知數，用a,b,c表示已知數，這些數學習慣沿用至今。有些人可能討厭數學，就是因其有太多符號和公式。

沒有數學符號，乘法公式用語言敘述是多麼啰嗦。故數學的進步在於其引進了較好的符號體系，使用數學符號是近代數學發展最為明顯的標志之一。