⑴ 解數學排列組合問題是多少種常用方法
加油！！！
一、排列組合部分是中學數學中的難點之一，原因在於
(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力；
(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)准確理解；
(3)計算手段簡單，與舊知識聯系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
(4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，並具有較強的分析能力。
二、兩個基本計數原理及應用
(1)加法原理和分類計數法
1．加法原理
2．加法原理的集合形式
3．分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數法
1．乘法原理
2．合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同
[例題分析]排列組合思維方法選講
1．首先明確任務的意義
例1. 從1、2、3、……、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有________個。
分析：首先要把復雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。
設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c決定，
又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，因而本題為2=180。
例2. 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?
分析：對實際背景的分析可以逐層深入
（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。
（三）事實上，當把向上的步驟決定後，剩下的步驟只能向右。
從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數，
∴ 本題答案為：=56。
2．注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合
例3．在一塊並排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利於作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少於6壟，不同的選法共有______種。
分析：條件中「要求A、B兩種作物的間隔不少於6壟」這個條件不容易用一個包含排列數，組合數的式子表示，因而採取分類的方法。
第一類：A在第一壟，B有3種選擇；
第二類：A在第二壟，B有2種選擇；
第三類：A在第三壟，B有一種選擇，
同理A、B位置互換 ，共12種。
例4．從6雙不同顏色的手套中任取4隻，其中恰好有一雙同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：顯然本題應分步解決。
（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有種方法；
（二）從剩下的十隻手套中任選一隻，有種方法。
（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八隻手套中任選一隻，有種方法；
（四）由於選取與順序無關，因而（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。
例5．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身後的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。
分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有=90種。
例6．在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?
分析：採用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標准必須前後統一。
以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標准。
第一類：這兩個人都去當鉗工，有種；
第二類：這兩人有一個去當鉗工，有種；
第三類：這兩人都不去當鉗工，有種。
因而共有185種。
例7．現有印著0，l，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那麼從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數?
分析：有同學認為只要把0，l，3，5，7，9的排法數乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。
抽出的三數含0，含9，有種方法；
抽出的三數含0不含9，有種方法；
抽出的三數含9不含0，有種方法；
抽出的三數不含9也不含0，有種方法。
又因為數字9可以當6用，因此共有2×(+)++=144種方法。
例8．停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是________種。
分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。
3．特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮
例9．六人站成一排，求
(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數
(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數
分析：（1）先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。
第一類：乙在排頭，有種站法。
第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排尾，有種站法，
共+種站法。
（2）第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。
第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。
第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。
第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。
共+2+=312種。
例10．對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能?
分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，並且是最後一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次測試的有種可能；
第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有種可能。
∴ 共有種可能。
4．捆綁與插空
例11. 8人排成一隊
(1)甲乙必須相鄰 (2)甲乙不相鄰
(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 (4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰
(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰
分析：（1）有種方法。
（2）有種方法。
（3）有種方法。
（4）有種方法。
（5）本題不能用插空法，不能連續進行插空。
用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共--+=23040種方法。
例12. 某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況?
分析：∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即。
例13. 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三隻燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三隻，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種?
分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。
∴ 共=20種方法。
4．間接計數法.(1)排除法
例14. 三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?
分析：有些問題正面求解有一定困難，可以採用間接法。
所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數，
∴ 共種。
例15．正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?
分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，
∴ 共-12=70-12=58個。
例16. l，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數的底數和真數，可組成多少個不同數值的對數?
分析：由於底數不能為1。
（1）當1選上時，1必為真數，∴ 有一種情況。
（2）當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數，真數，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.
因而一共有53個。
(3)補上一個階段，轉化為熟悉的問題
例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰)，共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?
分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的後面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有=360種。
（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重復了種， ∴ 共=120種。
例18．5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?
分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9×8×7×6=3024種。
若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。
例19. 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?
分析：先認為三個紅球互不相同，共種方法。而由於三個紅球所佔位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。
5．擋板的使用
例20．10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?
分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當於一種分配方式。因而共36種。
6．注意排列組合的區別與聯系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段(排序)可轉化為排列問題。
例21. 從0，l，2，……，9中取出2個偶數數字，3個奇數數字，可組成多少個無重復數字的五位數?
分析：先選後排。另外還要考慮特殊元素0的選取。
（一）兩個選出的偶數含0，則有種。
（二）兩個選出的偶數字不含0，則有種。
例22. 電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最後兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法?
分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。
（二）選擇10層中的四層下樓有種。
∴ 共有種。
例23. 用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，
(1)可組成多少個不同的四位數?
(2)可組成多少個不同的四位偶數?
(3)可組成多少個能被3整除的四位數?
(4)將(1)中的四位數按從小到大的順序排成一數列，問第85項是什麼?
分析：（1）有個。
（2）分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。
∴ 共+種。
（3）先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來，即先選
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它們排列出來的數一定可以被3整除，再排列，有：4×()+=96種。
（4）首位為1的有=60個。
前兩位為20的有=12個。
前兩位為21的有=12個。
因而第85項是前兩位為23的最小數，即為2301。
7．分組問題
例24. 6本不同的書
(1) 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？
(4) 甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法?
(5) 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法?
分析：（1）有中。
（2）即在（1）的基礎上除去順序，有種。
（3）有種。由於這是不平均分組，因而不包含順序。
（4）有種。同（3），原因是甲，乙，丙持有量確定。
（5）有種。
例25. 6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為_______。
分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。
第一類：平均分成3人一組，有種方法。
第二類：分成2人，4人各一組，有種方法。
（二）再考慮分別上兩輛不同的車。
綜合（一）（二），有種。
例26. 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有________種.
分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。
其中涉及到平均分成四組，有=種分組方法。
（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有種，
由（一）（二）可知，共=240種。
⑵ 做數學中排列和組合的計數問題有什麼技巧可以抓的
1．排列、排列數的定義，排列數的兩個計算公式；
2．常見的排隊的三種題型：
⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置——優限法；
⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）——捆綁法；
⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）——插空法．
3．分類、分布思想的應用．
二、新授：
示例一：從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？
解法一：（從特殊位置考慮）
解法二：（從特殊元素考慮）若選： 若不選：
則共有 ＋ ＝136080
解法三：（間接法） 136080
示例二：
⑴ 八個人排成前後兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在後排，
則共有多少種不同的排法？
略解：甲、乙排在前排 ；丙排在後排 ；其餘進行全排列 ．
所以一共有 ＝5760種方法．
⑵ 不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a, b兩種商品必須排在一起，而c, d兩種商品不排在一起, 則不同的排法共有多少種？
略解：（「捆綁法」和「插空法」的綜合應用）a, b捆在一起與e進行排列有 ；
此時留下三個空，將c, d兩種商品排進去一共有 ；最後將a, b「松綁」有 ．所以一共有 ＝24種方法．
☆⑶ 6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學生，若要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？
略解：（分類）若第一個為老師則有 ；若第一個為學生則有
所以一共有2 ＝72種方法．
示例三：
⑴ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的正整數？
略解：
⑵ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字，並且比13 000大的正整數？
解法一：分成兩類，一類是首位為1時，十位必須大於等於3有 種方法；另一類是首位不為1，有 種方法．所以一共有 個數比13 000大．
解法二：（排除法）比13 000小的正整數有 個，所以比13 000大的正整數有 ＝114個．
示例四： 用1，3，6，7，8，9組成無重復數字的四位數，由小到大排列．
⑴ 第114個數是多少？ ⑵ 3 796是第幾個數？
解：⑴ 因為千位數是1的四位數一共有 個，所以第114個數的千位數應該是「3」，十位數字是「1」即「31」開頭的四位數有 個；同理，以「36」、「37」、「38」開頭的數也分別有12個，所以第114個數的前兩位數必然是「39」,而「3 968」排在第6個位置上，所以「3 968」 是第114個數．
⑵ 由上可知「37」開頭的數的前面有60＋12＋12＝84個，而3 796在「37」開頭的四位數中排在第11個（倒數第二個），故3 796是第95個數．
示例五： 用0，1，2，3，4，5組成無重復數字的四位數，其中
⑴ 能被25整除的數有多少個？
⑵ 十位數字比個位數字大的有多少個？
解： ⑴ 能被25整除的四位數的末兩位只能為25，50兩種，末尾為50的四位數有 個，末尾為25的有 個，所以一共有 ＋ ＝21個．
註： 能被25整除的四位數的末兩位只能為25，50，75，00四種情況．
⑵ 用0，1，2，3，4，5組成無重復數字的四位數，一共有 個．因為在這300個數中，十位數字與個位數字的大小關系是「等可能的」，所以十位數字比個位數字大的有 個．
三、小結：能夠根據題意選擇適當的排列方法，同時注意考慮問題的全面性，此外能夠藉助一題多解檢驗答案的正確性．
四、作業：「3＋X」之 排列 練習
組 合
課題：組合、組合數的綜合應用⑵
目的：對排列組合知識有一個系統的了解，掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題．
過程：
一、知識復習：
1．兩個基本原理；
2．排列和組合的有關概念及相關性質．
二、例題評講：
例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：
⑴ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
⑵ 分為三份，每份兩本；
⑶ 分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
⑷ 分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；
⑸ 分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解：⑴ 根據分步計數原理得到： 種．
⑵ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有 種方法．根據分步計數原理可得： ，所以 ．因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．
註：本題是分組中的「均勻分組」問題．
⑶ 這是「不均勻分組」問題，一共有 種方法．
⑷ 在⑶的基礎上在進行全排列，所以一共有 種方法．
⑸ 可以分為三類情況：①「2、2、2型」即⑴中的分配情況，有 種方法；②「1、2、3型」即⑷中的分配情況，有 種方法；③「1、1、4型」，有 種方法．所以一共有90+360+90＝540種方法．
例2．身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？
解：（插空法）現將其餘4個同學進行全排列一共有 種方法，再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中（但無需要進行排列）有 種方法．根據分步計數原理，一共有 ＝240種方法．
例3．⑴ 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？
⑵ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？
解：⑴ 根據分步計數原理：一共有 種方法．
⑵（捆綁法）第一步從四個不同的小球中任取兩個「捆綁」在一起看成一個元素有 種方法，第二步從四個不同的盒取其中的三個將球放入有 種方法．所以一共有 ＝144種方法．
例4．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法？
解：（插空法）本題等價於在7隻亮著的路燈之間的6個空檔中插入3隻熄掉的燈，故所求方法總數為 種方法．
例5．九張卡片分別寫著數字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數？
解：可以分為兩類情況：① 若取出6，則有 種方法；②若不取6，則有 種方法．根據分類計數原理，一共有 + ＝602種方法．
⑶ 高中數學排列組合常用解題方法
高中數學排列組合的各類經典解題技巧詳解:
1、方法一：插空法；
2、方法二、捆綁法；
3、方法三、轉化法；
4、方法四、剩餘法；
5、方法五、對等法；
6、方法六、排除法等各類經典快速解法
⑷ 排列組合情況數方法數結果數
考點： 計數原理的應用 專題： 排列組合 分析： 本題是一個分類計數問題，四名學生中有兩名學生分在一個班的種數，有三個學生分在一個班的種數，兩類情況，根據分類計數原理即可得到結果 由題意知本題是一個分類計數問題，∵每個班至少分到一名學生，四名學生中有兩名學生分在一個班的種數是C24=6，有三個學生分在一個班有C34?A22=8種結果，∴不同的分配方法數為6+8=14種結果．故選：C． 點評： 本題考查排列組合的實際應用，考查利用排列組合解決實際問題，是一個基礎題，這種題目是排列組合中經常出現的一個問題．
⑸ 高中數學排列組合解題技巧
排列組合解題技巧12法 首先，談談排列組合綜合問題的一般解題規律: 1）使用「分類計數原理」還是「分步計數原理」要根據我們完成某件事時採取的方式而定，可以分類來完成這件事時用「分類計數原理」，需要分步來完成這件事時就用「分步計數原理」；那麼，怎樣確定是分類，還是分步驟？「分類」表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件，而「分步」必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以准確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不幹擾，相互獨立，彼此間交集為空集，並集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨完成，分步計數原理強調各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什麼方法不影響後面的步驟採用的方法。 2）排列與組合定義相近，它們的區別在於是否與順序有關。 3）復雜的排列問題常常通過試驗、畫 「樹圖 」、「框圖」等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由於結果的正確性難於檢驗，因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。 4）按元素的性質進行分類，按事件發生的連續性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法，要注意「至少、至多」等限制詞的意義。 5）處理排列、組合綜合問題，一般思想是先選元素（組合），後排列，按元素的性質進行「分類」和按事件的過程「分步」，始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法，通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能，保證每步獨立，達到分類標准明確，分步層次清楚，不重不漏。 6）在解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練地對問題進行分類，牢記排列數與組合數公式與組合數性質，容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。 總之，解決排列組合問題的基本規律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。 其次，我們在抓住問題的本質特徵和規律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。 一．特殊元素（位置）的「優先安排法」：對於特殊元素（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。 例1、 用0，2，3，4，5，五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有（ ）。 A． 24個 B.30個 C.40個 D.60個 [分析]由於該三位數為偶數，故末尾數字必為偶數，又因為0不能排首位，故0就是其中的「特殊」元素，應該優先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時，有A42個，2）0不排在末尾時，則有C21 A31A31個，由分數計數原理，共有偶數A42 + C21 A31A31=30個，選B。 二．總體淘汰法：對於含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個數字組成三位數的全排列有A53個，排好後發現0不能排首位，而且數字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30個偶數。 三．合理分類與准確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，做到分類標准明確，分步層次清楚，不重不漏。 四．相鄰問題用捆綁法：在解決對於某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰的元素「捆綁」起來，看作一「大」元素與其餘元素排列，然後再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法． 例2、有8本不同的書；其中數學書3本，外語書2本，其它學科書3本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種．(結果用數值表示) 解：把3本數學書「捆綁」在一起看成一本大書，2本外語書也「捆綁」在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個元素，共有A55種排法；又3本數學書有A33種排法，2本外語書有A22種排法；根據分步計數原理共有排法A55 A33 A22=1440(種). 註：運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意「捆綁」起來的大元素內部的順序問題． 五．不相鄰問題用「插空法」：不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開．解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法． 例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數共有( )個．(用數字作答) 解：由於要求1與2相鄰，2與4相鄰，可將1、2、4這三個數字捆綁在一起形成一個大元素，這個大元素的內部中間只能排2，兩邊排1和4，因此大元素內部共有A22種排法，再把5與6也捆綁成一個大元素，其內部也有A22種排法，與數字3共計三個元素，先將這三個元素排好，共有A33種排法，再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個，把要求不相鄰的數字7和8插入即可，共有A42種插法，所以符合條件的八位數共有A22 A22 A33 A42＝288(種)． 註：運用「插空法」解決不相鄰問題時，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置． 六．順序固定用「除法」：對於某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然後用總的排列數除於這幾個元素的全排列數。 例4、6個人排隊，甲、乙、丙三人按「甲---乙---丙」順序排的排隊方法有多少種？ 分析：不考慮附加條件，排隊方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種) 例5、4個男生和3個女生，高矮不相等，現在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。 解：先在7個位置中任取4個給男生，有A74 種排法，餘下的3個位置給女生，只有一種排法，故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種) 七．分排問題用「直排法」：把幾個元素排成若干排的問題，可採用統一排成一排的排法來處理。 例6、7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有多少種？ 分析：7個人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件,故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有A77種。 八．逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規律。 例7.將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的方格中，每方格填1個，方格標號與所填數字均不相同的填法種數有（） A．6 B.9 C.11 D.23 解：第一方格內可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內填1，則後兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，後兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B 九、構造模型 「隔板法」： 對於較復雜的排列問題，可通過設計另一情景，構造一個隔板模型來解決問題。 例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數解？ 分析：建立隔板模型：將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數目，對應為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數解的組數共有C113 . 又如方程a+b+c+d=12非負整數解的個數,可用此法解。 十.排除法：對於含「至多」或「至少」的排列組合問題，若直接解答多需進行復雜討論，可以考慮「總體去雜」，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符合條件的排列組合數的方法． 例9、從4台甲型和5台乙型電視機中任意取出3台，其中至少要甲型與乙型電視機各一台，則不同的取法共有( )種． A．140種 B．80種 C．70種 D．35種 解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意，因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種)，故選C． 註：這種方法適用於反面的情況明確且易於計算的習題． 十一．逐步探索法：對於情況復雜，不易發現其規律的問題需要認真分析，探索出其規律 例10、從1到100的自然數中，每次取出不同的兩個數，使它們的和大於100，則不同的取法種數有多少種。 解：兩個數相加中以較小的數為被加數，1+100>100，1為被加數時有1種，2為被加數有2種，…，49為被加數的有49種，50為被加數的有50種，但51為被加數有49種，52為被加數有48種，…，99為被捕加數的只有1種，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500種 十二．一一對應法： 例11.在100名選手之間進行單循環淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最後產生一名冠軍，要比賽幾場？ 解：要產生一名冠軍，要淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進行一場，故比賽99場。