怎麼用幾何方法做代數

1. 幾何與代數的應用實例

1.幾何與代數的各種應用實例
幾何與代數是Grassmann代數和Clifford代數的一個現代發展。在幾何與代數中，可以將矢量、四元數、張量等都統一到同一個代數框架內，免去了相互轉化的麻煩。而且，幾何代數中的量都有很直觀的幾何意義，很容易理解。幾何代數的應用非常廣泛，可以用於描述相對論力學、彈性動力學、機器人學、計算機視覺和圖形學等諸多領域，甚至已經有人致力於將幾何代數作為物理學和工程領域統一的數學語言。

實例一：
幾何代數在飛機動力學的的應用
飛行力學中經常要用到很多不同的坐標系, 因而經常需要用到不同的坐標系的轉換或者在不同坐標系中求導。文獻[ 5 ]中用矢陣方法推導了兩個轉動坐標系之間的相對導的關系。而用幾何代數的方法可以得到相對導數更一般的表達, 而且可以發現,相對導數實際上就是一種旋轉變換。如圖5 所示, 兩剛體A , B 在空間作相對運動。剛體A 的本體坐標系F a 為{a 1, a 2, a 3}, 由慣性坐標系{e1, e2, e3}通過rotor R a 轉換得到, 角速度為Ωa。剛體B 的本體坐標系F b 為{b1, b2, b3}, 其rotor 為R b, 角速為Ωb。易知剛體B 相對於剛體A 的rotor為: （32），
相對角速度為: ，
對於矢量 ，
根據定義, 其在F a 中的相對導數為:
（34），
上式雖然是以矢量為例推出的, 但根據rotor的性質, 也適用於雙矢量和張量。利用rotor運算, 很容易得到兩個坐標系之間的相對導數關系:
（35）
由上式分析知, R0bauRba相當於將矢量u 以及與其固連的坐標系一起轉動到F b 與F a重合時的矢量。顯然此矢量在F a 中的分量表示同矢量u 在本體坐標系F b 中的分量表示相同, 即 （36）。
這就是說, 矢量的相對導數同矢量本身一樣隨坐標系的旋轉而旋轉。容易推得這對其他各階相對導數也是成立的。根據式(31) 將式(35) 展開可得到與文獻[ 5 ]中類似的公式:
（37）
對於二階相對導數, 同樣可以得到:
（38）
實際上, 對於更高階的相對導數, 同樣可以很簡潔的表示, 而且概念清晰。而將其展開之後將會復雜很多, 比如將上式展開可得: （39）
這也與文獻[ 5 ]中的結果等價。應用相對導數, 可以得到非常簡單的相對姿態運動方程:
（40）
上式就完全描述了兩剛體間的相對姿態運動。可見, 由rotor和相對導數描述的相對姿態運動方程特別簡潔、明晰, 給研究相對姿態運動提供了方便。

實例二：
幾何學在地質構造定量研究中的應用
構造地質學的主要研究內容是地址構造中的幾何形態、組合形式、形成機制和演化過程，探討產生這些構造作用的力的方向、方式和性質，解析構造的運動學過程和動力學機制。構造解析包括幾何學、運動學和動力學的3方面的解析。其中幾何學解析就是認識和測量各類各級構造的形態、產狀、方位、大小、構造內部各要素之間的幾何關系，從而建立一個完整的具有幾何規律的構造系或型式。而幾何學分析所提供的資料和數據則為運動學和動力學分析提供基礎。
微分幾何學在力學和一些工程技術問題方面有廣泛的應用。但在地質學中的應用相對切法。微分幾何學的很多概念都可以引入地質構造的研究中，為地質構造提供精確的數學描述和解析結果。因而在地質構造定量研究中引入微分幾何學是必要的，在引入微分幾何的基礎上，利用計算機數值分析、圖像圖形學、三維可視化、模糊識別、遙感測量等先進技術來實現地質構造形態的計算機自動分析和三維可視化的直觀表達。具體應用如：用主曲率的方法進行構造裂縫預測、構造層面上的變形分析、褶皺的形態分類、隱藏斷層位置的探測、滑脫斷層曲率與金礦的預測

2. 運用幾何圖形證明代數公式的典型例題

勾股定理的證明三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放並成玹方。依其面積關系有a^+b^=c^.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。
以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c2 ）．由此便可證得a2+b2=

3. 有哪些代數問題可以用幾何方法來解決

題目說的太寬泛，一時半時還不太好說。
關鍵是必須把教科書的小例題小練習題熟練掌握好，才能想到能用啥啥幾何意義來解題。
例如：
1+3+5+7+9+11=？
這里，有6項。
是從1開始的連續奇數的和。
那麼就可以用
邊長為6的正方形的面積來計算。
所以答案是：36,
……
……

4. 初中數學有什麼代數題是用幾何方法解決的急！！！（麻煩舉個例子）

例1：某車間加工一批機器零件，計劃每天加工100個，用30天完成。在實際加工時，改進了加工技術，平均每天比原計劃多加工20個零件，這樣可以提前幾天完成任務？
D
分析：這個問題有兩個層次，第一層次是計劃完成情況，可設想要完成的加工機器零件用一個矩形面積表示，其相鄰兩邊則可分別表示加工零件的效率和時間。第二層是實際加工情況，此時加工的零件數可用另一矩形表示，這個矩形的長和寬與前一矩形的長和寬不同，但它在前
一矩形的基礎上演變而來。因為加工機器零
件數計劃與實際是一樣的，說明矩形的邊長
A
無論怎樣變化，其面積不變。根據兩矩形面
積相等關系，可以構造如圖所示的矩形。
解：在圖中矩形ABCD及矩形AFEC分別表示計劃和實際完成的機器零件數，AB、AE分別表示原來每天加工零件數量和實際每天加工零件數量，AD表示計劃完成加工任務的天數。設DG=X表示實際加工完成任務所提前的時間X天。A
∵S矩形ABCD=S矩形AFEC
去除公共部分面積S矩形ABHG，則有S矩形GHCD=S矩形BEFH
∴100X=20(30-X)
解得：X=5
故可提前5天完成任務。
例2：某班共有48名同學，其中會下象棋的有25人，會下圍棋的有18人象棋、圍棋都不會下的有11人，問既會下象棋又會下圍棋的有多少人？
分析：此題直接思考較抽象，可畫一個圓，在圓中畫兩條弧，如圖所示。A區表示既會下象棋又會下圍棋的學生人數；B區表示只會下象棋學生人數；C區表示只會下圍棋的學生人數；D區表示象棋、圍棋都不會下的學生人數。設既會下象棋又會下圍棋的有X人，則B區中只會下象棋學生人數為（25-X）人；則C區中只會下圍棋的學生人數為（18-X）人。根據圖中各部分人數的和等於全班總人數列出方程即可：
解：根據題意得方程：
（25-X）+X+（18-X）+11=48
解得：X=6
∴全班既會下象棋又會下圍棋的有6人。
例3：某電信公司推出手機兩種收費方式： A種方式是月租20元；B種方式是月租0元；一個月的本地網內打出電話時間t（分鍾），與打出電話費S（元）的函數關系如圖所示，當打出電話150分鍾時，這兩種方式電話費相差 元 。
分析：根據題目條件，很難求出兩種收費方
式的函數關系式，題目只要求出通話時間為150
分鍾時兩種電話費的差額，即當t=150時兩函數
值的差。我們可過點C（150，0）作橫坐標軸的
垂線交函數圖像於點C和點D，則CD∥S軸，由
相似三角形的性質可求CD的長度。
解：如圖，過點C（150，0）作橫軸的垂線交射線EA於點C，交射線0B於點D，則CD∥0E。
∴△CMD～△DM0

∴—— = ——

∴CD = ——·OE = ———— =10
故得通話時間150分鍾時兩種話費相差10元

5. 急！！！一道用幾何方法證明的代數題，望高手解答！

你那個有人說的很對呀！
邊長是1的正方形，在一頂點出發的兩相鄰邊取線段長分別a，b，得到第一個直角三角形，剩下的三個也有了。
要證的不等式即是說：正方形的內接四邊形，面積為正方形的一半時時，內接四邊形邊長之和大於等於正方形的兩對角線長之和。
我說的這個幾何結論還要更廣泛一些。當你畫出圖之後會發現很簡單的。

6. 利用幾何圖形列代數式求值

只要給出幾何圖形的有關數值，就可以根據幾何圖形的性質，列出有關的代數式。在初中或高中後期這種題型非常常見，是代數和幾何的結合，在大學叫解析幾何。

7. 求圓錐曲線解答題的幾何問題代數化的具體方法，越多越好……

圓錐 曲線題 是歷年 的難題 其中的 方法 非常的 雜亂 但 總體 分為 代數法，幾何法以及向量法 代數法 主要 就是 通過方程 公式的 變形 得到 ，優勢是 簡單好理解 但是計算量比較大，而且如果 方向不對 有可能還算不到位。其次是 向量法 利用向量的 加減 乘等方式 把 要得出的結論 用向量 來表示 然後反推 這個方法 也好理解 同樣 計算量很大 。第三種方法 就是 利用幾何的 關系 來 得出 想要的 結果 。這種方法 需要 大量的思考 但是 一般計算量要少很多。有時 這幾種 方法 會同時 運用 所以 只有 見的類型多了 自己 才能知道 什麼樣的題 該用什麼方法

8. 怎樣用幾何方法證明代數

根據題意進行數形結合，沒有什麼具體方法，老實講時注意歸納，下去在找題練

9. 我們可以用幾何圖形來解決一些代數問題，如圖（甲）可以來解釋（a+b）2=a2+2ab+b2， （1）圖（乙）是四張

(1)(a-b)^2=a^2-2ab+b^2