Ⅰ 高中數學的基本思想方法有哪些
1、函數方程思想
函數思想,是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想,是從問題的數量關系入手,運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)。
然後通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時,還需要函數與方程的互相轉化、接軌,達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是:實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界,充斥著等式和不等式。我們知道,哪裡有等式,哪裡就有方程;哪裡有公式,哪裡就有方程。
求值問題是通過解方程來實現的……等等;不等式問題也與方程是近親,密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系,函數思想通過提出問題的數學特徵,建立函數關系型的數學模型,從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地,函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題。
經常利用的性質是:f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解決問題中。
善於挖掘題目中的隱含條件,構造出函數解析式和妙用函數的性質,是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時,才能產生由此及彼的聯系。
構造出函數原型。另外,方程問題、不等式問題、集合問題、數列問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題,即用函數思想解答非函數問題。
2、數形結合思想
「數無形,少直觀,形無數,難入微」,利用「數形結合」可使所要研究的問題化難為易,化繁為簡。把代數和幾何相結合,例如對幾何問題用代數方法解答,對代數問題用幾何方法解答,這種方法在解析幾何里最常用。
例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值,就可以把它放在坐標系中,把它轉化成一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離,就可以求出它的最小值。
3、分類討論思想
當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時,需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候,就要分類討論a的取值情況。
4、方程思想
當一個問題可能與某個方程建立關聯時,可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候,就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。
5、整體思想
從問題的整體性質出發,突出對問題的整體結構的分析和改造,發現問題的整體結構特徵,善於用「集成」的眼光,把某些式子或圖形看成一個整體,把握它們之間的關聯,進行有目的的、有意識的整體處理。
整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應用,整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。
6、化歸思想
在於將未知的,陌生的,復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的,熟悉的,簡單的問題。三角函數,幾何變換,因式分解,解析幾何,微積分,乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。
常見的轉化方式有:一般 特殊轉化,等價轉化,復雜 簡單轉化,數形轉化,構造轉化,聯想轉化,類比轉化等。
轉化思想亦可在狹義上稱為化歸思想。化歸思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經過某種轉化手段,轉化為有固定解決模式的或者容易解決的問題B,通過解決問題B來解決問題A的方法。
7、隱含條件思想
沒有明文表述出來,但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件,或者是沒有明文表述,但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形,一條線段垂直於底邊,那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。
8、類比思想
把兩個(或兩類)不同的數學對象進行比較,如果發現它們在某些方面有相同或類似之處,那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。
9、建模思想
為了更具科學性,邏輯性,客觀性和可重復性地描述一個實際現象,人們採用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象,這種語言就是數學。
使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。有時候我們需要做一些實驗,但這些實驗往往用抽象出來了的數學模型作為實際物體的代替而進行相應的實驗,實驗本身也是實際操作的一種理論替代。
10、歸納推理思想
由某類事物的部分對象具有某些特徵,推出該類事物的全部對象都具有這些特徵的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納),簡言之,歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理。
另外,還有概率統計思想等數學思想,例如概率統計思想是指通過概率統計解決一些實際問題,如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外,還可以用概率方法解決一些面積問題。
Ⅱ 什麼是分類思想
分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點,將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。
分類以比較為基礎,比較是分類的前提,分類是比較的結果。
Ⅲ 數學思想中分類討論在生活中有什麼運用
分類討論是指在解決一個復雜問題時,應將討論的對象分成若干相對簡單的情況,然後對各種情況逐個討論,最終使整個問題得以解決。分類的一般原則是不重不漏,特別是不能遺漏所討論問題的各種情形
比如你在工作中的問題,假設你所在的公司本月銷售業績下降,那麼,用分類討論的方法,將公司經營的各個部門環節分解(生產、銷售、售後、成本、銷售價格、費用等等),在逐個討論,找出問題的根本.
生活中,比如你跟父親鬧了點矛盾(不好意思,只是比喻),你可以分解為(觀念、角度、主客觀思想、事件原因等等很多),去慢慢化解.
Ⅳ 分類討論的思想的運用
分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想在簡化研究對象,發展思維方面起著重要作用,因此,有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中佔有重要地位.
所謂分類討論,就是在研究和解決數學問題時,當問題所給對象不能進行統一研究,我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點,將對象區分為不同種類,然後逐類進行研究和解決,最後綜合各類結果得到整個問題的解決,這一思想方法,我們稱之為「分類討論的思想」.
1. 分類討論的思想方法是中學數學的基本方法之一,是歷年高考的重點
⑴分類討論的思想具有明顯的邏輯特點;
⑵分類討論問題一般涵蓋知識點較多,有利於對學生知識面的考察;
⑶解決分類討論問題,需要學生具有一定的分析能力和分類技巧;
⑷分類討論的思想與生產實踐和高等數學都緊密相關.
2. 分類討論的思想的本質
分類討論思想的本質上是「化整為零,積零為整」,從而增加了題設條件的解題策略.
3. 運用分類討論的思想解題的基本步驟
⑴確定討論對象和確定研究的區域;
⑵對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重復、不遺漏、標准統一、分層不越級);
⑶逐類討論:即對各類問題詳細討論,逐步解決;
⑷歸納總結,整合得出結論.
4. 明確分類討論的思想的原因,有利於掌握分類討論的思想方法解決問題,其主要原因有:
⑴由數學概念引起的分類討論:如絕對值定義、等比數列的前n項和公式等等;
⑵由數學運算要求引起的分類討論:如偶次方根非負、對數中的底數和真數的要求、不等式兩邊同乘以實數對不等號方向的影響等等;
⑶由函數的性質、定理、公式的限制引起的分類討論;
⑷由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論;
⑸由參數的變化引起的分類討論:某些含參數的問題,由於參數的取值不同會導致所得結果不同,或由於不同的參數值要運用不同的求解或證明方法;
⑹其他根據實際問題具體分析進行分類討論,如排列、組合問題,實際應用題等.
5. 分類討論思想的類型
⑴問題中的變數或含有需討論的參數的,要進行分類討論的;
⑵問題中的條件是分類給出的;
⑶解題過程不能統一敘述,必須分類討論的;
⑷涉及幾何問題時,由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.
Ⅳ 分類思想詳解 分類要按什麼進行,分類要做到不什麼不什麼
分類討論思想在解題中的應用分類討論思想在解題中的應用分類討論思想在解題中的應用分類討論思想在解題中的應用 一一一一、、、、知識整合知識整合知識整合知識整合 1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想對於簡化研究對象,發展人的思維有著重要幫助,因此,有關分類討論的數學命題在高考試題中佔有重要位置.2.所謂分類討論,就是當問題所給的對象不能進行統一研究時,就需要對研究對象按某個標准分類,然後對每一類分別研究得出每一類的結論,最後綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上,分類討論是「化整為零,各個擊破,再積零為整」的數學策略.3.分類原則:分類對象確定,標准統一,不重復,不遺漏,分層次,不越級討論.4.分類方法:明確討論對象,確定對象的全體,確定分類標准,正確進行分類;逐類進行討論,獲取階段性成果;歸納小結,綜合出結論.5.含參數問題的分類討論是常見題型.6.注意簡化或避免分類討論.二二二二、、、、例題分析例題分析例題分析例題分析 例1.一條直線過點(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這直線方程為( ) A.xy+−=70 B.250xy−= C.xyxy+−=−=70250或 D.xyyx++=−=70250或 分析:設該直線在x軸,y軸上的截距均為a,當a=0時,直線過原點,此時直線方程為yxxy=−=25250,即; 當a≠0時,設直線方程為xayaa+==17,則求得,方程為xy+−=70.例2.∆ABCABC中,已知,求sincoscos==12513 分析:由於CAB=−+π()[]∴=−+=−−⋅coscos()coscossinsinCABABAB 因此,只要根據已知條件,求出cosA,sinB即可得cosC的值.但是由sinA求cosA時,是一解還是兩解?這一點需經過討論才能確定,故解本題時要分類討論.對角A進行分類.∵051322⇒−
Ⅵ 數學中的分類思想
分類的原因可歸結為:①涉及的數學概念是分類定義的;
②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的;
③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能;
④數學問題中含有參變數,這些參變數的取值會導致不同結果的。
Ⅶ 小學數學思想方法有哪幾種
小學數學常用16種思想方法:
1、對應思想方法對應是人們對兩個集合因素之間的聯系的一種思想方法,小學數學一般是一一對應的直觀圖表,並以此孕伏函數思想。如直線上的點(數軸)與表示具體的數是一一對應。
2、假設思想方法假設是先對題目中的已知條件或問題作出某種假設,然後按照題中的已知條件進行推算,根據數量出現的矛盾,加以適當調整,最後找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想像思維,掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體,從而豐富解題思路。
3、比較思想方法比較思想是數學中常見的思想方法之一,也是促進學生思維發展的手段。在教學分數應用題中,教師善於引導學生比較,題中已知和未知數量變化前後的情況,可以幫助學生較快地找到解題途徑。
4、符號化思想方法、用符號化的語言(包括字母、數字、圖形和各種特定的符號)來描述數學內容,這就是符號思想。如數學中各種數量關系,量的變化及量與量之間進行推導和演算,都是用小小的字母表示數,以符號的濃縮形式表達大量的信息。如定律、公式等。
5、類比思想方法類比思想是指依據兩類數學對象的相似性,有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想。如加法交換律和乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式。類比思想不僅使數學知識容易理解,而且使公式的記憶變得順水推舟的自然和簡潔。
6、轉化思想方法轉化思想是由一種形式變換成另一種形式的思想方法,而其本身的大小是不變的。如幾何的等積變換、解方程的同解變換、公式的變形等,在計算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分類思想方法分類思想方法不是數學獨有的方法,數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標准。如自然數的分類,若按能否被2整除分奇數和偶數;按約數的個數分質數和合數。又如三角形可以按邊分,也可以按角分。不同的分類標准就會有不同的分類結果,從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理分類取決於分類標準的正確、合理性,數學知識的分類有助於學生對知識的梳理和建構。
8、集合思想方法集合思想就是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等來解決數學問題或非純數學問題的思想方法。小學採用直觀手段,利用圖形和實物滲透集合思想。在講述公約數和公倍數時採用了交集的思想方法。
9、數形結合思想方法數和形是數學研究的兩個主要對象,數離不開形,形離不開數,一方面抽象的數學概念,復雜的數量關系,藉助圖形使之直觀化、形象化、簡單化。另一方面復雜的形體可以用簡單的數量關系表示。在解應用題中常常藉助線段圖的直觀幫助分析數量關系。
10、統計思想方法:小學數學中的統計圖表是一些基本的統計方法,求平均數應用題是體現出數據處理的思想方法。
11、極限思想方法:事物是從量變到質變的,事物是從量變到質變的,極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。在講「圓的面積和周長時,化圓為方」「化在講圓的面積和周長」時「化圓為方化曲為直」的極限分割思路,在觀察有限分割的基礎上想像它們的極限狀態,這樣不僅使學生掌握公式還能從曲與直的矛的極限分割思盾轉化中萌發了無限逼近的極限思想。
12、代換思想方法:他是方程解法的重要原理,解題時可將某個條件用別的條件進行代換。如學校買了4張桌子和9把椅子,共用去504元,一張桌子和3把椅子的價錢正好相等,桌子和椅子的單價各是多少?
13、可逆思想方法:它是邏輯思維中的基本思想,當順向思維難於解答時,可以從條件或問題思維尋求解題思路的方法,有時可以借線段圖逆推。如一輛汽車從甲地開往乙地,第一小時行了全程的1/7,第二小時比第一小時多行了16千米,還有94千米,求甲乙之距。
14、化歸思維方法:把有可能解決的或未解決的問題,通過轉化過程,歸結為一類以便解決可較易解決的問題,歸結為一類以便解決可較易解決的問題,以求得解決,這就是「化歸」。而數學知識聯系緊密,新知識往往是舊知識的引申和擴展。讓學生面對新知會用化歸思想方法去思考問題,對獨立獲得新知能力的提高無疑是有很大幫助。
15、變中抓不變的思想方法:在紛繁復雜的變化中如何把握數量關系,抓不變的量為突破口,往往問了就迎刃而解。如:科技書和文藝書共630本,其中科技書20%,後來又買來一些科技書,這時科技書佔30%,又買來科技書多少本?
16、數學模型思想方法:數學模型思想方法:所謂數學模型思想是指對於現實世界的某一特定對象,從它特定的生活原型出發,充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析綜合概括等所謂過程,得到簡化和假設,它是把生活中實際問題轉化為數學問題模型的一種思想方法。培養學生用數學的眼光認識和處理周圍事物或數學問題乃數學的最高境界,也是學生高數學素養所追求的目標。
17、整體思想方法:整體思想方法:對數學問題的觀察和分析從宏觀和大處著手,整體把握化零為整,對數學問題的觀察和分析從宏觀和大處著手,整體把握化零為整,往往不失為一種更便捷更省時的方法
Ⅷ 什麼是分類思想如何培養學生的分類思想
分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點,將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。分類以比較為基礎,比較是分類的前提,分類是比較的結果。
培養學生的分類整合思想方法
1、結合具體情境,運用摘錄、表格、畫圖等策略引導學生在理解的基礎上構建數學模型。在教學中結合具體情境,放手讓學生用自己喜歡的方法對情景中的信息加以梳理,將抽象難懂的文本信息轉化為形象易懂的圖畫、圖表等信息。
幫助學生直觀地理清信息之間的關系,並對各種解題策略進行分析與比較,突出了畫線段圖整理信息的優越性。
2、藉助生活事例導入新課,運用模擬表演策略幫助學生理解「數學問題」。在初步理解相遇問題基本特徵的基礎上,添加相應的數學信息,提煉生成完整的數學問題,幫助學生把「生活問題」轉化為「數學問題」。
這是一種極具親歷性的學習方式,需要學生進入到情境中,親自參與其中的合作活動,並在參與合作活動中獲得體驗。
3、在解決問題的過程中,讓學生通過自主整理——組內交流——展示匯報——分析比較——提煉升華等一系列活動,獲得解決問題的策略。積累解決問題的經驗,增強學生的數學應用意識及運用知識方法解決簡單實際問題的能力。
通過知識、技能和方法的遷移,突破了固定的思維框架,形成了自己的認知結構,並充分體現了知識與能力素質的培養過程。
教學應用
教學中可從以下這些方面,讓學生在學習數學的過程中,通過類比、觀察、分析、綜合、討論和概括,形成對分類思想的主動應用。
一、 逐步逐年級滲透分類思想,養成分類的意識。
每個學生在日常中都具有一定的分類知識,如人群的分類、文具的分類等,我們利用學生的這一認識基礎,把生活中的分類遷移到數學中來,在教學中進行數學分類思想的滲透,挖掘教材提供的機會,把握滲透的契機。
可表示任意數後,讓學生對數a 進行分類,得出正數、零、負數三類。講解絕對值的意義時,引導學生得到如下分類: 通過對正數、零、負數的絕對值的認識,了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。
結合「有理數」這一章的教學,反復滲透,強化數學分類思想,使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。並能在分類討論的時候注意一些基本原則,如分類的對象是確定的,標準是統一的,如若不然,對象混雜,標准不一,就會出現遺漏、重復等錯誤。
如把有理數分為:正數、負數、整數,就是犯分類標准不一的錯誤。在確定對象和標准之後,還要注意分清層次,不越級討論。
二 、滲透學習分類方法,增強思維的縝密性。
在教學中滲透分類思想時,應讓學生了解,所謂分類就是選取適當的標准,根據對象的屬性,不重復、不遺漏地劃分為若干類,而後對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法,就成為解決問題的關鍵所在。
Ⅸ 生活中的分類思想
分類討論是指在解決一個復雜問題時,應將討論的對象分成若干相對簡單的情況,然後對各種情況逐個討論,最終使整個問題得以解決.分類的一般原則是不重不漏,特別是不能遺漏所討論問題的各種情形
比如你在工作中的問題,假設你所在的公司本月銷售業績下降,那麼,用分類討論的方法,將公司經營的各個部門環節分解(生產、銷售、售後、成本、銷售價格、費用等等),在逐個討論,找出問題的根本.
生活中,比如你跟父親鬧了點矛盾(不好意思,只是比喻),你可以分解為(觀念、角度、主客觀思想、事件原因等等很多),去慢慢化解.
Ⅹ 分類思想的分類
分類討論思想,貫穿於整個中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題,就其引起分類的原因,可歸結為:①涉及的數學概念是分類定義的;②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的;③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能;④數學問題中含有參變數,這些參變數的取值會導致不同結果的。應用分類討論,往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程,可培養學生思考的周密性,條理性,而分類討論,又促進學生研究問題,探索規律的能力。
分類思想的初高中教學銜接
1.定位
●三大基本思想之一;
●可以用紙筆方式直接測試;
●大規模考試必測的內容.
2.分類思想解題的思維過程分析
在運用分類的思想進行解題時,其思維過程通常可以分為:第一,要明確是否需要分類討論;第二,確定分類的對象;第三,確定分類的標准;第四,逐類逐級分類討論;第五,綜合、歸納結論.
第一 明確是否需要分類討論
運用分類的思想解題首先需要明確分類討論的原因.即哪些問題常常需要用到分類的思想來解決.大多數的學生在面對一個數學問題時,不易判斷此問題是否需要用到分類的方法來解決該問題,即無法根據問題的條件和結論迅速辨認問題中與分類有關的數量關系或位置關系.因此,從所給的問題情境中,正確而迅速地辨認題目中與分類有關的數量關系或位置關系的,是解決問題的基礎,一般地說,當我們研究的問題是下列幾種的情形時,可以考慮使用分類的思想方法來解決問題.
●涉及到分類定義的概念.
有些概念是分類定義的,如有理數、實數、絕對值、等腰三角形、平方根、有理式的概念等,當我們應用這些概念時就必須考慮使用分類討論的方法.
例1:等腰三角形的周長為16,其中一條邊的長為6,求另兩條邊的長.
有些概念在下定義時,對所考慮的對象的范圍進行了限制,如分式、一元二次方程的概念等,當解題過程中需要突破這些限制時,就必須考慮使用分類討論的方法.
例2:解關於x的方程(a-1)x-2ax+a=0
● 直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則.
《數學課程標准》的要求,直接運用了分類研究的定理、性質、公式、法則的有:
有理數的大小比較法則;有理數的加法、乘法、除法、乘方法則;有理數乘法運算律之際的符號與因數的符號的關系;添括弧、去括弧法則;方程兩邊都乘以(或除以)同一個不為零的數,方程的解不變;不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正(負)數,不等號的方向不(改)變;一元二次方程的求根公式;一元二次方程根的判別式;直線與圓的位置關系(交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較);兩圓的位置關系((交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較);一次函數的性質;反比例函數的性質;二次函數的性質等.
當我們應用一元二次方程根的判別式,直線與圓的位置關系(交點的個數多少、半徑與圓心到直線的距離的數量大小比較),兩圓的位置關系((交點的個數多少、兩圓半徑的和與圓心距的數量大小比較),這些性質解題時,可以考慮使用分類討論的方法.
當我們應用其他受到適用范圍條件限制的定理、性質、公式、法則來解決問題時,如果在解決問題時需要突破對定理、性質、公式、法則的條件限制時可以考慮使用分類討論的方法.
例3:函數y=kx+3 (-1≤x≤1,且k≠0)的圖象上的點都在x軸的上方,則k的取值范圍是 .
●進行某些有限制的運算.
在解題時,遇到除法、開偶次方、含有絕對值符號等運算時,應該考慮使用分類討論的方法.
●在計算、推理過程中,遇到數量大小不確定.
在計算、推理過程中,往往會遇到同一個已知條件具有不同的取值(在取值范圍內),且由於取值的不同,導致了不同的結果的出現.遇到這種情況,可以考慮使用分類的方法解決問題.
在初中數學教學的過程中逐步恰當地滲透數學思想方法,培養學生的思維能力,讓學生形成良好的數學思維習慣,既是符合新課程的標准,又是進行數學素質教育的一個極好的切入點。數學中的分類思想不但是一種重要的數學思想,而且是一種重要的數學邏輯方法,分類思想不僅在數學知識的探究和概念學習中十分重要,而且在解決數學問題過程中起著不可替代的作用。
數學中的分類思想,是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點,將其分成幾個不同種類,進行研究從而解決問題的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想,更是一種重要的數學邏輯方法。
所謂數學分類討論方法,就是將數學對象分成幾類,分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不象一般的數學知識那樣,通過幾節課的教學就可讓學生掌握應用。而是要根據學生的年齡特徵,學生在學習的各階段的認知水平,逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內涵,從而達到利用數學分類討論方法來解決問題的目的。
教學中可從以下這些方面,讓學生在學習數學的過程中,通過類比、觀察、分析、綜合、討論和概括,形成對分類思想的主動應用。
一 逐步,逐年級滲透分類思想,養成分類的意識
每個學生在日常中都具有一定的分類知識,如人群的分類、文具的分類等,我們利用學生的這一認識基礎,把生活中的分類遷移到數學中來,在教學中進行數學分類思想的滲透,挖掘教材提供的機會,把握滲透的契機。如七年級學習數的分類,絕對值的意義,不等式的性質等,都是滲透分類思想的很好機會。 認識數?ㄊ??
可表示任意數後,讓學生對數a 進行分類,得出正數、零、負數三類。講解絕對值的意義時,引導學生得到如下分類: 通過對正數、零、負數的絕對值的認識,了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。結合「有理數」這一章的教學,反復滲透,強化數學分類思想,使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。並能在分類討論的時候注意一些基本原則,如分類的對象是確定的,標準是統一的,如若不然,對象混雜,標准不一,就會出現遺漏、重復等錯誤。如把有理數分為:正數、負數、整數,就是犯分類標准不一的錯誤。在確定對象和標准之後,還要注意分清層次,不越級討論。
二 滲透學習分類方法,增強思維的縝密性
在教學中滲透分類思想時,應讓學生了解,所謂分類就是選取適當的標准,根據對象的屬性,不重復、不遺漏地劃分為若干類,而後對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法,就成為解決問題的關鍵所在。
分類的方法一般有以下幾種:
1、根據數學概念進行分類
例1 一個數的平方與它的絕對值相比較,你能夠確定它們之間的大小關系嗎?
分析:我們知道,對於范圍在0到1之間的數,這些數的平方是小於、等於數字本身的;而對於大於1的數,它的平方是大於這個數本身的.由於題目中所給數的范圍沒有明確,因此我們無法確定這個數的平方與它的絕對值的大小,所以需要分情況進行討論(可輔助數軸進行討論).
2、根據圖形特徵進行分類
例2△ABC中,AB=8,角B等於30°,AC=5,求BC
分析:本題根據三角形的特徵,把△ABC分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行分類討論,從而求出BC的兩個結果。
在初三證明圓周角定理時,由於圓心的位置有:在角的邊上、角的內部,角的外部三種不同情況,因此我們可以引導學生先證明圓心在圓周角的一條邊上,這種最容易證明的情況,然後通過作過圓周角頂點的直徑,然後利用先證明的這種情況來依次解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一個初中教材種比較典型的定理,從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法,為中招的壓軸題考查分類討論的思想和方法做好了鋪墊。
三 引導學生分類討論,提高合理解題的能力
初中課本有不少定理、定義,公式,法則、習題都需要分類討論,在進行這些內容時,應不斷強化分類討論的意識,讓學生去認識到這些問題:只有通過分類討論後,得到結論才可能是完整的、正確的,如不分類討論,就很容易出現錯誤,遺漏。在解題教學中,通過分類討論還有利於幫助學生總結出規律性的東西,從而加強學生思維的條理性,縝密性。 一般來講,利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類:;其一是涉及代數式或函數或方程中,根據字母不同的取值情況,分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況,逐一討論解決問題(近年來我省常在壓軸題中考查此知識點)。
例4、某超市推出如下優惠??昳?方案{1}一次性購物不超過100元不享受優惠。{2}一次性購物超過100元,但不超過300元一律9折{3]一次性購物超過300元一律8折。
王波兩次購物分別付款80元,252元。如果他一次性購買與上兩次相同的商品,則應付款( )
A.288元 B.332元 C.288元或316元 D.332元或316元
解:第一次購物顯然沒有超過100,因為80/0.9=88.88,所以第一次實質購物價值為80
設第一次實質購物價值為X,那麼依題意有:
1.不超過300.
X*0.9=252
解得 X=280
那麼該付款
(X+80)*0.8=288
2. 超過300
X*0.8=252
X=315
那麼該付款
(X+80)*0.8=316
由上面的幾個例子,我們可以看出分類討論方法往往能使一些錯綜復雜的問題變得簡單,解題思路非常的清晰,步驟非常的明了。而另一方面在課堂討論當中,可以激發學生學習數學的興趣。
實踐證明,分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性,對培養初中學生全面、周密地分析問題和解決問題的能力起到了十分關鍵的作用。在初中數學教學中我們要時刻滲透分類思想,引導學生多利用分類討論方法解決問題。