導函數的問題和解決方法

Ⅰ 導數在數學中可以解決哪幾類問題

（1）導數 的幾何意義就是曲線在點處的切線斜率，其切線方程可以表示為，這里一定不能忽視必須是曲線上的點這一條件，否則就會出錯。此外還要注意的是：函數 在點處可導是曲線在點有切線的充分而不必要條件，即函數 在點處可導，則曲線 在點 一定存在切線；但曲線 在點存在切線時，函數在點處不一定可導。
（2）求曲線的切線方程一般步驟是：
①求出函數 在點 處的導數，即曲線 在點 處的切線的斜率；
②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：
③特別地，如果曲線 在點 處的切線平行於 軸，這時導數不存，根據切線定義，可得切線方程為 。
3、工具性：高考中對導數考查的第二層次，這一層次包括求函數的極值、最值，求函數的單調區間，證明函數的單調性等。因為導數已經成為分析和解決問題必不可少的「工具」，由於其應用的廣泛性，提供了研究函數問題、曲線問題等的一般性方法，運用它可以簡捷的解決一些實際問題和傳統中學數學方法難以研究的問題。因此，在復習上，要掌握以下幾個重要的知識點：
（1）利用導數研究函數單調性的方法，求可導函數 單調區間的一般步驟：
①分析 的定義域；
②求導數 ；
③解不等式 (或 < )；確定遞增（或遞減）區間，單調區間一定是定義域的子集；
（2）求可導函數 極值的一般步驟：
①求導數 ；
②求方程 的全部實根；
③判斷 在實根左、右的符號，由增到減為極大，由減到增為極小。
（3）求可導函數 在閉區間上最值的方法：
①求出函數在給定區間內的所有極值；
②求出函數在閉區間上的兩個端點值；
③將極值與端點的函數值作比較，得出最值。
（4）導數與函數的單調性的關系：
① 與 為增函數的關系：
能推出 為增函數，但反之不一定。如函數 在 上單調遞增，但 ，∴ 是為增函數的充分不必要條件。
② 時， 與 為增函數的關系：
若將 的根作為分界點，因為規定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數，就一定有 。∴當 時， 是 為增函數的充分必要條件。
③ 與 為增函數的關系：
為增函數，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為或。當函數在某個區間內恆有，則為常數，函數不具有單調性。∴ 是 為增函數的必要不充分條件。
④ 與 為減函數的關系類似。
（5）還要特別提示以下幾點：
①極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小的，並不意味著它在函數的整個定義域內最大或最小，且極大值不一定比極小值大：
②如果函數在區間內只有一個點使，此時函數在這點有極大（小）值，那麼不與端點比較，就可以知道該極大（小）值就是最大（小）值；
③函數在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，可能沒有。
4、創新性：導數知識點的引入，不僅僅創新了解題的手段，重要的是試題內容和思想方法上的創新。創新是高考對導數考查的第三層次，這一層次是將導數的內容和傳統內容中的有關函數、三角、數列、不等式、向量和解析幾何等交匯在一起，設計出許多情境新穎、綜合性強的試題（包括應用題）。這些問題的求導的過程並不難，它考查的核心在於函數的性質及下列些重要的思想方法：
（1）數形結合思想：根據函數的單調性與極值、最值的情況，可以大致的描繪出函數的圖像，以幫助我們直觀形象的分析問題；
（2）化歸和轉化思想：愈來愈新的形式多樣的導數問題，通過歸納類比，就可轉化為我們熟悉的數學問題。例如，求解恆成立時實數范圍時，可以轉化為求的最大值問題；不等式的證明可轉化為求函數單調性的問題；
（3）分類與整合思想：用導數處理含參數的問題，往往要根據極值點的大小和位置進行分類討論，然後對各類情形進行整合
（4）綜合數學思想：用導數求方程根的個數或根的分布的問題，簡捷明了，這類問題可轉化為根據的單調區間和極值，來判斷的圖像與軸的交點問題，這既是數形結合思想的體現，也是函數與方程思想的體現。
在本部分內容復習上，還要在充分認識導數作為工具在研究函數等問題提供了有效的途徑和簡便方法的基礎上，認識導數在解決其他問題上的不可替代的優越性。要做相關的針對性模擬訓練，要在老師的帶領下總結方法，掌握一定的解題技巧，以拓展解題的空間，開闊解題的視野，培養創新思維能力。
具體說，要關注下列一些問題：
（1）處理生活中的優化問題：
對於實際生活中的優化問題，如果其目標函數為高次多項式函數，簡單的分式函數，簡單的無理函數，簡單的指數函數、對數函數，或它們的復合型函數，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧，而用導數法求其最值，其優越性則更為突出。
（2）證明不等式：
利用函數單調性證明不等式，關鍵在於構造好相應的函數，然後在相應的區間上用導數知識判斷其單調性，再得到所證的不等式。
中學范圍內利用導數解證不等式主要有兩種方法：一是藉助函數的單調性，二是藉助函數的最大（小）值。無論哪種方法，解題過程變得簡潔的關鍵是利用了導數。
（3）處理含參數的恆成立不等式問題：
求恆成立的無理不等式中參數的取值范圍問題，往往在短時間內往往難以很快尋得正確的解題思路。本題從導數知識入手，解題思路清晰，令人耳目一新，體現了導數較高的工具應用價值。
5、思辯性
考查導數內容的第四個層次，是對相關概念的辨析。這部分內容的復習要關注下列幾個問題：
（1）「過某點的切線」與「在某點的切線」是不同的，「過某點的切線」中的某點可以不在切線上，而「在某點的切線」中的某點一定在這條曲線上；過某點的切線可能不止一條，但在某點的切線條數一定是唯一；
（2） 是函數 為增函數的充分而不必要條件，不要誤認為是充要條件；
（3）若可導函數 在點 處連續且兩側的導數異號，則點 是函數的極值點，但是函數 在極值點處的不一定可導；
（4）可導函數的極值點一定是導數為0的點，但是導數為0的點不一定是極值點；
（5）函數 在 處連續是函數 在 處可導的必要條件而非充分條件，即是說非連續函數是不能求導的。
6、求導之前，如果可以的話，應利用代數、三角恆等式等變形對函數進行化簡，然後求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；有的函數雖然表面形式為函數的商的形式，但在求導前利用代數或三角恆等變形將函數先化簡，然後進行求導，有時可以避免使用商的求導法則，減少運算量。
7、定積分與微積分基本定理：
（1）定積分的定義過程包括「分割、近似求和、取極限」這幾個步驟，這里包含著很重要的數學思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應用。
（2）微積分基本定理：
（3）在不定積分中，由於 ，∴原函數不是唯一的， 但∵ ， ∴ 也是 的原函數，因此在求定積分時，只需要一個原函數 即可。
（4）利用定積分來求面積時，要特別注意位於軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然後求兩部分的代數和，其結果可正可負。

Ⅱ 關於導函數的問題，緊急。

1、從幾何意義上來理解，某一個x點對應的導數相當於函數曲線在此點處的斜率，即在此點處，與函數曲線相切的那條直線的斜率。只有在區間上的每一個x點，所對應的函數曲線上都存在斜率，才能說，在此區間上，原函數存在導函數。

某些情況下，函數在某點處是不存在斜率的，也就沒有導數。

如：分段函數y=|x|，除了x=0以外，在第一象限的斜率都是1，第二象限的斜率都是-1。但在x=0處，不存在斜率（但此函數在x=0處是有定義的）。再如反比例函數y=1/x，在x=0處無定義，所以在此點處也不存在斜率。

以上例子說明，函數圖像不連續，在「斷裂」處肯定沒導數。另一方面，即使函數圖像連續，在某些特殊點處也可能沒有導數。

「每一個可導的點，只有一個導數」，這個理解可以成立。但如果「函數」只有一個定義點，這還叫函數么？在這個唯一的定義點上，沒有左右連續點，如何確定此點處的斜率？自然，不會有導數的。

2、導數與導函數概念也是有區別的。導數僅僅是某一個x點上的斜率。而導函數是許多連續的x點上的導數與自變數x形成的一一對應的函數關系的表達式。

如：y=x²這個函數，在x=0處的導數是0，在x=1處的導數是2，在x=2處的導數是4，……。y=x²的導函數是y=2x。

3、導函數與原函數是有依存關系的。沒有原函數，哪來的導函數？導函數可以根據一些計算公式求出來的。
要計算某點處的導數，可以直接將此點x值代入導函數計算；當然，也可以在原函數上計算此x點處的斜率，即△y／△x的極限。

Ⅲ 含參導函數零點問題的幾種處理方法

導數進入中學數學教材之後,給傳統的中學數學內容注入了生機與活力,它具有深刻的內涵與豐富的外延。以函數為載體,以導數為工具,是近年高考中函數與導數交匯試題的顯著特點和命題趨向。導數在求函數的單調性及極、最值等方面有著重要的應用,而這些問題都離不開一個基本點——導函數的零點,因為導函數的零點既是原函數單調區間的分界點,也可能是原函數的極值點或最值點。可以說,如果能把握導數的零點,就可以抓住原函數的性質要點。因此,導函數的零點問題對研究函數與導數的綜合問題意義重大。但引入導數之後,高中階段可處理的函數類型大大增加,特別是含有參數的函數問題,導函數的零點也變得更為復雜,有些函數的零點甚至是不易求出的。基於此,本文就含參數的導函數的零點問題,談談幾種基本的處理方法。方法一:直接求出,代入應用對於導函數為二次函數的問題,可以用二次函數零點的基本方法來求。

Ⅳ 導數問題！！

（x/2-1/2）'=1/2
求導是數學計算中的一個計算方法，導數定義為：當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。 物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。 數學中的名詞，即對函數進行求導，用f'(x）表示。
⑴求函數y=f(x)在x處導數的步驟：
① 求函數的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)
② 求平均變化率
③ 取極限，得導數。
⑵基本初等函數的導數公式：
1.C'=0(C為常數）；
2.(X)'=nX (n∈Q）；
3.(sinX)'=cosX；
4.(cosX)'=-sinX；
5.(a)'=aIna （ln為自然對數）
特別地，(e)'=e
6.(logX)'=（1/X)loge=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)
特別地，(ln x)'=1/x
7.(tanX)'=1/(cosX)=(secX)
8.(cotX)'=-1/(sinX)=-(cscX)
9.(secX)'=tanX secX
10.(cscX)'=-cotX cscX
⑶導數的四則運演算法則：
①（u±v)'=u'±v'
②（uv)'=u'v+uv'
③（u/v)'=(u'v-uv')/ v
④復合函數的導數
[u(v)]'=[u'(v)]*v'，（u(v）為復合函數f[g(x)]）
復合函數對自變數的導數，等於已知函數對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。
導數是微積分的基礎，同時也是微積分計算的一個重要的支柱。
重要極限
當 x 趨於0時 sin x=tan x=x
當 x 趨於0時 (1+x)=e
上式等價於 當 x 趨於正無窮時，(1+1/x)=e

Ⅳ 導函數解題技巧 求解。

1．了解導數概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義；理解導函數的概念．
2．熟記基本導數公式；掌握兩個函數和、差、積、商的求導法則．了解復合函數的求導法則，會求某些簡單函數的導數．
3．理解可導函數的單調性與其導數的關系；了解可導函數在某點取得極值的必要條件和充分條件（導數在極值點兩側異號）；會求一些實際問題（一般指單峰函數）的最大值和最小值

Ⅵ 導數問題，基礎的，這個題怎麼解，就解法

導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變數和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數f(x)，x↦f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，當自變數x在x0處有增量Δx，（x0+Δx）也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，並稱這個極限為函數y=f（x）在點x0處的導數記作①

兩者在數學上是等價的。

如果函數y=f（x）在開區間內每一點都可導，就稱函數f（x）在區間內可導。這時函數y=f（x）對於區間內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數y=f（x）的導函數，記作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，簡稱導數。

導數是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了貢獻。

函數y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函數曲線在點P0（x0,f（x0））處的切線的斜率（導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率）。

希望我能幫助你解疑釋惑。

Ⅶ 試述導數在解決實際問題中的應用

1、導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線；在代數中可求瞬時變化率；在物理中可求速度、加速度。

2、導數亦名紀數、微商（微分中的概念），是由速度變化問題和曲線的切線問題（矢量速度的方向）而抽象出來的數學概念，又稱變化率。

3、物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如：導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度（就直線運動而言，位移關於時間的一階導數是瞬時速度，二階導數是加速度），可以表示曲線在一點的斜率，還可以表示經濟學中的邊際和彈性。

(7)導函數的問題和解決方法擴展閱讀：

由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合。

2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導。

3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方。

4、如果有復合函數，則用鏈式法則求導。

Ⅷ 導函數的問題

變換x=y/A-B/A,
比較系數-B/A=B，且A=1/A,
得A=-1,B=非零實數，
即X+Y=B
滿足交換律，反函數問題，和導函數沒關聯。

Ⅸ 高中數學導函數的問題

分析：（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系，即可得到f（x）的單調區間；
（2）根據直線y=ax的圖象恆在函數f（x）圖象的上方，轉化為h（x）=ax-f（x）＞0恆成立，即可求a的取值范圍；
（3）利用函數的單調性和函數零點之間的關系，構造函數利用函數的單調性即可證明結論。

Ⅹ 高中導函數技巧

三、導
數
1．求導法則：
(c)/=0
這里c是常數。即常數的導數值為0。
(xn)/=nxn－1
特別地：(x)/=1
(x－1)/=
(
)/=－x-2
(f(x)±g(x))/=
f/(x)±g/(x)
(k•f(x))/=
k•f/(x)
2．導數的幾何物理意義：
k＝f/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點P(x0,f(x0))的切線的斜率。
V＝s/(t)
表示即時速度。a=v/(t)
表示加速度。
3．導數的應用：
①求切線的斜率。
②導數與函數的單調性的關系
一
與
為增函數的關系。
能推出
為增函數，但反之不一定。如函數
在
上單調遞增，但
，∴
是
為增函數的充分不必要條件。
二
時，
與
為增函數的關系。
若將
的根作為分界點，因為規定
，即摳去了分界點，此時
為增函數，就一定有
。∴當
時，
是
為增函數的充分必要條件。
三
與
為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出
，但反之不一定，因為
，即為
或
。當函數在某個區間內恆有
，則
為常數，函數不具有單調性。∴
是
為增函數的必要不充分條件。
函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
四單調區間的求解過程，已知
（1）分析
的定義域;（2）求導數
（3）解不等式
，解集在梗稜盾谷墉咐墮栓乏兢定義域內的部分為增區間（4）解不等式
，解集在定義域內的部分為減區間。
我們在應用導數判斷函數的單調性時一定要搞清以下三個關系，才能准確無誤地判斷函數的單調性。以下以增函數為例作簡單的分析，前提條件都是函數
在某個區間內可導。
③求極值、求最值。
注意：極值≠最值。函數f(x)在區間[a,b]上的最大值為極大值和f(a)
、f(b)中最大的一個。最小值為極小值和f(a)
、f(b)中最小的一個。
f/(x0)＝0不能得到當x=x0時，函數有極值。
但是，當x=x0時，函數有極值
f/(x0)＝0
判斷極值，還需結合函數的單調性說明。
4.導數的常規問題：
（1）刻畫函數（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯系（導數方法可用於研究平面曲線的切線）；
（3）應用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導數方法顯得簡便）等關於
次多項式的導數問題屬於較難類型。
2．關於函數特徵，最值問題較多，所以有必要專項討論，導數法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導數與解析幾何或函數圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應引起注意。
加油!希望你在這方面有突破!