簡單牛頓方法

1. 牛頓法解方程

如果尋找方程f(x)=0的零點t，假定f二階可導，那麼在t附近的點u有
0=f(t)=f(u)+f'(u)(t-u)+f''(x)(t-u)^2
略去二階小量得
f(u)+f'(u)(t-u)=0
於是
t=u-f(u)/f'(u)

但是實際上因為f不一定是線性的，不可以忽略略去二階小量的影響，所以上述過程就要迭代地進行
f(x_{n+1})=x_n-f(x_n)/f'(x_n)
並且這個迭代具有(局部)二次收斂性。

就寫這些，教材上一般都會有的，你自己去看看。

2. 牛頓的學習方法是什麽

牛頓的勤奮學習
一談到近代科學開創者牛頓，人們可能認為他小時候一定是個「神童」、「天才」、有著非凡的智力。其實不然，牛頓童年身體瘦弱，頭腦並不聰明。在家鄉讀書的時候，很不用功，在班裡的學習成績屬於次等。但他的興趣卻是廣泛的，游戲的本領也比一般兒童高。

牛頓愛好製作機械模型一類的玩藝兒，如風車、水車、日晷等等。他精心製作的一隻水鍾，計時較准確，得到了人們的贊許。有時，他玩的方法也很奇特。一天，他作了一盞燈籠掛在風箏尾巴上。當夜幕降臨時，點燃的燈籠借風箏上升的力升入空中。發光的燈籠在空中流動，人們大驚，以為是出現了彗星。盡管如此，因為他學習成績不好，還是經常受到歧視。

當時，封建社會的英國等級制度很嚴重，中小學里學習好的學生，可以歧視學習差的同學。有一次課間游戲，大家正玩得興高采烈的時候，一個學習好的學生借故踢了牛頓一腳，並罵他笨蛋。牛頓的心靈受到這種刺激，憤怒極了。他想，我倆都是學生，我為什麼受他的欺侮？我一定要超過他！從此，牛頓下定決心，發奮讀書。他早起晚睡，抓緊分秒、勤學勤思。 過刻苦鑽研，牛頓的學習成績不斷提高，不久就超過了曾欺侮過他的那個同學，名列班級前茅。

時間對人是一視同仁的，給人以同等的量，但人對時間的利用不同，而所得的知識也大不一樣。

牛頓十六歲時數學知識還很膚淺，對高深的數學知識甚至可以說是不懂。「知識在於積累，聰明來自學習」。牛頓下決心靠自己的努力攀上數學的高峰。在基礎差的不利條件下，牛頓能正確認識自己，知難而進。他從基礎知識、基本公式重新學起，扎扎實實、步步推進。他研究完了歐幾里德幾何學後，又研究笛卡兒幾何學，對比之下覺得歐幾里德幾何學膚淺，便悉心鑽研笛氏幾何學，直到掌握要領、融會貫通。遂之發明了代數二項式定理。傳說中牛頓「大暴風中算風力」的佳話，可為牛頓身體力學的佐證。有一天，天刮著大風暴。風撒野地呼號著，塵土飛揚，迷迷漫漫，使人難以睜眼。牛頓認為這是個准確地研究和計算風力的好機會。於是，便拿著用具，獨自在暴風中來回奔走。他踉踉蹌蹌、吃力地測量著。幾次沙塵迷了眼睛，幾次風吹走了算紙，幾次風使他不得不暫停工作，但都沒有動搖他求知的慾望。他一遍又一遍，終於求得了正確的數據。他快樂極了，急忙跑回家去，繼續進行研究。

有志者事竟成。經過勤奮學習，牛頓為自己的科學高塔打下了深厚的基礎。不久，牛頓的數學高塔就建成了，二十二歲時發明了微分學，二十三歲時發明了積分學，為人類科學事業作出了巨大貢獻。

牛頓是個十分謙虛的人，從不自高自大。曾經有人問牛頓：「你獲得成功的秘訣是什麼？」牛頓回答說：「假如我有一點微小成就的話，沒有其它秘訣，唯有勤奮而已。」

少年牛頓

1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮沃爾索浦的一個自耕農家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學巨人，並且竟活到了85歲的高齡。

牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養。11歲時，母親的後夫去世，母親帶著和後夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自它的家庭處境。

大約從五歲開始，牛頓被送到公立學校讀書。少年時的牛頓並不是神童，他資質平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型製作方法的讀物，並從中受到啟發，自己動手製作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鍾、折疊式提燈等等。

傳說小牛頓把風車的機械原理摸透後，自己製造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然後在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，於是輪子不停的轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還製造了一個小水鍾。每天早晨，小水鍾會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家裡牆角、窗檯上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。

牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意於此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經寄宿在一位葯劑師家裡，使他受到了化學試驗的熏陶。

牛頓在中學時代學習成績並不出眾，只是愛好讀書，對自然現象由好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發明、小試驗。

當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家裡有兩位都以神父為職業的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異於常人的兒童。

後來迫於生活，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了幹活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢後看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鑽研一個數學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，於是舅父勸服了母親讓牛頓復學，並鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如飢似渴地汲取著書本上的營養。有一次，他去郊外遊玩，之後靠在一棵蘋果樹下休息，忽然，一個蘋果從樹上掉下來。他覺得很奇怪，為什麼蘋果會從上往下掉而不是從下往上掉？他帶著這個疑問回到了家裡研究，後來他發現原來地球是有引力的能把物體吸住。隨後，就出現了《牛頓物理引力學》。

3. 牛頓法的運算方法

這里將簡單介紹一下牛頓二階導數法。對其幾何意義及收斂性不作詳細的敘述，讀者可仿照牛頓法進行討論。
將f(x)在 處展開泰勒級數f(x)=f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) +…
取右端前三項近似代替f(x)，於是得f(x)=0的近似方程為
f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0
也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3)
設其解為 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括弧內 - ,則得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0
於是解出 ，得 = -
重復以上過程得： = -
於是得牛頓二階導數法的迭代公式為：
= - n=0,1,2,… (4)
上式與牛頓法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收斂更快，迭代次數更少。其缺點是要求f(x)的二階導數存在。 這是一個由開方公式引出的：
X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k (5)（n,n+1表示下角標）
開立方公式：
當（5）式中的K=3時就是開立方公式。
設A = X^3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標準的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3(n，n+1是下角標）
例如，A=5，,即求
5介於1的3次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值
偏小，輸出值自動轉大。即5=1.7099^3;
當然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
如果用這個公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即
X（n + 1） = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2 （n，n+1是下角標）
例如，A=5：
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關系，輸出值會自動調節，接近准確值。
詳見網路文庫《開立方公式》《從二項式定理開方到切線法》。 方程f(x)=0的根就是曲線y=f(x)與x軸交點的橫坐標x*，當初始近似值x0選取後，過( x0,f(x0))作切線，其切線方程為：y- f(x0)=f′(x0)(x-x0)
它與x軸交點的橫坐標為x
一般地，設 是x*的第n次近似值，過( x,f(x))作y=f(x)的切線，其切線與x軸交點的橫坐標為：x = - 即用切線與x軸交點的橫坐標近似代
曲線與x軸交點的橫坐標，如圖2-4。
2-4
牛頓法正因為有此明顯的幾何意義，所以也叫切線法。

4. 牛頓的思想方法

有學物理的天賦,熱愛物理,然後努力

5. 請簡單概述牛頓-萊布尼茨公式（用通俗易懂的方法）

最簡單的方法就是類比，隨意構造一個函數y=f（x），我們認為這是某個物體沿直線運動的速度表達式，既然我們知道速度其實就是位移的導數，從而我們就會認為，既然知道了物體的速度表達式，不就等於知道了位移的表達式嗎，所以我們會找出他的原函數，從而求兩個積分點的函數差

6. 牛頓二項式定理的 簡便快速記憶方法是

對於n次二項式其展開式中:
一.項數等於n+1
二.系數等於從n個中取0個到取n個的組合數
三.變數指數一個遞增,一個遞減,指數和是n

7. 牛頓的三種不同方法

摘要 牛頓第一定律是慣性定律

8. 牛頓的故事（簡短）

牛頓與蘋果的故事
長期以來,牛頓認為,一定有一種神秘的力存在,是這種無形的力拉著太陽系中的行星圍繞太陽旋轉.但是,這到底是怎樣的一種力呢
直到有一天,當牛頓在花園的蘋果樹下思索,一個蘋果落到他的腳邊時,牛頓終於獲得了頓悟,他的問題也逐漸被解決了.
傳說1665年秋季,牛頓坐在自家院中的蘋果樹下苦思著行星繞日運動的原因.這時,一隻蘋果恰巧落下來,它落在牛頓的腳邊.這是一個發現的瞬間,這次蘋果下落與以往無數次蘋果下落不同,國為它引起了牛頓的注意.牛頓從蘋果落地這一理所當然的現象中找到了蘋果下落的原因——引力的作用,這種來自地球的無形的力拉著蘋果下落,正像地球拉著月球,使月球圍繞地球運動一樣.
這個故事據說是由牛頓的外甥女巴爾頓夫人告訴法國哲學家,作家伏爾泰之後流傳起來的.伏爾泰將它寫入《牛頓哲學原理》一書中.牛頓家鄉的這棵蘋果樹後來被移植到劍橋大學中.
牛頓去世後,他被當作發現宇宙規律的英雄人物繼而被賦予傳奇色彩,牛頓與蘋果的故事更是廣為流傳.但是事實是否如此卻無從找到其他史料加以考證.

9. 簡單迭代法與牛頓迭代法的比較

簡單迭代法的步驟是如下：
（1）先對某一網格點設一初值，這個初值完全可以任意給定，稱為初值電位。雖然，問題的最終結果與初值無關，但初值選擇估計得當，則計算步驟會得到簡化。（當利用計算機來實現迭代計算時，為了簡化程序初值電位一般可取為零值）。

（2）初值電位給定後，按一個固定順序（點的順序是從左到右，從下到上）依次計算每點的電位，即利用（2.19）式，用圍繞它的四個點的電位的平均值作為它的新值，當所有的點計算完後，用它們的新值代替舊值，即完成了一次迭代。然後再進行下一次迭代，直到每一點計算的新值和舊值之差小於指定的范圍為止。

簡單迭代法的特點是用前一次迭代得到的網路點電位作為下一次迭代時的初值。
牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機編程中。

10. 牛頓在科學方法上的特點

牛頓在科學方法上的特點：
1、重視數學的應用。
在科學研究方法上，伽利略首先走上以採用精確的數學分析和總結實驗數據為特點的物理學研究道路。到了牛頓，則第一個大量地運用數學方法來系統地整理物理理論。這是因為，事物之間的本質聯系只有通過數學方能歸納為可進一步測量、應用和檢驗的公式或定律。牛頓的巨大數學才能幫助他解決了旁人解不開的難題。他把上述一些基本的概念定量化為嚴格的物理量，並且創造出新的數學工具來研究變數和瞬時關系，簡化復雜的計算。沒有這種才能，就不可能建立運動三定律和萬有引力定律。他的(自然哲學的數學原理)，為以後各種物理學理論體系的建立樹立了一個典範。
2、重視實驗，從歸納入手。
這是牛頓科學方法論的基礎。在《原理》第三編的開頭，牛頓寫下了「哲學中的推理法則」。其內容為：
（1）除那些真實而已足夠說明其現象者外，不必去尋求自然界事物的其他原因；
（2）自然界不作無用之事，只要少做一點就成了，多做了卻是無用：因為自然界喜歡簡單化，而不愛用什麼多餘的原因以誇耀自己，對於自然界中同一類結果，必須盡可能歸之於同一種原因；
（3）物體的屬性，凡既不能增強也不能減弱者，又為我們實驗所能及的范圍內的一切物體所具有者，就應視為所有物體的普遍屬性；
（4）物體的屬性只有通過實驗才能為我們所了解……在實驗哲學中，我們必須把那些從各種現象中運用一般歸納而導出的命題看做是完全正確的，或者是非常接近干正確的。
這些推理法則中，第（1）條是「簡單性原則」，第（2）、（3）條是「統一性原則」，第（4）條表明牛頓對於在觀察、實驗的基礎上通過歸納而得出自然規律的這一方法的信念。表明他把觀察和實驗作為科學研究工作的出發點，把歸納法作為求得自然規律的基本揄方法，反對空想和虛偽。歸納是否成功，不僅需要大量的可靠資料與廣博的知識（這對科學家來說並不特別困難），而且具有清晰的邏輯頭腦，這里首先要善於從眾多的思考對象中挑選出幾個最基本的要素，形成深刻反映事物本質的概念，才能以此為基石找出事物之間的各種聯系並導出結論。
3、認為客觀世界是物質的、統一的、相互聯系的。
4、牛頓在科研中堅持實驗方法，反對空想和虛構。
此外，他勤奮刻苦的學習精神，勤於思索，耐心試驗，年復一年堅持不懈地把自己的精力集中於系統地解決某一問題的毅力等等品質，也成了牛頓取得偉大成就的內在因素。