A. 高考數學：求函數值域問題方法的總結
1.配方法：轉化為二次函數,利用二次函數的特徵來求值；常轉化為型如： 的形式；
2.逆求法（反解法）：通過反解,用 來表示 ,再由 的取值范圍,通過解不等式,得出 的取值范圍；常用來解,型如： ；
3.換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函數,化歸思想；
4.三角有界法：轉化為只含正弦、餘弦的函數,運用三角函數有界性來求值域；
5.基本不等式法：轉化成型如： ,利用平均值不等式公式來求值域；
6.單調性法：函數為單調函數,可根據函數的單調性求值域.
B. 高中數學的值域的十種詳細求法
函數解析式的求法:1,配方法
2，換元法
3，解方程組法
值域的求法：1，配方法
2，換元法
3，基本不等式
4，反函數法（分式函數）5，單調性法
6，導數法
7，數形結合
8，向量法
9，判別式法
10，構造法
值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。
計算方法：
1、化歸法
通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6 注意：換元後勿忘還原；利用函數和他的反函數定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。
2、圖像法
根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。
3、配方法
利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。
4、單調性法
利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。
5、反函數法
若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。
6、換元法
包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍 。
7、判別式法
判別式法即利用二次函數的判別式求值域。
8、復合函數法
設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。
9、三角代換法
利用基本的三角關系式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小於或等於1. 直接計算麻煩 用三角代換法比較簡單：
做法：設a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,則 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因為我們知道cos (y-x)小於等於1，所以不等式成立。；
10、不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函數值域時，要時刻注意不等式成立的條件，即「一正，二定，三相等」。
11、分離常數法
把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況，由於分子分母中都有未知數與常數的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數變成分母的倍數，然後就只剩下常數除以一個含有未知數的式子。
D. 高一函數的值域的求法
求函數值域的方法有配方法，常數分離法，換元法，逆求法，基本不等式法，求導法，數形結合法和判別式法等，高一函數值域暫時沒有導數法和基本不等式法。
1、配方法：二次函數求值域，將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域求函數的值域，畫一個簡單圖更能便捷直觀的求值域。
2、常數分離：一般是對於分數形式的函數來說的。將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離求得值域。
3、逆求法：對於y=f(x)看成方程，去求為x=f⁻¹（y），此時可得出y的限制范圍，就是原式的值域了，這實際是一種方程的方法，利用方程有解的條件得出y的不等式，從而求出函數的定義域。
4、換元法：對於函數的某一部分較復雜或生疏可用換元法，將其轉變成我們熟悉的二次函數或其它函數的基本形式求解。
5、單調性：先求出函數的單調性，注意先求定義域，根據單調性再求函數的值域。
6、基本不等式：根據我們學過的基本不等式可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。
7、數形結合：可根據函數給出的式子畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域。（對於選擇填空題非常實用）
8、求導法：求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值就可得到值域了。
9、判別式法：將函數轉變成某某等於零的形式，再用解方程的方法求出要滿足的條件，求解即可。
E. 高一數學函數求值域的方法
函數值域求法介紹
在函數的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應法則共同確定。研究函數的值域，不但要重視對應法則的作用，而且還要特別重視定義域對值域的制約作用。確定函數的值域是研究函數不可缺少的重要一環。對於如何求函數的值域，是學生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識面廣，方法靈活多樣，在高考中經常出現，佔有一定的地位，若方法運用適當，就能起到簡化運算過程，避繁就簡，事半功倍的作用。
1、直接觀察法
對於一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。
例1 求函數y = 的值域
解： x ≠0 ， ≠0
顯然函數的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）。
例2 求函數y = 3 - 的值域。
解： ≥0 - ≤0 3- ≤3
故函數的值域是：[ -∞，3 ]
2 、配方法
配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。
例3 、求函數y= -2x+5，x [-1，2]的值域。
解：將函數配方得：y=（x-1） +4， x [-1，2]， 由二次函數的性質可知：
當x = 1時，y = 4
當x = - 1，時 = 8
故函數的值域是：[ 4 ，8 ]
3 、判別式法
例4 求函數y = 的值域。
解：原函數化為關x的一元二次方程（y-1 ) +（y - 1 ）x= 0
（1）當y≠1時， x R ,△ = (-1) -4(y-1)(y-1) ≥0
解得： ≤y≤
（2）當y=1，時，x = 0,而1 [ , ]
故函數的值域為[ ， ]
例5 求函數y=x+ 的值域。
解：兩邊平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0 （1）
x R， △=4（y+1） -8y≥0
解得：1- ≤y≤1+
但此時的函數的定義域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，僅保證關於x的方程：2 -2（y+1）x+y =0在實數集R有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由△≥0求出的范圍可能比y的實際范圍大，故不能確定此函數的值域為[ ， ]。可以採取如下方法進一步確定原函數的值域。
0≤x≤2， y=x+ ≥0，
=0，y=1+ 代入方程（1），解得： = [0，2]，即當 = 時，原函數的值域為：[0，1+ ]。
註：由判別式法來判斷函數的值域時，若原函數的定義域不是實數集時，應綜合函數的定義域，將擴大的部分剔除。
4、反函數法
直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。
例6 求函數y= 值域。
解：由原函數式可得：x =
則其反函數為：y =
其定義域為：x ≠
故所求函數的值域為：（- ∞， ）
5 、函數有界性法
直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，反客為主來確定函數的值域。
例7 求函數y = 的值域。
解：由原函數式可得： =
＞0， ＞0
解得：- 1＜y＜1。
故所求函數的值域為( - 1 , 1 ) .
例8 求函數y = 的值域。
解：由原函數式可得：ysinx-cosx=3y
可化為： sinx（x+β）=3y
即 sinx（x+β）=
∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤ ≤1
解得：- ≤y≤ 故函數的值域為[- ， ]。
6 、函數單調性法
例9 求函數y = （2≤x≤10）的值域
解：令y = ， = ，則 y ， 在[ 2， 10 ]上都是增函數。
所以y= y + 在[ 2 ，10 ]上是增函數。
當x = 2 時，y = + = ，
當x = 10 時， = + =33。
故所求函數的值域為：[ ，33]。
例10 求函數y= - 的值域。
解：原函數可化為： y=
令y = ， = ，顯然y ， 在[1，+∞）上為無上界的增函數，所以y= y + 在[1，+∞）上也為無上界的增函數。 所以當x = 1時，y=y + 有最小值 ，原函數有最大值 = 。
顯然y＞0，故原函數的值域為( 0 , ]。
7、換元法
通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數，其題型特徵是函數解析式含有根式或三角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發揮作用。
例11 求函數y = x + 的值域。
解：令x-1=t，（t≥0）則x= +1
∵y= +t+1= + ，又t≥0，由二次函數的性質可知
當t=0時，y = 1， 當t →0時，y →+∞。
故函數的值域為[ 1 ，+∞）。
例12 求函數y =x+2+ 的值域
解：因1- ≥0 ，即 ≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。
∴y=cosβ+1+ =sinβ+cosβ+1 = sin（β+∏/ 4 ）+1
∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4
∴ - ≤sin（β+∏/4）≤1
∴ 0 ≤ sin（β+∏/4）+1≤1+ 。
故所求函數的值域為[0，1+ ]。
例13 求函數 y= 的值域
解：原函數可變形為：y=-
可令x=tgβ，則有 =sin2β， =cos2β
∴y=- sin2β cos2β= - sin4β
當β= k∏/2-∏/8時， = 。
當β= k∏/2+∏/8時，y = -
而此時tgβ有意義。
故所求函數的值域為[- ， ] 。
例14 求函數y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
令sinx+cosx=t，則sinxcosx= （ -1）
y = （ -1）+t+1=
由t=sinx+cosx= sin（x+∏/4）且x∈[- ∏/12，∏/2]
可得： ≤t≤
∴當t= 時， = + ，當t= 時，y= +
故所求函數的值域為[ + ， + ] 。
例15 求函數y=x+4+ 的值域
解：由5-x≥0 ，可得∣x∣≤
故可令x = cosβ，β∈[0，∏]
y= cosβ+4+ sinβ= sin（β+∏/4）+ 4
∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
當β=∏/4時， =4+ ，當β=∏時，y =4- 。
故所求函數的值域為：[4- ，4+ ]。
8 數形結合法
其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。
例16 求函數y= + 的值域。
解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成數軸上點P（x ）到定點A（2 ），B（- 8 ）間的距離之和。
由上圖可知：當點P在線段AB上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函數的值域為：[10，+∞）
例17 求函數y= + 的值域
解：原函數可變形為：y= +
上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距離之和，
由圖可知當點P為線段與x軸的交點時， y =∣AB∣= = ，
故所求函數的值域為[ ，+∞）。
例18 求函數y= - 的值域
解：將函數變形為：y= -
上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0 ）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣
由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小於第三邊，
有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣= =
即：- ＜y＜
（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時， 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 。
綜上所述，可知函數的值域為：（- ，- ]。 註：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x 軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A ，B在x軸的同側。
如：例17的A，B兩點坐標分別為：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x軸的同側；
例18的A，B兩點坐標分別為：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x軸的同側。
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函數的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
例19 求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域
解：原函數變形為：
y=（ + ）+1/ +1/
= 1+ +
= 3+ +
≥3 + 2
=5
當且僅當tgx=ctgx，即當x=k∏±∏/4時（k∈z），等號成立。
故原函數的值域為：[ 5，+∞）。
例20 求函數y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcosx
=4 cosx
=16
=8 （2-2 ）
≤8（ + +2- ）
=8[（ + +2- ）/3]
=
當且當 =2-2 ，即當 =時，等號成立。
由 ≤ ，可得：- ≤y≤
故原函數的值域為：[- ， ）。
10、多種方法綜合運用
例21 求函數y= 的值域
解：令t= （t≥0），則x+3= +1
（1） 當t＞0時，y= = ≤ ， 當且僅當t=1，即x=-1時取等號
所以0＜y≤ 。
（2） 當t=0時，y=0。綜上所述，函數的值域為：[0， ]。
註：先換元，後用不等式法。
例 22 求函數y= 的值域。
解：y= + = +
令x=tg ，則 = ， = sin ，
∴y= + sin =- + sin +1
=- +
∴當sin = 時， = 。當sin =-1時，y =-2。
此時tg 都存在，故函數的值域為：〔－2， 〕。
註：此題先用換元法。後用配方法，然後再運用sin 的有界性。
總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
F. 高一求值域的五種方法
1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。
2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。
3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。
例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】
先配方，得y=(x+1)^2+1
∴ymin=(-1+1)^2+2=2
ymax=(2+1)^2+2=11
4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。
5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。
6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。
7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。
8.換元法：適用於有根號的函數
例題：y=x-√（1-2x)
設√（1-2x)=t(t≥0)
∴x=(1-t^2)/2
∴y=(1-t^2)/2-t
=-t^2/2-t+1/2
=-1/2(t+1)^2+1
∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）
9：圖像法，直接畫圖看值域
這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。
10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。
例題：y=(3x-1)/(3x-2)
先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)
明顯定義域為x≠1
所以原函數的值域為y≠1