『壹』 高中數學函數解題方法
高中數學函數是高中數學課堂中的基本學習內容之一,下面是我為你整理的高中數學函數解題方法，一起來看看吧。
一、學數學就像玩游戲，想玩好游戲，當然先要熟悉游戲規則。
而在數學當中，游戲規則就是所謂的基本定義。想學好函數，第一要牢固掌握基本定義及對應的圖像特徵，如定義域，值域，奇偶性，單調性，周期性，對稱軸等。
很多同學都進入一個學習函數的誤區，認為只要掌握好的做題方法就能學好數學，其實應該首先應當掌握最基本的定義，在此基礎上才能學好做題的方法，所有的做題方法要成立歸根結底都必須從基本定義出發，最好掌握這些定義和性質的代數表達以及圖像特徵。
二、牢記幾種基本初等函數及其相關性質、圖象、變換。
中學就那麼幾種基本初等函數：一次函數(直線方程)、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、正弦餘弦函數、正切餘切函數，所有的函數題都是圍繞這些函數來出的，只是形式不同而已，最終都能靠基本知識解決。
還有三種函數，盡管課本上沒有，但是在高考以及自主招生考試中都經常出現的對勾函數：y=ax+b/x，含有絕對值的函數，三次函數。這些函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質和圖像等各方面的特徵都要好好研究。
三、圖像是函數之魂!要想學好做好函數題，必須充分關注函數圖象問題。
翻閱歷年高考函數題，有一個算一個，幾乎百分之八十的函數問題都與圖像有關。這就要求同學們在學習函數時多多關注函數的圖像，要會作圖、會看圖、會用圖!多多關注函數圖象的平移、放縮、翻轉、旋轉、復合與疊加等問題。
四、多做題，多向老師請教，多總結。
多做題不是指題海戰術，而是根據自己的情況，做適當的題目;重點要落在多總結上，總結什麼呢?總結題型，總結方法，總結錯題，總結思路，總結知識等!
1、注重“類比”思想
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法。初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此陽光學習網劉老師指出，採用類比的方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。
2、注重“數形結合”思想
數形結合的思想方法是初中數學中一種重要的思想方法。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學。而數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長。
函數的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現著函數的“數形結合”。函數圖象就是將變化抽象的函數“拍照”下來研究的有效工具，函數教學離不開函數圖象的研究。
3、注重自變數的取值范圍
自變數的取值范圍，是解函數問題的難點和考點。正確求出自變數取值范圍，正確理解問題，並化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義。
4、注重實際應用問題
『貳』 求解函數解析式的幾種方法及例題
重難點歸納
求解函數解析式的幾種常用方法主要有
1待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；
2換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；
3消參法，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x);
另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法
典型題例示範講解
例1(1)已知函數f(x)滿足f(logax)=(其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表達式
(2)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求�f(x)�的表達式
命題意圖本題主要考查函數概念中的三要素定義域、值域和對應法則，以及計算能力和綜合運用知識的能力
知識依託利用函數基礎知識，特別是對「f」的理解，用好等價轉化，注意定義域
錯解分析本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉化易出錯
技巧與方法(1)用換元法；(2)用待定系數法
解(1)令t=logax(a1,t0;0<a<1,t<0),則x=at
因此f(t)=(at－a－t)
∴f(x)=(ax－a－x)(a1,x0;0<a<1,x<0)
(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c得並且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時等於1或－1，
所以所求函數為
f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1
或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1
例2設f(x)為定義在R上的偶函數，當x≤－1時，y=f(x)的圖象是經過點(－2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點在(0，2)，且過點(－1，1)的一段拋物線，試寫出函數f(x)的表達式，並在圖中作出其圖象
命題意圖本題主要考查函數基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數的分析需要較強的思維能力因此，分段函數是今後高考的熱點題型
知識依託函數的奇偶性是橋梁，分類討論是關鍵，待定系數求出曲線方程是主線
錯解分析本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運用知識易發生混亂技巧與方法合理進行分類，並運用待定系數法求函數表達式解(1)
滿意請採納。
『叄』 能不能給我通俗解釋一下怎麼解關於函數的題目
（一）、映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.
2、對於函數的概念，應注意如下幾點：
（1）掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.
（2）掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變數間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.
（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.
3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：
（1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域；
（2）由y=f(x)的解析式求出x=f－1(y)；
（3）將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f－1(x)，並註明定義域.
注意①：對於分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然後再合並到一起.
②熟悉的應用，求f－1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.
（二）、函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變數間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：
（1）有時一個函數來自於一個實際問題，這時自變數x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；
（2）已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：
①分式的分母不得為零；
②偶次方根的被開方數不小於零；
③對數函數的真數必須大於零；
④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1；
⑤三角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等.
應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變數取值的公共部分（即交集）.
（3）已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.
已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.
2、求函數的解析式一般有四種情況
（1）根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變數，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.
（2）有時題設給出函數特徵，求函數的解析式，可採用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax＋b（a≠0），其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.
（3）若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當於求函數的定義域.
（4）若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量（如f(－x)，等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.
（三）、函數的值域與最值
1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：
（1）直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.
（2）換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.
（3）反函數法：利用函數f(x)與其反函數f－1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如（a≠0）的函數值域可採用此法求得.
（4）配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.
（5）不等式法求值域：利用基本不等式a＋b≥[a，b∈（0，＋∞）]可以求某些函數的值域，不過應注意條件「一正二定三相等」有時需用到平方等技巧.
（6）判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用「△≥0」求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.
（7）利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上（或某個定義域的子集上）的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.
（8）數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.
2、求函數的最值與值域的區別和聯系
求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.
如函數的值域是（0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數的值域是（－∞，－2]∪[2，＋∞），但此函數無最大值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.
3、函數的最值在實際問題中的應用
函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為「工程造價最低」，「利潤最大」或「面積（體積）最大（最小）」等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變數的制約，以便能正確求得最值.
『肆』 解函數題的常用方法··有追加·
1、配方法：所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角函數等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
3、換元法：換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a≠0）根的判別式△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至解析幾何、三角函數運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定系數法：在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的重要方法之一。
『伍』 解一次函數的方法
解一次函數最簡單的方法是代入法：把已知的兩對自變數和應變數的值代入，求得函數關系式。 用帶入法解一次函數的過程，實際就是解一個二元一次方程組，一次函數的要求就是一次項的系數不為0。
『陸』 函數大題做的簡便方法
待定系數法。 一次函數y=kx+b. 正比例函數y=kx. 反比例函數y=k/x. 二次函數一般式y=ax的平方+bx+c. 其中k,a等都不為零。
『柒』 求函數解析式的幾種方法
求函數的解析式的方法
求函數的解析式是函數的常見問題,也是高考的常規題型之一,方法眾多, 求函數的解析式是函數的常見問題 , 也是高考的常規題型之一 , 方法眾多 , 下面 對一些常用的方法一一辨析. 對一些常用的方法一一辨析. 換元法： g(x)） f(x)的解析式 一般的可用換元法，具體為： 的解析式， 一．換元法：已知 f（g(x)）,求 f(x)的解析式，一般的可用換元法，具體為： t=g(x),在求出 f(t)可得 的解析式。 的取值范圍。 令 t=g(x),在求出 f(t)可得 f（x）的解析式。換元後要確定新元 t 的取值范圍。 例題 1．已知 f(3x 1)=4x 3, 求 f(x)的解析式.
x 1 練習 1．若 f ( ) = ,求 f (x) . x 1− x
2.已知 f ( x 1) = x 2 x ，求 f ( x 1)
f(g(x))內的 g(x)當做整體 當做整體， 二．配湊法：把形如 f(g(x))內的 g(x)當做整體，在解析式的右端整理成只含 配湊法： g(x)的形式 的形式， g(x)用 代替。 有 g(x)的形式，再把 g(x)用 x 代替。 一般的利用完全平方公式 1 1 例題 2．已知 f ( x − ) = x 2 2 , 求 f (x) 的解析式. x x
練習 3．若 f ( x 1) = x 2 x ,求 f (x) .
待定系數法：已知函數模型（ 一次函數，二次函數，指數函數等 數等） 三．待定系數法：已知函數模型（如：一次函數，二次函數，指數函數等）求 解析式，首先設出函數解析式， 解析式，首先設出函數解析式，根據已知條件代入求系數 例 3. （1）已知一次函數 f ( x ) 滿足 f (0) = 5 ，圖像過點 ( −2,1) ，求 f ( x ) ；
（2）已知二次函數 g ( x ) 滿足 g (1) = 1 ， g ( −1) = 5 ，圖像過原點，求 g ( x ) ；
（3）已知二次函數 h( x) 與 x 軸的兩交點為 ( −2, 0) ， (3, 0) ，且 h(0) = −3 ，求 h( x) ；
（4）已知二次函數 F ( x ) ，其圖像的頂點是 ( −1, 2) ，且經過原點，求 F ( x ) .
練習 4．設二次函數 f (x) 滿足 f ( x − 2) = f (− x − 2) ,且圖象在 y 軸上截距為 1,在 x 軸上截得的線段長為 2 2 ,求 f (x) 的表達式.
5. 設 f (x) 是一次函數，且 f [ f ( x)] = 4 x 3 ，求 f (x)
四．解方程組法:求抽象函數的解析式，往往通過變換變數構造一個方程，組成 解方程組法:求抽象函數的解析式，往往通過變換變數構造一個方程， 方程組， 方程組，利用消元法求 f（x）的解析式 例題 4．設函數 f (x) 是定義(－∞,0)∪(0, ∞)在上的函數,且滿足關系式
1 3 f ( x) 2 f ( ) = 4 x ,求 f (x) 的解析式. x
練習 6．若 f ( x) f (
x −1 ) = 1 x ,求 f (x) . x
7.
設 f (x) 為偶函數， g (x) 為奇函數，又 f ( x) g ( x) =
1 , 試求 f ( x)和g ( x) 的 x −1
解析式
f(x)的解析式 的解析式， 五．利用給定的特性求解析式;一般為已知 x>0 時， f(x)的解析式，求 x<0 時， 利用給定的特性求解析式 一般為已知 f(x)的解析式 的解析式。 f(-x)的解析式 的解析式， =f(-x)或 f(x)=-f(f(x)的解析式。首先求出 f(-x)的解析式，根據 f（x）=f(-x)或 f(x)=-f(-x) 求得 f(x) 例題 5 設 f (x) 是偶函數,當 x＞0 時, f ( x) = e ⋅ x 2 e x ,求當 x＜0 時， f (x) 的表 達式.
練習 8． x∈R, f (x) 滿足 f ( x) = − f ( x 1) ,且當 x∈[－1,0]時, f ( x) = x 2 2 x 對 求當 x∈[9,10]時 f (x) 的表達式.
9． x∈R， f (x) 滿足 f ( x) = − f ( x 1) ， ． 對 且當 x∈[－1， 時， f ( x) = x 2 2 x ， 0]時 的表達式. 求當 x∈[9，10]時 f (x) 的表達式 時
歸納遞推法：利用已知的遞推公式，寫出若干幾項， 六．歸納遞推法：利用已知的遞推公式，寫出若干幾項，利用數列的思想從中 找出規律， f(x)的解析式 （通項公式） 的解析式。 （通項公式 找出規律，得到 f(x)的解析式。 通項公式） x −1 例題 6．設 f ( x) = ,記 f n ( x) = f { f [L f ( x)]},求 f 2004 ( x) . x 1
練習 10．若 f ( x y ) = f ( x) ⋅ f ( y ) ,且 f (1) = 2 ，
f (2) f (3) f (4) f (2005) L . f (1) f (2) f (3) f (2004)
求值
七．相關點法;一般的，設出兩個點，一點已知，一點未知，根據已知找到兩點 相關點法;一般的，設出兩個點，一點已知，一點未知， 之間的聯系， 把已知點用未知點表示， 最後代入已知點的解析式整理出即可。 （軌 之間的聯系， 把已知點用未知點表示， 最後代入已知點的解析式整理出即可。 軌 （ 跡法） 跡法） 例題 7：已知函數 y=f(x)的圖像與 y=x2 x 的圖像關於點（-2，3）對稱，求 f(x) 的解析式。
練習 11．已知函數 f ( x) = 2 x 1 ,當點 P(x,y)在 y= f (x) 的圖象上運動時,點 Q( −
y x , )在 y=g(x)的圖象上,求函數 g(x). 2 3
的抽象函數， 八．特殊值法;一般的，已知一個關於 x,y 的抽象函數，利用特殊值去掉一個未 特殊值法;一般的， 的解析式。 知數 y，得出關於 x 的解析式。 例題 8：函數 f(x)對一切實數 x,y 均有 f(x y)-f(y)=(x 2y 1)x 成立，且 f(1)=0.求 f(x)的解析式。
九．圖像法;觀察圖像的特點和特殊點，可用代入法，或根據函數圖像的性質進 圖像法;觀察圖像的特點和特殊點，可用代入法， 行解題。注意定義域的變化。 行解題。注意定義域的變化。 y 例題 9． 圖中的圖象所表示的函數的解析式為（ B ） 3 3 A． y = x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 3 B． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2 2 3 O x 1 2 C． y = − x − 1 (0 ≤ x ≤ 2) 2
D． y = 1 − x − 1
(0 ≤ x ≤ 2)
第 7 題圖
總結：求函數的解析式的方法較多，應根椐題意靈活選擇， 總結：求函數的解析式的方法較多，應根椐題意靈活選擇，但不論是哪種方法 都應注意自變數的取值范圍的變化，對於實際問題材，同樣需注意這一點， 都應注意自變數的取值范圍的變化，對於實際問題材，同樣需注意這一點，應 保證各種有關量均有意義。求出函數的解析式最後要寫上函數的定義域， 保證各種有關量均有意義。求出的函數的解析式最後要寫上函數的定義域，這 是容易遺漏和疏忽的地方。 是容易遺漏和疏忽的地方。
『捌』 求函數解析式的方法有哪些
1、待定系數法，（已知函數 類型如：一次、二次函數、反比例函數等）：若已知福（行）的結構時，可設出含參數的表達式，再根據已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數，求得法（行）的表達式，待定系數法是一種重要的數學方法，它只適用於已知所求函數的類型求其解析式
2、換元法（注意新元的取值范圍）已知法（g（x））的表達式，欲求粉（x），我們常設t=g（x），從而求得
然後代入法（g（x））的表達式，從而得到法（t）的表達式，即為法（x）的表達式
3、配湊法（整體代換法）若已知法（g（x））的表達式，欲求粉（x）的表達式，用換元法有困難時（如g（x）不存在反函數）可把g（x）看成一個整體，把右邊變為由g（x）組成的式子，再換元求出f（x）的式子
4、消元法（如自變數互為倒數、已知f（x）為奇函數 且g（x）為偶函數等：若已知以函數為元的方程形式，若能設法構造另一個方程，組成方程組，再解這個方程組，求出函數元，稱這個方法為消元法
5、賦值法（特殊值代入法）在求某些函數的表達式或求某些函數值時，有時把已知條件中的某些變數賦值，使問題簡單明了，從而易於求出函數的表達式。
函數的定義域、值域