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求點到面的距離有哪些方法

發布時間:2022-07-16 04:18:17

❶ 點到平面的距離怎麼計算

記住基本公式即可。

如果公式中的平面方程為Ax+By+Cz+D=0

而點P的坐標(x0,y0,z0)

於是點P到平面的距離d

就得到d=|Ax0+By0+Cz0+D| /√(A²+B²+C²)

(1)求點到面的距離有哪些方法擴展閱讀:

向量法計算點到平面的距離,就是把點和平面放在直角坐標系下進行計算。這樣,點和平面均可用坐標來表示。過平面外一點做平面的垂線,點到垂足的距離就是點到平面的距離。

如果a‑az""a,是n個不全為零的實數,且a,+aZ}w+a並O,A‑Az"""凡,是空間中的n個點,它們到定平面a的距離分別為d‑dz}...}d}M分A,A:為定比。

如何求立體幾何中點到平面的距離

直接找到點到平面的垂線段;可構造點與平面之間的四面體,通過四面體體積求解距離。

例如:已知正方形ABCD邊長為4,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F分別為AB,AD中點。求:點B到平面PEF的距離。

方法:轉化為線面——其它點面距離

連結BD, ∵ E、F分別為AB,AD中點,

∴ EF//BD,

∴ B點到平面PEF的距離即直線BD到平面PEF的距離,即直線BD上任一點到平面PEF距離,

連結AC交EF於G,交BD於O,連結PG,

∵ BD⊥AC,∴ EF⊥AC,又 PC⊥EF,

∴ EF⊥平面PGC,∴ 平面PEF⊥平面PCG,

過O點作OK⊥PG於K,則OK⊥平面PEF,

即線段OK的長即為點O到平面PEF的距離,

由ΔOKG∽ΔPCG,在ΔPCG中可求得PG=,PC=2,

在ΔOGK中,OG=AC=,∴ OK=;OG=。

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向量求法

1、直線:截取直線l上兩點A(l,n,0)和B(k+l,m+n,1)方向向量為:AB=(k,m,1);

2、平面:取平面內三點:A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c);

AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c)。

3、2設向量n:(x,y,c)為平面的法向量,則2y-2b=0 x+y-(a+b)=0;y=b x=a。則n=(a,b,c)為平面的一個法向量。

❸ 點到面距離怎麼算

點到面的距離公式是:距離d=面的法向量n與這一點到面上任意點連成的向量a的數量積除以|n| d=(n點a)/|n|。點到平面距離是指空間內一點到平面內一點的最小長度。特殊的是當點在平面內時,該點到平面的距離為0。
計算一點到平面的距離,通常可通過向量法或測量法求得。一般用向量法計算點到平面的距離就是把點和平面放在直角坐標系下,這樣,點和平面的位置均可用坐標來表示。

❹ 點到面的距離公式是多少

點到平面距離公式是d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。

點到平面距離是指空間內一點到平面內一點的最小長度。特殊的,當點在平面內時,該點到平面的距離為0。公式中的平面方程為Ax+By+Cz+D=0,點P的坐標(x0,y0,z0),d為點P到平面的距離。

點到平面距離計算的技巧

1、直接法作點到平面的垂線,找到垂足,然後構造一個可用的直角三角形來求解問題。適用於垂足好找,且相關線段長度可方便計算的情形。

2、等積法(間接法)利用含有高h的各種公式,如棱錐體積V=Sh/3,若能方便地求出基本量S,以及已知V或可方便地以其他方式得出V(等積思想),便可間接求出h。適用於不方便甚至無法直接求解高而底面積易得出,且體積已知或易通過其它途徑方便地求得的情形。

❺ 求點到面的距離,怎麼算,

  1. 根據空間圖形的特點和性質,找到垂足的位置,直接向平面引垂線,構造可解的直角三角形求解。

  2. 找(作)出一個過該點的平面與已知平面垂直,然後過該點作其交線的垂線,則得點到平面的垂線段

  3. 當由點向平面引垂線發生困難時,可利用線面平行或面面平行轉化為直線上(平面上)其他點到平面的距離。

  4. 即利用三棱錐的換底法,通過積體計算得到點到平面的距離.本法具有設高不作高的特殊功效,減少了推理,但計算較為復雜。

  5. 通過建立空間直角坐標系,用空間向量求模長的知識可求得點到平面的距離

❻ 空間中,點到面的距離公式

在空間向量中,平面外一點P到平面α的距離d為:

d=|n.MP|/|n|,式中,n ---平面α的一個法向向量,M ----平面α內的一點,MP---向量。

平面π的方程為:Ax+By+Cz+D=0,向量

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點到平面距離證明過程

當d≠0時,根據d的符號,可以判斷點Q在平面的哪一側。假設平面法向量n的方向與圖中一致,

且該方向指向平面的外側,那麼

(1)d>0時,Q在平面外側;

(2)d<0時,Q在平面內側。

❼ 點到面的距離公式是什麼

點到平面的距離公式:d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。公式描述:公式中的平面方程為Ax+By+Cz+D=0,點P的坐標(x0,y0,z0),d為點P到平面的距離。
文字表示:d=|向量AB*向量n|/向量n的模長。
d表示點A到面的距離,向量AB是以點A為起點,以平面上任意一點為終點的向量,向量n是平面的法向量。
點到平面距離是指空間內一點到平面內一點的最小長度。特殊的,當點在平面內時,該點到平面的距離為0。計算一點到平面的距離,通常可通過向量法或測量法求得。

❽ 求點到平面的距離的方法

下面將會求點到平面的距離的方法,實際上也很簡單的。例:已知ABCD是邊長為4的正方形,E、F分別是AB、AD的中點,GC垂直於ABCD所在平面,且GC=2,求點B到平面EFG的距離.
一、直接通過該點求點到平面的距離
1.直接作出所求之距離,求其長.
解法1.如圖1,為了作出點B到平面EFG的距離,延長FE交CB的延長線於M, 連 結GM,作BN⊥BC,交GM於N,則有BN∥CG,BN⊥平面ABCD.作BP⊥EM,交EM於P,易證平面BPN⊥平面EFG.作BQ⊥PN,垂足為Q,則BQ⊥平面EFG.於 是BQ是點B到平面EFG的距離.易知BN=,BP=,PZ=,由BQ·PN=PB·BN,得BQ=.

圖1 圖2
2.不直接作出所求之距離,間接求之.
(1)利用二面角的平面角.
課本P.42第4題,P.46第2題、第4題給出了「二面角一個面內的一個點,它到棱的距離、到另一個面的距離與二面角的大小之間所滿足的關系」.如圖2,二面角M-CD-N的大小為α,A∈M,AB⊥CD,AB=a,點A到平面N的距離AO=d, 則有d=asinα. ①
①中的α也就是二面角的大小,而並不強求要作出經過AB的二面角的平面角.
解法2.如圖3,過B作BP⊥EF,交FE的延長線於P,易知BP=,這就是點B到二面角C-EF-G的棱EF的距離.連結AC交EF於H,連結GH,易證∠GHC就是二面角C-EF-G的平面角.∵ GC=2,AC=4,AH=,∴ CH=3,GH=,sin∠GHC=2/,於是由①得所求之距離d=BP·sin∠GHC=· =.解略.

(2)利用斜線和平面所成的角.
如圖4,OP為平面α的一條斜線,A∈OP,OA=l,OP與α所成的角為θ,A到平面α的距離為d,則由斜線和平面所成的角的定義可知,有d=lsinθ.②
經過OP與α垂直的平面與α相交,交線與OP所成的銳角就是②中的θ,這里並不強求要作出點A在α上的射影B,連結OB得θ.
解法3.如圖5,設M為FE與CB的延長線的交點,作BR⊥GM,R為垂足.又GM⊥EB,易得平面BER⊥平面EFG,ER為它們的交線,所以∠REB就是EB與平面EFG所成的角θ.由△MRB∽△MCG,可得BR=,在Rt△REB中,∠B=90°,BR=,EB=2,所以sinθ=BR/ER=,於是由②得所求之距離d=.

圖5 圖6
(3)利用三棱錐的體積公式.
解法4.如圖6,設點B到平面EFG的距離為d,則三棱錐B-EFG的體積V=(1/3)S△EFG·d.另一方面又可得這個三棱錐的體積V=(1/3)S△FEB·CG,可求得S△FEB=(1/4)S△DAB=2,S△EFG=,所以有1/3··d=1/3·2·2,得d=.
二、不經過該點間接確定點到平面的距離
1.利用直線到平面的距離確定
解法5.如圖7,易證BD∥平面EFG,所以BD上任意一點到平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離.由對稱思想可知,取BD中點O,求點O到平面EFG的距離較簡單.AC交EF於H,交BD於O.易證平面GHC⊥平面EFG,作OK⊥HG,K為垂足,OK=為所求之距離.

圖7 圖8
2.利用平行平面間的距離確定
如圖8,把平面EFG補成一個正四稜柱的截面所在的平面,可使題設中的點、線、面之間的位置關系更加明朗.面GMT是正四稜柱ABCD-A1B1GD1經過F、E、G的截面所在的平面.MG交BB1於N,TG交DD1於Q,作BP∥MG,交CG於P,連結DP,則有平面GTM∥平面PDB.它們之間的距離就是所求之距離.於是可以把點B平移到平面PDB上任何一個位置,哪裡方便就在哪裡求.

❾ 如何求點到面的距離

設面為AX+BY+CZ+D=0
點(X0,Y0,Z0)到面的距離公式為
d=\AX0+BY0+CZ0+D\/根號(A^2+B^2+C^2)
跟點到直線的距離公式差不多隻是聯繫到空間,也是過該點分別作面的垂線,和斜線,組成直角三角形

❿ 怎麼求點到面的距離

最容易的就是建立空間直角坐標系,計算量要大一點,不過方法簡單

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