二項式求項數簡便方法視頻

① 怎樣求二項式系數的最大值 項數n已知(補充) 希望盡快回復,

「二項式系數」和「系數」是不一樣的!若N為偶數,最大的是中間一項（即第N/2+1）,若N為奇數,最大的是中間兩項（即第（N+1）/2項和第（N+1）/2+1項）.

② 二項式定理公式是什麼樣的

二項式定理論述了(a＋b)n的展開式。人們只要有初步的代數知識和足夠的毅力，便可以得到如下公式，

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

等等。對於(a＋b)12，人們顯然希望不必經由(a＋b)十幾次自乘的冗長計算，就能夠發現其展開式中a7b5的系數。早在牛頓出生之前很久，人們便已提出並解決了二項式的展開式問題。中國數學家楊輝早在13世紀就發現了二項式的秘密，但他的著作直到近代才為歐洲人所知。維埃特在其《分析術引論》前言的命題XI中也同樣論證了二項式問題。但這一偉大發現通常是以布萊茲·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二項式的系數可以很容易地從我們現在稱為「帕斯卡三角」的排列中得到：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

等等

在這個三角形中，每一個新增數字都等於其上左右兩個數字之和。因此，根據帕斯卡三角，下一行的數值為

1 8 28 56 70 56 28 8 1

例如，表值56就等於其上左右兩個數字21＋35之和。

帕斯卡三角與（a＋b）8展開式之間的聯系是非常直接的，因為三角形的最後一行數值為我們提供了必要的系數，即

（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3

＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8

我們只要將三角形的數值再向下延伸幾行，就可以得到（a＋b）12展開式中a7b5的系數為792。所以，帕斯卡三角的實用性是非常明顯的。

年輕的牛頓經過對二項展開式的研究，發明了一個能夠直接導出二項式系數的公式，而不必再繁瑣地延伸三角形到所需要的那行了。並且，他對模式的持續性的固有信念使他認為，能夠正確推導出諸如(a＋b)2或(a＋b)3

這種形式的二項式。

關於分數指數和負數指數問題，在此還需多說一句。我們知道，在初等

這些關系。

以下所列牛頓的二項展開式公式是他在1676年寫給其同時代偉人戈特弗里德·威廉·萊布尼茲的一封信中闡明的（此信經由皇家學會的亨利·奧爾登伯格轉交）。牛頓寫道：

項式的「指數是整數還是（比如說）分數，是正數還是負數」的問題。公式中的A、B、C等表示展開式中該字母所在項的前一項。

對於那些見過現代形式的二項展開式的讀者來說，牛頓的公式可能顯得過於復雜和陌生。但只要仔細研究一下，就可以解決讀者的任何疑問。我們首先來看，

出

也許，這種形式看起來就比較熟悉了。

我們不妨應用牛頓的公式來解一些具體例題。例如，在展開(1＋x)3時，

這恰恰就是帕斯卡三角的非列系數。並且，由於我們的原指數是正整數3，所以，展開式到第四項結束。

但是，當指數是負數時，又有一個完全不同的情況擺在牛頓面前。例如，展開(1＋x)－3，根據牛頓公式，我們得到

或簡化為

方程右邊永遠沒有終止。應用負指數定義，這一方程就成為

或其等價方程

牛頓將上式交叉相乘並消去同類項，證實

（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1

牛頓用等式右邊的無窮級數自乘，也就是求這無窮級數的平方，以檢驗這一貌似奇特的公式，其結果如下：

所以

這就證實了

與牛頓原推導結果相同。

牛頓寫道；「用這一定理進行開方運算非常簡便。」例如，假設我們求

現在，將等式右邊的平方根代入前面標有（）符號的二項展開式中的前6項，當然，此處要用29替換原公式中的x，因而，我

了前6個常數項。如果我們取二項展開式中更多的項，我們就會得到更加精確的近似值。並且，我們還可以用同樣的方法求出三次根、四次根，等等，

續演算。

別奇怪的。而真正令人吃驚的是，牛頓的二項式定理精確地告訴我們應該採用哪些分數，而這些分數則是以一種完全機械的方式得出的，無須任何特殊的見解與機巧。這顯然是一個求任何次方根的有效而巧妙的方法。

二項式定理是我們即將討論的偉大定理的兩個必要前提之一。另一個前提是牛頓的逆流數，也就是我們今天所說的積分。但是，對逆流數的詳盡說明屬於微積分問題，超出了本書的范圍。然而，我們可以用牛頓的話來闡述其重要定理，並舉一兩個例子來加以說明。

牛頓在1669年中撰著的《運用無窮多項方程的分析學》一書中提出了逆流數問題，但這部論著直到1711年才發表。這是牛頓第一次提出逆流數問題，他將他的這部論文交給幾個數學同事傳閱。比如，我們知道，艾薩克·巴羅就曾看到過這部論文，他在1669年7月20日給他一個熟人的信里寫道：「……我的一個朋友……在這些問題上很有天分，他曾帶給我幾篇論文。」巴羅或《分析學》一書的任何其他讀者遇到的第一個法則如下。

設任意曲線AD的底邊為AB，其垂直縱邊為BD，設AB＝x，

BD＝y，並設a、b、c等為已知量，m和n為整數。則：

到x點之內的圖形的面積。根據牛頓法則，這一圖形的面積為

按照牛頓公式，面積為12x2，對這一結果，可以很容易地用三角形面積公式

牛頓又進一步說明了《分析學》一書的法則2，「如果y值是由幾項之和組成的，那麼，其面積也同樣等於每一項面積之和。」例如，他寫道，曲

那麼，牛頓所採用的兩個工具就是：二項式定理和求一定曲線下面積的流數法。他運用這兩個工具，可以得心應手地解決許多復雜的數學與物理問題，而我們將要看到的是牛頓如何應用這兩個工具，使一個古老的問題獲得了全新的生命：計算π的近似值。我們在第四章的後記中，追溯了這一著名數字的某些歷史，確認了某些學者，如阿基米德、韋達和盧道爾夫·馮瑟倫在計算更精確的π近似值方面所作出的貢獻。1670年左右，這個問題引起了艾薩克·牛頓的注意。他運用他奇妙的新方法，對這一古老問題進行研究，並取得了輝煌的成就。

③ 在等差數列中求項數的簡便方法

項數=（末項-首項）÷公差+1。

例： 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數列求和公式時，有時項數並不是一目瞭然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到

項數=（末項-首項）÷公差+1，

末項=首項+公差×（項數-1）。

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等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有

的求和公式。

④ 知道二項式各項系數的和..求項數

哪裡來的n?

⑤ 怎樣計算項數

計算相數公式：項數＝（末項-首項）÷公差＋1。

數列中項的總數之和為數列的「項數」，在數列中，項數是一個正整數。

共有（99-1）÷2+1=50個數

1+3+5+...+97+99=（1+99）X50÷2=2500

數列（sequence of number）是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項，通常用an表示。

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項數在等差數列中的應用

和=（首項+末項）×項數÷2

項數=（末項-首項）÷公差+1

首項=2和÷項數-末項

末項=2和÷項數-首項

數列中項的總數為數列的「項數」。

求2003×2002-2002×2001+2001×2000-2000×1999+......+3×2-2×1

2002（2003-2001）+2000（2001-1999）+......+2（3-1）

2002×2+2000×2+1998×2+……+2×2

2×（2002+2000+1998+……+2)

項數=（末項-首項）/公差+1

則（2002-2）/2+1=1001

2002+2000+1998+……+2=（2002+2）×1001/2=1003002

2×1003002=2006004

1、代數式的單項式中的數字因數叫做它的系數(coefficient).單項式中所有字母的指數的和叫做它的次數。

2、次數指扭轉沖擊回數或振動回數，例如對於發動機 曲軸的扭轉振盪，指軸每旋轉一周的沖擊回數或振動回數。

3、數列求和的方法：公式法、錯位相減法、倒序相加法、分組法、裂項相消法、數學歸納法、通項化歸法、並項求和法。

⑥ 二項式公式是什麼

只有兩項的多項式，即兩個單項式的和。

形式

1、線性形式

如果二項式的形式為ax+b（其中a與b是常數，x是變數），那麼這個二項式是線性的。

2、復數形式

復數是形式為a+bi的二項式，其中i是-1的平方根。

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發展簡史

二項式定理最初用於開高次方。在中國，成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程序。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了「開方作法本原圖」，滿足了三次以上開方的需要。

此圖即為直到六次冪的二項式系數表，但是，賈憲並未給出二項式系數的一般公式，因而未能建立一般正整數次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章演算法》中引用了此圖，並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。

賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為「賈憲三角」或「楊輝三角」。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖，並增加了兩層，添上了兩組平行的斜線。

在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式系數表的構造方法：每一列中的任一數等於上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。

13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤演算法集成》中給出了高次開方的近似公式，並用到了二項式系數表。15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，並給出了直到九次冪的二項式系數表，還給出了二項式系數表的兩術書中給出了一張二項式系數表，其形狀與賈憲三角一樣。

16世紀，許多數學家的書中都載有二項式系數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。

1665年，英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀，瑞士的歐拉和義大利的卡斯蒂隆分別採用待定系數法和「先異後同」的方法證明了實指數情形的二項式定理。

⑦ 二項式項數規律

如圖

⑧ 怎樣求二項式系數

求常數向只需用公式套入，另x的次方數等於0，得出項數即可求出

⑨ 二項式的解法，有沒有簡便的方法可以求出來

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令 272 3 r, 6r, 所以2 x的系數為14)2(6 7767C. 2.展開式中的某一項 此類問題的常規解法是直接利用通項公式求解. 例5
73 )12(x x 的展開式中常數項為 ( ) A、14 B、14 C、42 D、42 解: 設展開式中第1r項為常數項,則
rr rrx xCT)1() 2(737 1 
=2 )7(37 72 )1(rrrr rx C . 令(
36,02 )7 rr r則, 142)1(6 76C所求常數項為,故選(A). 例6年全國卷2005(Ⅰ
)8 )1(x x 的展開式中常數項為________.(用數字作答) 解:設展開式中第1r項為常數項,則
rrrrx xCT)1(881=r rrxC288)1(. 令4,028rr則, 70)1(484C所求常數項為. 例7 已知
(x x12  )n
的展開式中第三項與第五項的系數之比為 14 3 ，則展開式中常數項是 ( ) (A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45 解
: 2 521)1()1(nrr nnrnrnr rnn rx Cx xC T,
因為展開式中第三項與第五項的系數之比為 14 3，
143 )1()1(4 42 2nn nnnnCC, 化簡得:05052 nn,10n.

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令 02 10 5r,則2r
, 45) 1(2 10252 1010 2 10x C 所求常數項為. 例8 (2x
－ 1x )6 展開式中常數項為________. (用數字作答) 解: 設展開式中第1r項為常數項,則
rr rrx xCT)1() 2(66 1
 =rrr r x C2 366 62 )1(
. 令02 3 6 r,則4r. 602)1(4 6464C所求常數項為. 3.求展開式中冪指數為整數的項數 此類問題的常規解法是將展開式的通項整理,令其冪指數為整數,從而求出項數. 例
9
123)(xx的展開式中,含x的正整數冪的項數共有________. 解: 設展開式中第1r項的冪為正整數,
則
rrr rxxCT)()(31212
1=3 21212 r rr
xC=6 612r r x C. 依題意,1206rr的倍數，且 是,個值共有3r
.
即123)(xx的展開式中,含x的正整數冪的項數共有3個.
例10
243 )1 (x x 的展開式中,x的冪指數是整數有 ( ) A.3項 B.4項 C.5項 D.6項 解: 設展開式中第1r項的冪指數為整數,
則
r rrrxxCT)() (
3 2424 1=3 22424 r rr
x C=6 51224 rr x C . 依題意,2406rr的倍數，且 是,個值共有5r
.
即243 )1 (x x 的展開式中,x的冪指數是整數有5個,故選C. 4.求展開式中某些項的系數和 此類問題的常規解法是賦值法. 例11 若)() 21(2004200422102004 Rxxaxaxaax,則 )(10aa)(20aa+)()(2004030aaaa=_________.(用數字作答) 解:令1,00ax得