數值計算積分都有哪些方法

Ⅰ 數值積分方法求解答

在數值分析中，數值積分是計算定積分數值的方法和理論。在數學分析中，給定函數的定積分的計算不總是可行的。許多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。數值積分是利用黎曼積分和積分中值等數學定義和定理，用數值逼近的方法近似計算給定的定積分值。藉助於電子計算設備，數值積分可以快速而有效地計算復雜的積分，能夠以簡單的方法求解具體數值問題，但數值積分的難點在於計算時間有時會過長，有時會出現數值不穩定現象，需要較強的理論支撐。 黎曼積分（Riemann integral） 在實數分析中，由黎曼創立的黎曼積分（Riemann integral）首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。對於一在區間上之給定非負函數，我們想要確定所代表的曲線與坐標軸所夾圖形的面積，作為曲線與坐標軸所夾面積的黎曼積分。黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。如函數取負值，則相應的面積值亦取負值。 積分中值定理（Mean value theorem of integrals） 積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值，或者是將復雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法，若函數f(x) 在 閉區間[a, b]上連續,則在積分區間[a, b]上至少存在一個點ξ，使下式成立 Integral(f(x)) on [a, b] = f(ξ)(b - a) 其中，a、b、ξ滿足：a≤ξ≤b， 數值積分的必要性 數值積分的必要性源自計算函數的原函數的困難性。利用原函數計算定積分的方法建立在牛頓-萊布尼茲公式之上。然而，原函數可以用初等函數表示的函數為數不多，大部分的可積函數的積分無法用初等函數表示，甚至沒有解析表達式（「積不出來」的函數）。例如常見的正態分布函數的原函數就無法用初等函數表示。 不僅如此，在很多實際應用中，可能只能知道積分函數在某些特定點的取值，或者積分函數可能是某個微分方程的解，這些都是無法用求原函數的方法計算函數的積分。另外，當積分區域是曲面、三維形體以至於高維流形時，牛頓-萊布尼茲公式也不再適用，因此只能使用數值積分計算函數的近似值。 矩形法 矩形法是一種計算定積分近似值的方法，其思想是求若干個矩形的面積之和，這些矩形的高由函數值來決定。將積分區間[a, b] 劃分為n個長度相等的子區間，每個子區間的長度為(a-b)/n 。這些矩形左上角、右上角或頂邊中點在被積函數上。這樣，這些矩形的面積之和就約等於定積分的近似值。 由函數上的點為矩形的左上角、右上角或頂邊中點來決定，又分別被稱為下（左）矩形公式、上（右）矩形公式和中矩形公式。當n 逐漸擴大時，此近似值更加准確。矩形法的計算本質上是與黎曼積分的定義相吻合的。上述的點無論取哪個值，最終和式的值都將趨近於定積分的值。 梯形法 為了計算出更加准確的定積分，採用梯形代替矩形計算定積分近似值，其思想是求若干個梯形的面積之和，這些梯形的長短邊高由函數值來決定。這些梯形左上角和右上角在被積函數上。這樣，這些梯形的面積之和就約等於定積分的近似值。 辛普森法（Simpson's rule） 矩形法和梯形法都是用直線線段擬合函數曲線的方法，另一種形式是採用曲線段擬合函數，實現近似逼近的。辛普森法（Simpson's rule）是以二次曲線逼近的方式取代矩形或梯形積分公式，以求得定積分的數值近似解。 一般插值方法 另一種數值積分的思路是用一個容易計算積分而又與原來的函數「相近」的函數來代替原來的函數。這里的「相近」是指兩者在積分區間上定積分的值比較接近。最自然的想法是採用多項式函數。比如說，給定一個函數後，在積分區間中對原來的函數進行拉格朗日插值。得到拉格朗日插值多項式以後，計算這個多項式的積分。 拉格朗日插值(Lagrange Interpolation) 拉格朗日插值是一種多項式插值方法，可以找到一個多項式，其恰好在積分區間中取的各個點取到給定函數的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。 數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數。對於給定的n+1個點，對應於它們的次數不超過n的拉格朗日多項式有且只有一個。 牛頓-科茨公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula） 牛頓-柯特斯公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）是以拉格朗日多項式插值的一般方法。梯形法則和辛普森法則便是牛頓-柯特斯公式的特例情況。 由於該拉格朗日多項式的系數都是常數，所以積函數的系數都是常數。這種方法缺點是對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。 龍格現象(Runge Phenomenon) 在數值分析領域中， 龍格現象是用高階多項式進行多項式插值時所出現的問題。 在某些高階多項式等距點xi 進行插值，那麼插值結果就會出現震盪。可以證明，在多項式的階數增高時插值誤差甚至會趨向無限大。 解決龍格現象的辦法是使用切比雪夫節點代替等距點可以減小震盪，在這種情況下，隨著多項式階次的增加最大誤差逐漸減小。這個現象表明高階多項式通常不適合用於插值。使用分段多項式樣條可以避免這個問題。如果要減小插值誤差，那麼可以增加構成樣條的多項式的數目，而不必是增加多項式的階次。第一類切比雪夫多項式的根（即切比雪夫節點）可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象，並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。 代數精度評估 的代數精度用於衡量原函數和數值積分結果兩者的逼近程度。若E(f)=0對f(x)=x^k(k=0,1，…，d)精確成立，而當f(x)=x^(d+1)時不再是精確等式，則說求積公式的代數精度是d。根據K.外爾斯特拉斯的多項式逼近定理，就一般的連續函數而言，d越大E(f)越小，因此可以用代數精度的高低說明數值積分公式的優劣。

Ⅱ 數值計算的構造數值積分

構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格演算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得准確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果准確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜採用龍貝格求積公式。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，准確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。

Ⅲ 計算積分的方法有哪些

積分的計算包含兩方面：一、基本思路是牛萊公式，利用不定積分的解題方法來計算；二、利用對稱區間及函數的基本性質來解題，主要是運用函數的奇偶性。

Ⅳ 數值計算的數值積分

numerical integration
求定積分的近似值的數值方法。即用被積函數的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。求某函數的定積分時，在多數情況下，被積函數的原函數很難用初等函數表達出來， 因此能夠藉助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數往往是列表函數或其他形式的非連續函數，對這類函數的定積分，也不能用不定積分方法求解。由於以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。對微積分學作出傑出貢獻的數學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯等人也在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，並奠定了它的理論基礎。

Ⅳ 積分方法有哪些

換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。
一、第一類換元法（即湊微分法）
通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。例如 。
二、註：第二類換元法的變換式必須可逆。
第二類換元法經常用於消去被積函數中的根式。當被積函數是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：
1、 根式代換法，
2、 三角代換法。
在實際應用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。
鏈式法則是一種最有效的微分方法，自然也是最有效的積分方法，下面介紹鏈式法則在積分中的應用：
鏈式法則：
我們在寫這個公式時，常常習慣用u來代替g，即：

如果換一種寫法，就是讓：

就可得：
這樣就可以直接將dx消掉，走了一個捷徑。 設函數和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+v。移項得到udv=d(uv)-v
兩邊積分，得分部積分公式
∫udv=uv-∫v。 ⑴
稱公式⑴為分部積分公式．如果積分∫v易於求出，則左端積分式隨之得到．
分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u,v
一般來說，u,v 選取的原則是：
1、積分容易者選為v， 2、求導簡單者選為u。
例子：∫Inx dx中應設U=Inx,V=x
分部積分法的實質是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。
有理函數分為整式（即多項式）和分式（即兩個多項式的商），分式分為真分式和假分式，而假分式經過多項式除法可以轉化成一個整式和一個真分式的和．可見問題轉化為計算真分式的積分．
可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和。

Ⅵ 求定積分有幾種方法

對應不定積分有初等函數解的，即可以積出來的，先積出原函數後就沒什麼問題。
對應不定積分無初等函數解的。要說具體技巧多了，那隻能就題論題，我只能說說思考方向。
1.考慮對稱性，利用對稱性抵消一部分，剩下一般為簡單部分。
2.考慮區間的特殊性，利用換元構造方程。比如0到π/2，f(sinx)與f(cosx)的積分相等，就是換元t=π/2-x後得到的。
3.由定積分的性質拆分區間構造方程。
4.轉化為二重積分，交換積分次序後，中間步驟可能會積出原函數。比如0到無窮，[e^(-2x)-e^(x)]/x的積分，可以轉化為∫[]0+,∞]dx∫[1,2]e^(-xy)/xdy，先對y積分，則e^(-xy)/x對y可以積出。
5.對於無窮或者半無窮區間的，一般可以用留數法、構造收斂因子、傅立葉變換、拉普拉斯變換等，這些相對比較難了。
6.對於特殊區間，經過換元轉化為[0,1]上的積分，用冪級數展開，逐項積分，最後求級數收斂值。
我能想到的只有這么多了。

以上均為求精確解，一般區間對於積不出的情況，只有用數值分析近似求解了。

Ⅶ 數值計算積分有哪些方法

可以用牛頓-科斯特公式，包括梯形公式、辛普生公式、以及各自的復合公式。

Ⅷ 用不同數值方法計算積分

∫LNX /√X DX
=∫LNX * 2 /（2√x）的DX
= 2∫LNX D（√x）的
= 2√XLNX - 2∫√XD（LNX ）,分部積分法
= 2√XLNX - 2∫√X * 1 / x的DX
= 2√XLNX - 2∫1 /√x的DX
= 2√XLNX - 2 * 2√X + C
=√2×（LNX - 2）+ C,其中已經完成它
= 4√×[（1/2）（LNX - 2）] + C
> = 4√×（LN√X - 1）+ C

Ⅸ 數值積分是什麼

數值積分，用於求定積分的近似值。在數值分析中，數值積分是計算定積分數值的方法和理論。在數學分析中，給定函數的定積分的計算不總是可行的。許多定積分不能用已知的積分公式得到精確值。

數值積分是利用黎曼積分等數學定義，用數值逼近的方法近似計算給定的定積分值。藉助於電子計算設備，數值積分可以快速而有效地計算復雜的積分。

必要性：

數值積分的必要性源自計算函數的原函數的困難性。利用原函數計算定積分的方法建立在牛頓-萊布尼茲公式之上。然而，原函數可以用初等函數表示的函數為數不多，大部分的可積函數的積分無法用初等函數表示，甚至無法有解析表達式。

另外，當積分區域是曲面、三維形體以至於高維流形時，牛頓-萊布尼茲公式不再適用，只能使用更廣泛的格林公式或斯托克斯公式，以轉化為較低維數上的積分，但只能用於少數情況。因此，只能使用數值積分計算函數的近似值。

以上內容參考：網路·——數值積分