歸納方法怎麼解題

『壹』 高中數學要怎麼總結解題方法

高中數學解題思路與技巧總結
（1）函數
函數題目，先直接思考後建立三者的聯系。首先考慮定義域，其次使用「三合一定理」。
（2）方程或不等式
如果在方程或是不等式中出現超越式，優先選擇數形結合的思想方法；
（3）初等函數
面對含有參數的初等函數來說，在研究的時候應該抓住參數沒有影響到的不變的性質。如所過的定點，二次函數的對稱軸或是……；
(4)選擇與填空中的不等式
選擇與填空中出現不等式的題目，優選特殊值法；
(5)參數的取值范圍
求參數的取值范圍，應該建立關於參數的等式或是不等式，用函數的定義域或是值域或是解不等式完成，在對式子變形的過程中，優先選擇分離參數的方法；
(6)恆成立問題
恆成立問題或是它的反面，可以轉化為最值問題，注意二次函數的應用，靈活使用閉區間上的最值，分類討論的思想，分類討論應該不重復不遺漏；
(7)圓錐曲線問題
圓錐曲線的題目優先選擇它們的定義完成，直線與圓錐曲線相交問題，若與弦的中點有關，選擇設而不求點差法，與弦的中點無關，選擇韋達定理公式法；使用韋達定理必須先考慮是否為二次及根的判別式；
(8)曲線方程
求曲線方程的題目，如果知道曲線的形狀，則可選擇待定系數法，如果不知道曲線的形狀，則所用的步驟為建系、設點、列式、化簡（注意去掉不符合條件的特殊點）；
(9)離心率
求橢圓或是雙曲線的離心率，建立關於a、b、c之間的關系等式即可；
(10)三角函數
三角函數求周期、單調區間或是最值，優先考慮化為一次同角弦函數，然後使用輔助角公式解答；解三角形的題目，重視內角和定理的使用；與向量聯系的題目，注意向量角的范圍；
(11)數列問題
數列的題目與和有關，優選和通公式，優選作差的方法；注意歸納、猜想之後證明；猜想的方向是兩種特殊數列；解答的時候注意使用通項公式及前n項和公式，體會方程的思想；
（12）立體幾何問題
立體幾何第一問如果是為建系服務的，一定用傳統做法完成，如果不是，可以從第一問開始就建系完成；注意向量角與線線角、線面角、面面角都不相同，熟練掌握它們之間的三角函數值的轉化；錐體體積的計算注意系數1/3，而三角形面積的計算注意系數1/2 ；與球有關的題目也不得不防，注意連接「心心距」創造直角三角形解題；
（13）導數
導數的題目常規的一般不難，但要注意解題的層次與步驟，如果要用構造函數證明不等式，可從已知或是前問中找到突破口，必要時應該放棄；重視幾何意義的應用，注意點是否在曲線上；
（14）概率
概率的題目如果出解答題，應該先設事件，然後寫出使用公式的理由，當然要注意步驟的多少決定解答的詳略；如果有分布列，則概率和為1是檢驗正確與否的重要途徑；
（15）換元法
遇到復雜的式子可以用換元法，使用換元法必須注意新元的取值范圍，有勾股定理型的已知，可使用三角換元來完成；
（16）二項分布
注意概率分布中的二項分布，二項式定理中的通項公式的使用與賦值的方法，排列組合中的枚舉法，全稱與特稱命題的否定寫法，取值范或是不等式的解的端點能否取到需單獨驗證，用點斜式或斜截式方程的時候考慮斜率是否存在等；
（17）絕對值問題
絕對值問題優先選擇去絕對值，去絕對值優先選擇使用定義；
（18）平移
與平移有關的，注意口訣「左加右減，上加下減」只用於函數，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
（19）中心對稱
關於中心對稱問題，只需使用中點坐標公式就可以，關於軸對稱問題，注意兩個等式的運用：一是垂直，一是中點在對稱軸上。
六種解題思路：
1.函數與方程思想
函數與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函數的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再運用函數的圖像與性質去分析、解決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關系，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。
2.數形結合思想
數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以藉助幾何特徵去解決相關的代數三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特徵用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。
解題類型
(1)「由形化數」：就是藉助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數量關系，反映幾何圖形內在的屬性。
(2)「由數化形」 ：就是根據題設條件正確繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數量關系，提示出數與式的本質特徵。
(3)「數形轉換」 ：就是根據「數」與「形」既對立，又統一的特徵，觀察圖形的形狀，分析數與式的結構，引起聯想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀並提示隱含的數量關系。
3.分類討論思想
分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。
解決分類討論問題的關鍵是化整為零，在局部討論降低難度。
常見的類型
類型1：由數學概念引起的的討論，如實數、有理數、絕對值、點（直線、圓）與圓的位置關系等概念的分類討論；
類型2：由數學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題；
類型3 ：由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；
類型4：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。
類型5：由某些字母系數對方程的影響造成的分類討論，如二次函數中字母系數對圖象的影響，二次項系數對圖象開口方向的影響，一次項系數對頂點坐標的影響，常數項對截距的影響等。
分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在於克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。
4.轉化與化歸思想
轉化與化歸是中學數學最基本的數學思想之一，是一切數學思想方法的核心。數形結合的思想體現了數與形的轉化；函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。
轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和後果是充分的也是必要的；不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題；將復雜的轉為簡單的問題；將一般的轉為特殊的問題；將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易於解決。
常見的轉化方法
(1)直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；
(2)換元法：運用「換元」把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易於解決的基本問題；
(3)數形結合法：研究原問題中數量關系（解析式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑；
(4)等價轉化法：把原問題轉化為一個易於解決的等價命題，達到化歸的目的；
(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，並證明特殊化後的問題，使結論適合原問題；
(6)構造法：「構造」一個合適的數學模型，把問題變為易於解決的問題；
(7)坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑。
5.特殊與一般思想
用這種思想解選擇題有時特別有效，這是因為一個命題在普遍意義上成立時，在其特殊情況下也必然成立，根據這一點，同學們可以直接確定選擇題中的正確選項。不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。
6.極限思想
極限思想解決問題的一般步驟為：
一、對於所求的未知量，先設法構思一個與它有關的變數
二、確認這變數通過無限過程的結果就是所求的未知量
三、構造函數(數列)並利用極限計演算法則得出結果或利用圖形的極限位置直接計算結果。
掌握數學解題思想是解答數學題時不可缺少的一步，建議同學們在做題型訓練之前先了解數學解題思想，掌握解題技巧，並將做過的題目加以歸納總結，以便在考試中游刃有餘。

『貳』 歸納法證明怎麼去做題

數學上證明與自然數n有關的命題的一種方法。必須包括兩步：(1)驗證當n取第一個自然數值n 0(如1，2等)時，命題正確；(2)假設當n取某一自然數k時命題正確，以此推出當n=k+1時這個命題也正確。從而就可斷定命題對於從n 0開始的所有自然數都成立。 數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用於確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用於確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用於數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式；這就是著名的結構歸納法。 已知最早的使用數學歸納法的證明出現於 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri o (1575年)。Maurolico 證明了前 n 個奇數的總和是 n^2。 最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬於所有自然數時一個表達式成，這種方法是由下面兩步組成: 遞推的基礎: 證明當n = 1時表達式成立。 遞推的依據: 證明如果當n = m時成立，那麼當n = m + 1時同樣成立。(遞推的依據中的「如果」被定義為歸納假設。 不要把整個第二步稱為歸納假設。) 這個方法的原理在於第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重復不斷進行的過程中。或許想成多米諾效應更容易理解一些；如果你有一排很長的直立著的多米諾骨牌那麼如果你可以確定： 第一張骨牌將要倒下。 只要某一個骨牌倒了,與他相臨的下一個骨牌也要倒。 那麼你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒。 數學歸納法的原理作為自然數公理，通常是被規定了的(參見皮亞諾公理第五條)。但是它可以用一些邏輯方法證明；比如，如果下面的公理： 自然數集是有序的 被使用。 注意到有些其他的公理確實的是數學歸納法原理中的二者擇一的公式化。更確切地說，兩個都是等價的。 用數學歸納法進行證明的步驟： （1）（歸納奠基）證明當 取第一個值 時命題成立；證明了第一步，就獲得了遞推的基礎，但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性.在第一步中，考察結論成立的最小正整數就足夠了，沒有必要再考察幾個正整數，即使命題對這幾個正整數都成立，也不能保證命題對其他正整數也成立； （2）（歸納遞推）假設 時命題成立，證明當 時命題也成立；證明了第二步，就獲得了遞推的依據，但沒有第一步就失去了遞推的基礎.只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論； （3）下結論：命題對從 開始的所有正整數 都成立。 註： （1）用數學歸納法進行證明時，「歸納奠基」和「歸納遞推」兩個步驟缺一不可； （2）在第二步中，在遞推之前， 時結論是否成立是不確定的，因此用假設二字，這一步的實質是證明命題對 的正確性可以傳遞到 時的情況.有了這一步，聯系第一步的結論（命題對 成立），就可以知道命題對 也成立，進而再由第二步可知 即 也成立，…，這樣遞推下去就可以知道對於所有不小於 的正整數都成立.在這一步中， 時命題成立，可以作為條件加以運用，而 時的情況則有待利用歸納假設、已知的定義、公式、定理加以證明，不能直接將 代入命題.

『叄』 數學歸納法的主要解題步驟是什麼要詳解.

（1）先證明當n取第一個值n.時,命題正確
（2）假設當n=k（k是正整數且k〉=n.）時,命題正確,證明當n=k+1時命題也正確
在完成了這兩個步驟以後,就可以斷定命題對於從n.開始的所有自然數n都正確

『肆』 求數學歸納法標准解題格式

分為第一類歸納法和第二類歸納法第一類歸納法：第一步，先證明對於n=1(如果條件要求n≥2, 那就先證明n=2)，結論成立第二步，假設對於n=k結論成立，證明對於n=k+1結論成立最後，總結上述，得出結論對於所有n都成立 第二類歸納法：第一步，同第一類的第一步第二步，假設對於n≤k結論成立，證明對於n=k+1結論成立最後，總結

『伍』 數學歸納法的三個步驟是什麼

1、當n=1時，顯然成立。

2、假設當n=k時（把式中n換成k，寫出來）成立，

則當n=k+1時，（這步比較困難，化簡步驟往往繁瑣，考試時可以直接寫結果)該式也成立。

3、由（1）（2）得，原命題對任意正整數均成立。

(5)歸納方法怎麼解題擴展閱讀：

解題要點

數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，

第一步：驗證n取第一個自然數時成立

第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

最後一步總結表述。

『陸』 高中數學歸納法解題過程

數學上證明與
自然數
n有關的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與
正整數
有關的數學問題，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。
（一）第一數學歸納法：
一般地，證明一個與自然數n有關的命題p(n)，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（
k≥n0，k為自然數
）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n)都成立。
（二）第二數學歸納法：
對於某個與自然數有關的命題p(n)，
（1）驗證n=n0時p(n)成立；
（2）假設n0≤n<k時p(n)成立，並在此基礎上，推出p(k+1)成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n)都成立。
（三）倒推歸納法（反向歸納法）：
（1）驗證對於無窮多個自然數n命題p(n)成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對於算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設p(k+1)（k≥n0）成立，並在此基礎上，推出p(k)成立，
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n)都成立；
（四）螺旋式歸納法
對兩個與自然數有關的命題p(n)，q(n)，
（1）驗證n=n0時p(n)成立；
（2）假設p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假設
q(k)成立，能推出
p(k+1)成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。
數學歸納法的變體在應用，數學歸納法常常需要採取一些變化來適應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。
從0以外的數字開始
如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有大於等於某個數字b的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
第一步，證明當n=b時命題成立。
第二步，證明如果n=m(m≥b)成立，那麼可以推導出n=m+1也成立。
用這個方法可以證明諸如「當n≥3時，n2>2n」這一類命題。
只針對偶數或只針對奇數
如果我們想證明的命題並不是針對全部自然數，而只是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
奇數方面：
第一步，證明當n=1時命題成立。
第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
偶數方面：
第一步，證明當n=0或2時命題成立。
第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
遞降歸納法
數學歸納法並不是只能應用於形如「對任意的n」這樣的命題。對於形如「對任意的n=0,1,2,...,m」這樣的命題，如果對一般的n比較復雜，而n=m比較容易驗證，並且我們可以實現從k到k-1的遞推，k=1,...,m的話，我們就能應用歸納法得到對於任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。

『柒』 題型歸納法是什麼

這是按照高考題型對相關知識進行歸納的一種方法。有助於提高解題速率和成功率，對高考復習至關重要。如：對無機框圖題的解題策略歸納出：

①以特徵反應為突破口。具有特殊的物理或化學性質的物質，往往具有特徵反應或在反應中表現特殊的現象。如顏色反應呈黃色是鈉元素的特徵；有臭雞蛋氣味的氣體是硫化氫；遇碘變藍色是澱粉的特性；使品紅溶液褪色的無色氣體是二氧化硫；一氧化氮遇氧氣變為紅棕色；使酚酞試液變紅的氣體是氨氣；白色沉澱在空氣中由白色——灰綠色——紅棕色是氫氧化亞鐵轉變為氫氧化鐵的特徵反應現象等等。這些特徵反應或現象可以作為框圖題解題的突破口。

②根據轉化關系求解。由反應的轉化關系推斷物質，通過讀圖、思考，在常見的元素及化合物轉化關系中通過篩選、甄別，確認物質。

③以框圖中反復出現的信息為突破口。

④換位思考巧推斷。換位思考即在解題時隨問題和情景的不同，隨時調整自己的思維方式，如變常規思維為跳躍思維，變求同思維為求異思維，變正向思維為反向思維，以達到解題時柳岸花明又一村之功效。

⑤運用課本知識和新信息細心推斷。

『捌』 數學歸納法的主要解題步驟是什麼要詳解。

（1）先證明當n取第一個值n。時，命題正確
（2）假設當n=k（k是正整數且k〉=n。）時，命題正確，證明當n=k+1時命題也正確
在完成了這兩個步驟以後，就可以斷定命題對於從n。開始的所有自然數n都正確

『玖』 第一，第二數學歸納法

第一數學歸納法可以概括為以下三步：

(1)歸納奠基：證明n=1時命題成立；

(2)歸納假設：假設n=k時命題成立；

(3)歸納遞推：由歸納假設推出n=k+1時命題也成立．

第二數學歸納法原理是設有一個與自然數n有關的命題，如果：

（1）當n＝1時，命題成立；

（2）假設當n≤k時命題成立，由此可推得當n＝k+1時，命題也成立。

那麼，命題對於一切自然數n來說都成立。

(9)歸納方法怎麼解題擴展閱讀：

在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第一個,第二個，第三個，一直下去概不例外）的數學定理。

雖然數學歸納法名字中有「歸納」，但是數學歸納法並非不嚴謹的歸納推理法，它屬於完全嚴謹的演繹推理法。事實上，所有數學證明都是演繹法。

數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，

第一步：驗證n取第一個自然數時成立

第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

最後一步總結表述。

需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可。

數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。數學歸納法原理可以由下面的良序性質（最小自然數原理）公理可以推出：

自然數集是良序的。（每個非空的正整數集合都有一個最小的元素）

比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數集合中有最小的數——1.

下面我們將通過這個性質來證明數學歸納法：

對於一個已經完成上述兩步證明的數學命題，我們假設它並不是對於所有的正整數都成立。

對於那些不成立的數所構成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬於集合S的，所以k>1）

k已經是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬於S，這意味著k-1對於命題而言是成立的——既然對於k-1成立，那麼也對k也應該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。

注意到有些其它的公理確實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。

『拾』 數學歸納法的一般步驟

知識梳理
1．數學歸納法
證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N＋)時命題成立；
(2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N＋)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立．
2．數學歸納法的框圖表示

考向1用數學歸納法證明等式

[規律方法]1.用數學歸納法證明等式問題，要「先看項」，弄清等式兩邊的構成規律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少．

3．由n＝k時命題成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設的證明，就不是數學歸納法

考向2用數學歸納法證明不等式

[規律方法]1.當遇到與正整數n有關的不等式證明時，若用其他方法不容易證明，則可考慮應用數學歸納法．

2．用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時命題成立，再證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設使用後可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質等放縮技巧，使問題得以簡化．

考向3.歸納——猜想——證明

[規律方法]1.猜想{an}的通項公式時應注意兩點：(1)准確計算a1，a2，a3發現規律(必要時可多計算幾項)；(2)證明ak＋1時，ak＋1的求解過程與a2，a3的求解過程相似，注意體會特殊與一般的辯證關系．

2．「歸納—猜想—證明」的模式，是不完全歸納法與數學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發現結論，然後經邏輯推理證明結論的正確性．

[思想與方法]
1．數學歸納法是一種重要的數學思想方法，主要用於解決與正整數有關的數學命題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據．

2．在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設．此時既要看準目標，又要弄清n＝k與n＝k＋1之間的關系．在推證時，應靈活運用分析法、綜合法、反證法等方法．