二次函數解析簡便方法

『壹』 急！現在等。求二次函數解析式的簡便方法！！！

首先，求二次函數解析式有三種方法，分別是
①一般式，即已知題設給出三個點的坐標，則設y=ax²+bx+c然後列一個三元一次方程求解即可
②頂點式，即已知題設給出二次函數的頂點坐標（h，k）和一個任意點的坐標，設y=a（x-h）²+k，再將任意點坐標帶入求解即可
③兩根式（又叫交點式），即已知題設給出二次函數與x軸的兩個交點（x1，0）和（x2，0），再給一個任意點坐標即可求解，設y=a（x-x1）（x-x2），在將任意點坐標帶入即可求解（註：此種方法必須在二次函數與X軸有交點才可使用）

『貳』 求二次函數解析式有幾種方法

二次函數
二次函數解析析常用的有兩種存在形式：一般式和頂點式.
（1）一般式：由二次函數的定義可知：任何二次函數都可表示為y=ax2+bx+c(a≠0),這也是二次函數的常用表現形式，我們稱之為一般式.
(2)頂點式：二次函數的一般式通過配方法可進行如下變形：
y=ax2+bx+c=a(x2+
)=a[x2+
]=(a+
)
由二次函數圖象性質可知：（－
）為拋物線的頂點坐標，若設
－
=h,
=k，二次函數的解析式變為：y=a(x－h)2+k(a≠0),其中（h,k）為拋物線的頂點坐標，所以，稱y=a(x－h)2+k(a≠0)為二次函數的頂點式.特別地，當頂點在y軸上時，h=0，頂點式為y=ax2+k；當頂點在x軸上時，k=0，頂點式為y=a(x－h)2；當頂點在原點時，h=k=0，頂點式為y=ax2.
求二次函數解析式時，有時也用到二次函數的第三種存在形式——兩根式，現對有關兩根式的內容補充如下：
先對二次函數的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右邊進行因式分解如下：
y=ax2+bx+c=a(
)
=a[
]
=a[
]
=a[(x+
)2－(
)(b2－4ac>0)
=
a(x+
－
)(
2
=a(x－
其中
（b2－4ac>0）是ax2+bx+c=0的兩根，若設x1=
,x2=
,則y=ax2+bx+c(a≠0)可化為y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，因為x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩根，所以我們稱y=a(x－x1)(x－x2)為二次函數的兩根式.
當已知二次函數的拋物線與x軸交點坐標時，選用兩根式y=a(x－x1)•(x－x2)求解比較簡單，可先把兩點坐標代入解析式，再由第三個條件求出a，即可得出解析式.
綜合前面所述，在確定拋物線的解

『叄』 求`快速列二次函數解析式方法！

如何快速求二次函數解析式
天津四中
周鈞
二次函數這部分知識是中考的重要考點，題目綜合性強。要正確迅速地解決一些問題就需要有扎實的基本功。下面就從兩個方面給大家介紹一些基本方法：一、二次函數解析式的三種表達式1、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2、頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)
頂點(h，k)3、交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標)下面以題為例，請同學們體會如何准確、迅速地求出二次函數的解析式。例1、已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)滿足下列條件求函數的解析式：（1）圖象過A（0，1）、B（1，2）、C（2，-1）三點（2）圖象頂點是（-2，3）且過（-1，5）點（3）當x=-1時取最大值4，在x軸上截得弦長為6（4）過A（1，3）、B（2，3）、C（3，7）三點分析：（1）拋物線過三個無規律的點則用一般式解：把A（0，1）、B（1，2）、C（2，-1）分別代入y=ax2+bx+c(a≠0)，求得y=-2x2+3x+1（2）應用頂點式，設二次函數的解析式為y=a(x+2)2+3，再把（-1，5）代入，求得解析式y=2(x+2)2+3，即y=2x2+8x+11（3）頂點（-1，4），對稱軸x=-1，拋物線與x軸交點（-4，0）、（2，0），用交點式的解析式為y=a(x+4)(x-2)再代入(-1，4)，得y=-■x2-■x+■（4）利用平移法，得A'（1，0）、B'（2，0）、C'（3，4），用交點式求出y=2x2-6x+4，橫坐標不變，再把圖象上移3個單位，得y=2x2-6x+4+3，即y=2x2-6x+7。二、充分利用數形結合思想快速解題觀察拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置、拋物線與x軸交點個數。例2、（1）拋物線y=bx-ax2，若a0，開口向上，b0，與y=ax2+bx+c中a>0、b0、b>0、c>0②a-b+c0④(a+c)2
A、1
B、2
C、3
D、4分析：當x=1時，y1=a+b+c當x=-1時，y2=a-b+c當x=2時，y3=4a+2b+c由圖象知：y1>0，y2二次函數解析析常用的有兩種存在形式：一般式和頂點式.
（1）一般式：由二次函數的定義可知：任何二次函數都可表示為y=ax2+bx+c(a≠0),這也是二次函數的常用表現形式，我們稱之為一般式.
(2)頂點式：二次函數的一般式通過配方法可進行如下變形：
y=ax2+bx+c=a(x2+
)=a[x2+
]=(a+
)
由二次函數圖象性質可知：（－
）為拋物線的頂點坐標，若設
－
=h,
=k，二次函數的解析式變為：y=a(x－h)2+k(a≠0),其中（h,k）為拋物線的頂點坐標，所以，稱y=a(x－h)2+k(a≠0)為二次函數的頂點式.特別地，當頂點在y軸上時，h=0，頂點式為y=ax2+k；當頂點在x軸上時，k=0，頂點式為y=a(x－h)2；當頂點在原點時，h=k=0，頂點式為y=ax2.
求二次函數解析式時，有時也用到二次函數的第三種存在形式——兩根式，現對有關兩根式的內容補充如下：
先對二次函數的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的右邊進行因式分解如下：
y=ax2+bx+c=a(
)
=a[
]
=a[
]
=a[(x+
)2－(
)(b2－4ac>0)
=
a(x+
－
)(
2
=a(x－
其中
（b2－4ac>0）是ax2+bx+c=0的兩根，若設x1=
,x2=
,則y=ax2+bx+c(a≠0)可化為y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，因為x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩根，所以我們稱y=a(x－x1)(x－x2)為二次函數的兩根式.
當已知二次函數的拋物線與x軸交點坐標時，選用兩根式y=a(x－x1)??(x－x2)求解比較簡單，可先把兩點坐標代入解析式，再由第三個條件求出a，即可得出解析式.
綜合前面所述，在確定拋物線的解
http://..com/question/81396793.html?fr=ala0非原創
我初三
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咱兩真有緣哈

『肆』 怎樣求二次函數解析式

1、條件為已知拋物線過三個已知點，用一般式：Y=aX^2+bX+c , 分別代入成為一個三元一次方程組，解得a、bc的值，從而得到解析式。

2、已知頂點坐標及另外一點，用頂點式：Y=a(X-h)^2+K , 點坐標代入後，成為關於a的一元一次方程，得a的值，從而得到 解析式。

3、已知拋物線過三個點中，其中兩點在X軸上，可用交點式(兩根式)：Y=a(X-X1)(X-X2) , 第三點坐標代入求a，得拋物線解析式。

(4)二次函數解析簡便方法擴展閱讀：

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數)。頂點坐標為（h,k)；對稱軸為直線x=h；頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函數y=ax²的圖像相同，當x=h時，y最值=k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。

例：已知二次函數y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。

解：設y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函數平移後的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。

二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小；|a|越小，則拋物線的開口越大。

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側。（可巧記為：左同右異）

常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0, c）。

『伍』 求二次函數解析式的方法

函數內容的學習一直是很多學生的重難點，甚至一些學生與理想的學校失之交臂，就是因為函數內容沒學好，無法取得中考數學高分。

初中數學要學到函數一般有三種：一次函數（包含正比函數）、反比例函數、二次函數。其中二次函數作為初中數學當中最重要內容之一，一直受到中考數學命題老師的青睞。

任何與函數有關的數學問題，都需要先求出函數解析式，再結合函數的圖象與性質進行解決。因此，一個人是否能熟練地求出二次函數的解析式是成功解決與二次函數相關問題的重要保障。

今天我們就一起來簡單講講如何求二次函數的解析式，在初中數學教材里，二次函數的解析式一般有以下三種基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、頂點式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中頂點坐標為(m,k)，對稱軸為直線x=m。

3、交點式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標。

那麼這三種形式有什麼區別呢？在解決實際問題過程中，該如何選擇呢？求二次函數的解析式的方法我們一般採用待定系數法，即將一個多項式表示成另一種含有待定系數的新的形式，這樣就得到一個恆等式。然後根據恆等式的性質得出系數應滿足的方程或方程組，其後通過解方程或方程組便可求出待定的系數，或找出某些系數所滿足的關系式，這種解決問題的方法叫做待定系數法。

我們結合待定系數法和三種二次函數基本形式來確定函數關系式，一定要根據不同條件，設出恰當的解析式，具體如下：

1、若給出拋物線上任意三點，通常可設一般式y=ax2+bx+c(a≠0)來求解。

2、若給出拋物線的頂點坐標或對稱軸或最值，通常可設頂點式y=a(x－m)2+k(a≠0)來求解。

3、若給出拋物線與x軸的交點或對稱軸或與x軸的交點距離，通常可設交點式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)來求解。

值得注意的是，用交點式來求二次函數的解析式，前提條件是二次函數與x軸有交點坐標。

求解二次函數解析式，典型例題分析1：

已知一個二次函數圖象經過（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三點，那麼這個函數的解析式是_______。

解：將點（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐標代入y=ax2+bx+c，可得：

-3=a（-1）2+b（-1）+c

12=a·22+b·2+c

1=a·12+b·1+c

解得a=3

『陸』 怎樣求二次函數解析式

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c為常數，且a≠0）而言，其中含有三個待定的系數a ，b ，c．求二次函數的一般式時，必須要有三個獨立的定量條件，來建立關於a ，b ，c 的方程，聯立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函數解析式，即可得到所求的二次函數解析式．

巧取交點式法

知識歸納：二次函數交點式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2

分別是拋物線與x軸兩個交點的橫坐標．已知拋物線與x軸兩個交點的橫坐標求二次函數解析式時，用交點式比較簡便．

典型例題一：告訴拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，和第三個點，可求出函數的交點式．

例1已知拋物線與x軸交點的橫坐標為-2和1 ，且通過點（2，8），求二次函數的解析式．

析解設函數的解析式為y＝a(x+2)(x－1)，∵過點（2，8），∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2，∴拋物線的解析式為y＝2(x+2)(x－1)，

即y＝2x2+2x－4. 典型例題二：告訴拋物線與x軸的兩個交

點之間的距離和對稱軸，可利用拋物線的對稱性求解. 例2已知二次函數的頂點坐標為（3，－2），並且圖象與x軸兩交點間的距離為4

．求二次函數的解析式. 思路啟迪在已知拋物線與x軸兩交點的距離和頂點坐標的情況下，問題比較容易解決．由頂點坐標為（3，－2）的條件，易知其對稱軸為x＝3，再利用拋物線的對稱性，可知圖象與x軸兩交點的坐標分別為（1，0）和（5，0）．此時，可使用二次函數的交點式，得出函數解析式．

頂點式的妙處

頂點式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是拋物線的頂點．當已知拋物線頂點坐標或對稱軸，或能夠先求出拋物線頂點時，設頂點式解題十分簡潔，因為其中只有一個未知數a．在此類問題中，常和對稱軸，最大值或最小值結合起來命題．在應用題中，涉及到橋拱、隧道、彈道曲線、投籃等問題時，一般用頂點式方便．

典型例題一：告訴頂點坐標和另一個點的坐標，直接可以解出函數

頂點式. 例3已知拋物線的頂點坐標為（-1，-2），且通過點（

1，10），求此二次函數的解析式. 析解∵頂點坐標為（-1，-2），

故設二次函數解析式為y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把點（1，10）代入上式，得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函數的解析式為y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1．典型例題二：如果a>0，那麼當x= -b2a時，y有最小

值且y最小=4ac-b24a；如果a<0，那麼，當x=-b2a時，y有最大值，且y最大=4ac-b24a．告訴最大值或最小值，實際上也是告訴了頂點坐標

，同樣也可以求出頂點式. 例4 已知二次函數當x＝4時有最小值－3，且它的圖象與x軸兩交點間的距離為6，求這個二次函數的解析

式. 析解∵二次函數當x＝4時有最小值－3，∴頂點坐標為（4，

－3），對稱軸為直線x＝4，拋物線開口向上. 由於圖象與x軸兩交點間的距離為6，根據圖象的對稱性就可以得到圖象與x軸兩交點的坐標是（1，0）和（7，0）．

∴拋物線的頂點為（4，－3）且過點（1，0）．故可設函數解析式為y＝a(x－4)2－3．將（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73. 典型例題三：告訴對稱軸，相當於告訴了頂點的橫坐標，綜合其他條件，也可解出．

例如（1）已知二次函數的圖象經過點A（3，-2）和B（1，0），且對稱軸是直線x＝3．求這個二次函數的解析式. （2）已知關於x的二次函數圖象的對稱軸是直線x=1，圖象交y軸於點（0，2），且過點（-1，0），求這個二次函數的解析式. （3）已知拋物線的對稱軸為直線x=2，且通過點（1，4）和點（5，0），求此拋物線的解析式. （4）二次函數的圖象的對稱軸x=-4，且過原點，它的頂點到x軸的距離為4，求此函數的解析式．（此cc四dd題ee同ff學gg們hh自ii己jj嘗kk試ll解[[出mm）

典型例題四：利用函數的頂點式，解圖像的平移等問題非常方便.

例5把拋物線y=ax2+bx+c的圖像向右平移3 個單位, 再向下平移2 個單位, 所得圖像的解析式是y=x2-3x+5, 則函數的解析式為_______.

析解先將y=x2-3x+5化為y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114．∵它是由拋物線的圖像向右平移3 個單位, 再向下平移2 個單位得到的，∴原拋物線的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

須掌握二次函數的三種表達形式：一般式y=ax2+bx+c，交點式y=a(x-x1)(x-x2)，頂點式y=a(x-h)2+k．能靈活運用這三種方式求二次函數的解析式；能熟練地運用二次函數在幾何領域中的應用；能熟練地運用二次函數解決實際問題.

『柒』 如何求二次函數解析式

二次函數解析式的求法是二次函數知識的重點，也是中考必考內容。本文試以2006年中考題為例，說明求二次函數解析式的常用方法，以期對同學們學習有所幫助。二次函數常見的表達形式有： http://360e.com/xxff/200611/chushu/2.htm（1）一般式： ；（2）頂點式： ，其中點（m,h）為該二次函數的頂點；（3）交點式： ，其中點 為該二次函數與x軸的交點。例1. （南通市）已知拋物線 經過A，B，C三點，當 時，其圖象如圖1所示。求拋物線的解析式，寫出頂點坐標。圖1分析：由圖象可知，拋物線經過A（0，2），B（4，0），C（5，-3）三點，因此，可以藉助二次函數一般式求出其解析式，再轉化為頂點式，求出頂點坐標。解：設所求拋物線的解析式為 （ ）。由圖象可知A，B，C的坐標分別為（0，2），（4，0），（5，-3）。解之，得 拋物線的解析式為 該拋物線的頂點坐標為 。點評：這道題的一個特點是題中沒有直接給出所求拋物線經過的點的坐標，需要從圖象中獲取信息。已知圖象上三個點時，通常應用二次函數的一般式列方程求解析式。要特別注意：如果這道題是求「圖象所表示的函數解析式」，那就必須加上自變數的取值范圍 。例2. （泰州市）如圖2，有一橫截面是拋物線的水渠，水渠管理員將一根長1.5m的標桿一端放在水渠底部的A點，另一端露出水面並靠在水渠邊緣的B點，標桿有1m浸沒在水中，露出水面的部分與水面成 的夾角（標桿與拋物線的橫截面在同一平面內）。以水面所在直線為x軸，過點A垂直於水面的直線為y軸，建立如圖2所示的直角坐標系，求該水渠橫截面拋物線的解析式（結果保留根號）。圖2分析：要求解析式，必須知道拋物線上交點的坐標。顯然，由已知條件可以求出點A與點B的坐標。由於點A是所在拋物線的頂點，因此可以用拋物線的頂點式 。解：設AB與x軸交於點C，可知 。過點B作 軸於點D設所求水渠橫截面拋物線的解析式為 。將點B的坐標代入，有 。解之，得 。因此，該水渠橫截面拋物線的解析式為 。點評：解答此類問題的關鍵在於將實際問題的條件轉化成點的坐標，再根據點的特徵選擇適當的函數表達式。例3. （江西省）一條拋物線 經過點 與 。求這條拋物線的解析式。分析：解析式中的a值已經知道，只需求出 的值。已知條件給出了兩個點，因此，可以從二次函數的一般式入手列方程組解答。還可以從所給兩點 的特徵入手：這兩點關於拋物線的對稱軸對稱，因此可知對稱軸是直線 ，這樣又可以從拋物線的頂點式入手。解： 拋物線 經過點（ ）和 ，這條拋物線的對稱軸是直線 。設所求拋物線的解析式為 。將點 代入，得 ，解得 。這條拋物線的解析式為 ，即 。點評：當點M（ ）和N（ ）都是拋物線上的點時，若 ，則對稱軸方程為 ，這一點很重要也很有用。例4. （常德市）如圖3，在直角坐標系中，以點A 為圓心，以 為半徑的圓與x軸相交於點B，C，與y軸相交於點D，E。若拋物線 經過B，C兩點，求拋物線的解析式，並判斷點D是否在拋物線上。圖3分析：解題的關鍵在於求出點B和點C的坐標，因此需要求出線段OB，OC的長，這可根據圓的性質解決。由於點B與點C都在x軸上，因而可以根據二次函數的交點式 求出其解析式。解：由 ，易得 在 ，。所以點D的坐標為（0，-3）。設解析式為 ，由條件知 ，拋物線的解析式為 即 當 時， ，所以點D（0，-3）在拋物線上。點評：解這類題將點的坐標與線段的長互相轉化至關重要，但要注意坐標的符號。最後，留兩道題給同學們練習。1. （2006年長春市）二次函數 的圖象經過點M（1，-2），N（-1，6）。求二次函數 的關系式。 （答案： ）2. （2006年攀枝花市）已知拋物線 與y軸的交點為C，頂點為M，直線CM的解析式為 ，線段CM的長為 。求這條拋物線的解析式。（答案： ）

『捌』 二次函數解析式的求法

關於二次函數的解析式，我沒有什麼長篇大論，精煉而扎實基礎才能有利於提高阿
二次函數一般形式：y=ax2+bx+c
（已知任意三點）
頂點式：y=a(x+d)2+h
(已知頂點和任意除頂點以外的點）
有的版本教材也注
原理相同
例：已知某二次函數圖像頂點（-2，1）且經過（1,0)，求二次函數解析式
解：設y=a(x+2)2+1
注意：y=a(x-d)2+h中d是頂點橫坐標，h是頂點縱坐標
由於
二次函數圖像過點（1，0）
因此
a*3的平方+1=0
解得a=-1/9
所以所求作二次函數解析式為
y=-1/9(x+2)2+1
(此題是樣題，所以就不進一步化簡成一般形式）
兩根式：已知函數圖像與x軸兩交點與另外一點
首先必須有交點(b2-4ac>0)
y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1,x2是圖像與x軸兩交點
並且是ax2+bx+c=0的兩根
如果已知二次函數一般形式和與x軸的一個交點，則可以求出另一個交點
利用根與系數的關系
例：y=x2+4x+3與x軸的一個交點是（-1,0)，求其與x軸的另一交點坐標
解：由根與系數的關系得：
x1+x2=-b/a=-4
則x2=-4-x1=-4-(-1)=-3
所以與x軸的另一交點坐標為（-3,0)
另外將y=ax2+bx+c向右平移2個單位可得
y=a(x-2)2+b(x-2)+c
再向下平移2個單位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2

『玖』 求`快速列二次函數解析式方法!

如何快速求二次函數解析式
天津四中 周鈞 二次函數這部分知識是中考的重要考點,題目綜合性強.要正確迅速地解決一些問題就需要有扎實的基本功.下面就從兩個方面給大家介紹一些基本方法：一、二次函數解析式的三種表達式1、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2、頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0) 頂點(h,k)3、交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1、x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標)下面以題為例,請同學們體會如何准確、迅速地求出二次函數的解析式.例1、已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)滿足下列條件求函數的解析式：（1）圖象過A（0,1）、B（1,2）、C（2,-1）三點（2）圖象頂點是（-2,3）且過（-1,5）點（3）當x=-1時取最大值4,在x軸上截得弦長為6（4）過A（1,3）、B（2,3）、C（3,7）三點分析：（1）拋物線過三個無規律的點則用一般式把A（0,1）、B（1,2）、C（2,-1）分別代入y=ax2+bx+c(a≠0),求得y=-2x2+3x+1（2）應用頂點式,設二次函數的解析式為y=a(x+2)2+3,再把（-1,5）代入,求得解析式y=2(x+2)2+3,即y=2x2+8x+11（3）頂點（-1,4）,對稱軸x=-1,拋物線與x軸交點（-4,0）、（2,0）,用交點式的解析式為y=a(x+4)(x-2)再代入(-1,4),得y=-■x2-■x+■（4）利用平移法,得A'（1,0）、B'（2,0）、C'（3,4）,用交點式求出y=2x2-6x+4,橫坐標不變,再把圖象上移3個單位,得y=2x2-6x+4+3,即y=2x2-6x+7.二、充分利用數形結合思想快速解題觀察拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置、拋物線與x軸交點個數.例2、（1）拋物線y=bx-ax2,若a0,y2

『拾』 怎麼解二次函數。

一、理解二次函數的內涵及本質 .

二次函數 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常數）中含有兩個變數 x 、 y ，我們只要先確定其中一個變數，就可利用解析式求出另一個變數，即得到一組解；而一組解就是一個點的坐標，實際上二次函數的圖象就是由無數個這樣的點構成的圖形 .

二、熟悉幾個特殊型二次函數的圖象及性質 .

1 、通過描點，觀察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 圖象的形狀及位置，熟悉各自圖象的基本特徵，反之根據拋物線的特徵能迅速確定它是哪一種解析式 .

2 、理解圖象的平移口訣「加上減下，加左減右」 .

y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k 「加上減下」是針對 k 而言的，「加左減右」是針對 h 而言的 .

總之，如果兩個二次函數的二次項系數相同，則它們的拋物線形狀相同，由於頂點坐標不同，所以位置不同，而拋物線的平移實質上是頂點的平移，如果拋物線是一般形式，應先化為頂點式再平移 .

3 、通過描點畫圖、圖象平移，理解並明確解析式的特徵與圖象的特徵是完全相對應的，我們在解題時要做到胸中有圖，看到函數就能在頭腦中反映出它的圖象的基本特徵；

4 、在熟悉函數圖象的基礎上，通過觀察、分析拋物線的特徵，來理解二次函數的增減性、極值等性質；利用圖象來判別二次函數的系數 a 、 b 、 c 、△以及由系數組成的代數式的符號等問題 .

三、要充分利用拋物線「頂點」的作用 .

1 、要能准確靈活地求出「頂點」 . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →頂點（－ h,k ），對於其它形式的二次函數，我們可化為頂點式而求出頂點 .

2 、理解頂點、對稱軸、函數最值三者的關系 . 若頂點為（－ h ， k ），則對稱軸為 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若對稱軸為 x=m ， y 最值 =n ，則頂點為（ m ， n ）；理解它們之間的關系，在分析、解決問題時，可達到舉一反三的效果 .

3 、利用頂點畫草圖 . 在大多數情況下，我們只需要畫出草圖能幫助我們分析、解決問題就行了，這時可根據拋物線頂點，結合開口方向，畫出拋物線的大致圖象 .

四、理解掌握拋物線與坐標軸交點的求法 .

一般地，點的坐標由橫坐標和縱坐標組成，我們在求拋物線與坐標軸的交點時，可優先確定其中一個坐標，再利用解析式求出另一個坐標 . 如果方程無實數根，則說明拋物線與 x 軸無交點 .

從以上求交點的過程可以看出，求交點的實質就是解方程，而且與方程的根的判別式聯系起來，利用根的判別式判定拋物線與 x 軸的交點個數 .

五、靈活應用待定系數法求二次函數的解析式 .

用待定系數法求二次函數的解析式是我們求解析式時最常規有效的方法，求解析式時往往可選擇多種方法，如能綜合利用二次函數的圖象與性質，靈活應用數形結合的思想，不僅可以簡化計算，而且對進一步理解二次函數的本質及數與形的關系大有裨益 .
二次函數y=ax2
學習要求:

1．知道二次函數的意義．

2．會用描點法畫出函數y＝ax2的圖象，知道拋物線的有關概念．

重點難點解析

1.本節重點是二次函數的概念和二次函數y＝ax2的圖象與性質；難點是根據圖象概括二次函數y＝ax2的性質.

2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常數，a≠0)的函數都是二次函數.解析式中只能含有兩

個變數x、y，且x的二次項的系數不能為0，自變數x的取值范圍通常是全體實數，但在實際問題中應使實際量有意義。如圓面積S與圓半徑R的關系式S＝πR2中，半徑R只能取非負數。

3.拋物線y＝ax2的形狀是由a決定的。a的符號決定拋物線的開口方向，當a＞0時，開口向上，拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上)，並向上無限延伸；當a＜0時，開口向下，拋物線在x軸下方(頂點在x軸上)，並向下無限延伸。｜a｜越大，開口越小；｜a｜越小，開口越大.

4.畫拋物線y＝ax2時，應先列表，再描點，最後連線。列表選取自變數x值時常以0為中心，選取便於計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，並注意變化趨勢。

本節命題主要是考查二次函數的概念，二次函數y＝ax2的圖象與性質的應用。

核心知識

規則1

二次函數的概念:

一般地，如果是常數，那麼，y叫做x的二次函數．

規則2

拋物線的有關概念:

圖13-14

如圖13-14，函數y=x2的圖象是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．實際上，二次函數的圖象都是拋物線．拋物線y=x2是開口向上的,y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點．

規則3

拋物線y=ax2的性質:

一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a＞0時，拋物線y=ax2的開口向上，當a＜0時，拋物線y=ax2的開口向下．

規則4

1.二次函數的概念

(1)定義：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那麼，y叫做x的的二次函數. (2)二次函數y＝ax2+bx+c的結構特徵是：等號左邊是函數y，右邊是自變數x的二次式，x的最高次數是2.其中一次項系數b和常數項c可以是任意實數，而二次項系數a必須是非零實數，即a≠0.

2.二次函數y＝ax2的圖像

圖13-1

用描點法畫出二次函數y＝x2的圖像，如圖13-1，它是一條關於y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.

因為拋物線y＝x2關於y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y＝x2的頂點是圖象的最低點.因為拋物線y＝x2有最低點.所以函數y＝x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.

3.二次函數y＝ax2的性質

函數
圖像

開口方向
頂點坐標
對稱軸
函數變化
最大(小)值

y=ax2
a＞0

向上
(0,0)
Y軸
x＞0時，y隨x增大而增大；

x＜0時，y隨x增大而減小.
當x＝0時，y最小＝0.

y=ax2
a＜0

向下
(0,0)
Y軸
x＞0時，y隨x增大而減小；

x＜0時，y隨x增大而增大.
當x＝0時，y最大＝0.

4.二次函數y＝ax2的圖像的畫法

用描點法畫二次函數y＝ax2的圖像時，應在頂點的左、右兩側對稱地選取自變數x的值，然後計算出對應的y值，這樣的對應值選取越密集，描出的圖像越准確.
二次函數y=ax2+bx+c
學習要求：

1．會用描點法畫出二次函數的圖象．

2．能利用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點、的位置．

*3．會由已知圖象上三個點的坐標求出二次函數的解析式．

重點難點

1.本節重點是二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質的理解及靈活運用，難點是二次函數y＝ax2+bx+c的性質和通過配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。

2.學習本小節需要仔細觀察歸納圖象的特點以及不同圖象之間的關系。把不同的圖象聯系起來，找出其共性。

一般地幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小(即形狀)完全相同，只是位置不同.

任意拋物線y＝a(x-h)2+k可以由拋物線y＝ax2經過適當地平移得到，具體平移方法如下圖所示：

注意：上述平移的規律是：「h值正、負，右、左移；k值正、負，上、下移」實際上有關拋物線的平移問題，不能死記硬背平移規律，只要先將其解析式化為頂點式，然後根據它們的頂點的位置關系，確定平移方向和平移的距離非常簡便.

圖13-11

例如，要研究拋物線L1∶y＝x2-2x+3與拋物線L2∶y＝x2的位置關系，可將y＝x2-2x+3通過配方變成頂點式y＝(x-1)2+2，求出其頂點M1(1，2)，因為L2的頂點為M2(0，0)，根據它們的頂點的位置，容易看出：由L2向右平移1個單位，再向上平移2個單位，即得L1；反之，由L1向左平移1個單位，再向下平移2個單位，即得L2.

二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與y＝ax2的圖象形狀完全一樣，它們的性質也有相似之處。當a＞0時，兩條拋物線的開口都向上，並向上無限延伸，拋物線有最低點，y有最小值，當a＜0時，開口都向下，並向下無限延伸，拋物線有最高點，y有最大值.

3.畫拋物線時一定要先確定開口方向和對稱軸、頂點位置，再利用函數對稱性列表，這樣描點連線後得到的才是完整的，比較准確的圖象。否則畫出的圖象，往往只是其中一部分。例如畫y＝- (x+1)2-1的圖象。

列表：

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9

描點，連線成如圖13-11所示不能反映其全貌的圖象。

正解：由解析式可知，圖象開口向下，對稱軸是x＝-1,頂點坐標是(-1，-1)

列表：

x
-4
-3
-2
-1
0
1
2

y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5

描點連線：如圖13-12

圖13-12

4.用配方法將二次函數y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次項系數a。常犯的錯誤只提第一項，後面漏提。如y＝- x2+6x-21 寫成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符號弄錯，主要原因是沒有掌握添括弧的規則。

本節命題主要考查二次函數y＝ax2+bx+c的圖象和性質及其在實際生活中的運用。既有填空題、選擇題，又有解答題，與方程、幾何、一次函數的綜合題常作為中考壓軸題。

核心知識

規則1

拋物線 y=a(x-h)2+k 的性質:

一般地，拋物線 y=a(x-h)2+k 與 y=ax2 形狀相同，位置不同．拋物線 y=a(x-h)2+k 有如下特點：

(l) a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下；

(2) 對稱軸是直線x＝h；

(3) 頂點坐標是(h，k)．

規則2

二次函數 y=ax2+bx+c 的性質:

y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常數，a≠0）是二次函數，圖象是拋物線．利用配方，可以把二次函數表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以確定這條拋物線的對稱軸是直線 ，頂點坐標是 ，當a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

規則3

1.二次函數解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).

(2)頂點式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.

說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點.

(2)當拋物線y＝ax2+bx+c與x軸有交點時，即對應二次方程ax2+bx+c＝0有實數根x1和

x2存在時，根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函數y＝ax2+bx+c可轉化為兩根式y＝a(x-x1)(x-x2).

2.二次函數解析式的確定

確定二次函數解析式，一般仍用待定系數法.由於二次函數解析式有三個待定系數a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而確定二次函數解析式需要已知三個獨立的條件.當已知拋物線上任意三個點的坐標時，選用一般式比較方便；當已知拋物線的頂點坐標時，選用頂點式比較方便；當已知拋物線與x軸兩個點的坐標(或橫坐標x1,x2)時，選用兩根式較為方便.

注意：當選用頂點式或兩根式求二次函數解析式時，最後一般都要化一般式.

3.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像

二次函數y＝ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行於(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數的性質

根據二次函數y＝ax2+bx+c的圖像可歸納其性質如下表：

函數
二次函數y＝ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)

圖

像
a＞0
a＜0

(1)拋物線開口向上，並向上無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標是(- , ).

(3)當x＜- 時，y隨x的增大而減小；當x＞- 時，y隨x的增大而增大.

(4)拋物線有最低點，當x＝- 時，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )拋物線開口向下，並向下無限延伸.

(2)對稱軸是x＝- ，頂點坐標是(- , ).

(3)當x＜- 時，y隨x的增大而增大；當x＞- 時，y隨x的增大而減小.

(4)拋物線有最高點，當x＝- 時，y有最大值，y最大值＝ .

5.求拋物線的頂點、對稱軸、最值的方法

①配方法：將解析式化為y＝a(x-h)2+k的形式，頂點坐標(h,k)，對稱軸為直線x＝h，若a＞0，y有最小值，當x＝h時，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，當x＝h時，y最大值＝k.

②公式法：直接利用頂點坐標公式(- , ),求其頂點；對稱軸是直線x＝- ,若a＞0，y有最小值，當x＝- 時，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，當x＝- 時，y最大值＝ .

6.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的畫法

因為二次函數的圖像是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時常用簡化的描點法和五點法，其步驟是：

(1)先找出頂點坐標，畫出對稱軸；

(2)找出拋物線上關於對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等)；

(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.

7.二次函數y＝ax2+bx+c的圖像的位置與a、b、c及Δ符號有密切的關系(見下表)：

項

目

字

母

字母的符號
圖像的位置

a
a＞0

a＜0
開口向上 開口向下

b
b=0 ab＞0 ab＜0
對稱軸為y軸 對稱軸在y軸左側 對稱軸在y軸右側

c
c=0 c＞0 c＜0
經過原點 與y軸正半軸相交 與y軸負半軸相交

8.二次函數與一元二次方程的關系

二次函數y＝ax2+bx+c的圖像(拋物線)與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

Δ＞0 拋物線與x軸有2個交點；

Δ＝0 拋物線與x軸有1個交點；

Δ＜0 物線與x軸有0個交點(沒有交點).