芝諾龜微積分解決方法

『壹』 急:關於:芝諾悖論—阿基里斯追不上烏龜的問題.

邏輯問題
「阿基里斯追不上烏龜」是古希臘的一個哲學故事。阿基里斯是當時的一個善於長跑的人。阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基里斯開始追趕烏龜的時候，烏龜在阿基里斯的前面，假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基里斯可以追上烏龜。設所需要的時間為x，那麼ax=bx+c, x=c/(a-b).由於a b c都是常數，x當然可以求得一個解。當然如果a b 的差如果很小，那麼解可以趨於無窮大。

但是在這個哲學故事裡面和這個問題卻毫無關系，在這個故事裡面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。

但是當我們引入無限分割的問題時，馬上出現了變化。

如果我們故意這樣思考：阿基里斯在追趕烏龜的過程中，或者追上烏龜之前，必須先走完烏龜當前已經超過他的距離。（這不是假設，而是確實應該的事情。但是這種思維方式卻是假定的，你可以用這樣的思維方式，也可以不用。一旦用了這樣的思維方式，就會使思維過程沒有完結，從而使得阿基里斯追不上烏龜。）按照這種思維方式，當阿基里斯走完烏龜超過他的距離後，烏龜在這段時間里也前進了一段距離，雖然愈來愈小。每次這樣的思維，結果都是一樣的，在這個過程中，邏輯並沒有犯錯。我們可以把這樣的思考無限循環下去，而且烏龜繼續前進的距離永遠不會是零，雖然趨向無窮小，那麼可以用形式邏輯的方法，推出這樣的結論：阿基里斯永遠追不上烏龜。

以上的問題怎麼解決呢？
或許可以用微積分的方法。阿基里斯追不上烏龜的故事中，實際涉及到：對有限空間在有限時間內以無限速度作無限分割。這個分割實際就是無窮小，我們完全可以規定這個無窮小等於0，因此只要出現無窮小的現象或情況，我們就可以認為0要出現，事物的變化就有確定性。
或許我們和古人的區別在於，我們認為無窮小是0，而古人認為無窮小是永遠不能等於0。古人他們太認真了，他們會想，無窮小僅僅是無窮小，怎麼會是0呢，相反它永遠也不會是0。實際上無窮小是一個完整的概念，一旦把它有限化，那麼它就不是零了。要找到0與非0之間的界限，實際上還是用有限的方式，去思維無限的對象，或者把有限的事物予以無限化。

『貳』 如何用微積分解釋芝諾悖論

用微積分解釋芝諾悖論：利用極限的定義來規定無窮小為何物即可解決芝諾悖論。

芝諾悖論不是數學上的問題。它們就是在討論運動是什麼（或是怎麼產生的），還有世界是離散的還是連續的問題，所以不用微積分也能討論， 但解釋就不好說了，畢竟現在也沒有定論。

悖論學說

這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：「阿基里斯跑不過烏龜」和「飛矢不動」。

『叄』 芝諾悖論是怎樣解決的啊

譬如說，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m。實際情況為阿基里斯必然會在100/9秒之後追上烏龜。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無限細分，給一種好像永遠也過不完的印象。但其實根本不是如此。

這就類似於有1秒時間，先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去永遠都過不完這1秒，因為無論時間再短也可無限細分。盡管看上去要過1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠無窮無盡。

但其實時間的流動是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時間越來越短，看上去無窮無盡，其實加起來只是個常數而已，也就是1秒。所以說，芝諾的悖論是不存在的。

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設烏龜先前所走過的所有的點屬於集合B，烏龜現在所在的點標志為b，烏龜所走過的所有的點是集合A，A由集合B中所有的點加上b點構成。只要是烏龜先前所在的點，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的點。

如果阿基里斯走過了集合B中所有的點，阿基里斯與b點的距離就已經是0（如果不是0，則應該在阿基里斯與b點之間還會存在著一個點，但這個點並不存在），也就是說，阿基里斯已經追上了烏龜。

而按照悖論所設定的條件，阿基里斯可以走到烏龜先前所走過的所有的點。因而阿基里斯追到了烏龜。但在上面的分析中發現了一個有趣的矛盾，這就是b既屬於B又不屬於B，也就是說，b既是現在又是先前。而且這是阿基里斯得以追上烏龜的前提和條件。

此悖論假設阿基里斯永遠只能到達龜前一個時間段到達的地方，即追上的前一個時間段，此時條件未發生變化，並先承認此時間段兩者間仍有差異，然後用不同的時間段進行重復換算，假設條件仍未變化。而在此時間段的下一個口徑相同的時間段里，阿基米斯就會追上。

相反觀點：這證明是錯誤的。因為證明假設了阿基里斯可以走一個點，在事實上迴避了悖論中無法找第1點問題實質。故此證明和悖論無關，只是把小學應用題用集合論復述了一遍。

『肆』 用微積分知識解答 阿基里斯追不上烏龜 我是文科生，求大神幫忙 不要粘貼網上的理論，一步一步解答

無法直接打公式出來，但是以下這個解釋，解釋的很清楚，如果非得套用極限公式，自己直接帶入也可以

這個悖論在數學上有一個錯誤的前提假設：誤以為無限個數（有限數）相加一定是無限。
首先，每追一次烏龜，所需的路程會越來越少。其次，這個過程會重復無數次，也就是說共有無數條這樣的路程。
我們想問的是：無限次的這些路程之和等於多少？是正無窮嗎？
比如第一次追烏龜走了1m，第二次走了二分之一米，第三次四分之一米……………………
那麼總路程1+0.5+0.25+0.125…………等於幾？
如果等於無窮，說明追不上烏龜的情況可以從0m一直維持到正無窮遠，換句話說，永遠追不上烏龜，即悖論成立。
如果等於一個有限數，即等於x，就說明追不上烏龜的情況只能維持到距離起點x米的地方。換句話說，不但能追上，而且會在x米處相遇並超過烏龜。
無窮個數有可能是有限數嗎？我們知道數學中無窮級數求和就是回答這個問題，一旦級數收斂結果必然是有限數。
簡單來說，追龜的模型中，可以證明所有路程和一定是有限數，也就是說肯定能追上。

作者：漢唐天
鏈接：http://www.hu.com/question/51195954/answer/124909672
來源：知乎

『伍』 通俗解釋芝諾烏龜的錯誤

「阿基里斯追不上烏龜」是古希臘的一個哲學故事。阿基里斯是當時的一個善於長跑的人。阿基里斯當然能夠追上烏龜，用方程可以來解決。假設阿基里斯的速度為a，烏龜的速度為b，阿基里斯開始追趕烏龜的時候，烏龜在阿基里斯的前面；

假設這段距離為c，請問需要多少時間阿基里斯可以追上烏龜。設所需要的時間為x，那麼ax=bx+c, x=c/(a-b).由於a b c都是常數，x當然可以求得一個解。當然如果a b 的差如果很小，那麼解可以趨於無窮大。

但是在這個哲學故事裡面和這個問題卻毫無關系，在這個故事裡面說阿基里斯追不上烏龜是說，不論阿基里斯比烏龜跑得有多快，他都追不上。

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芝諾悖論中既承認廣延，又強調無廣延的點，這個悖論實際上是反映時空並不是無限可分的,運動也不是連續的。換句話說，空間的無限分割性，並不意味著有一個無限的時間與之對應。

芝諾提出這些悖論是為了支持他老師 巴門尼德關於「存在」不動、是一的學說。這些方法可以用微積分的概念解釋，但還是無法用微積分解決，因為微積分原理存在的前提是存在 廣延（如，有廣延的 線段經過無限分割，還是由有廣延的線段組成，而不是由無廣延的點組成）。

『陸』 芝諾悖論「阿咯琉斯追龜辯」用微積分的思想可以解嗎怎麼解

老問題了。這個問題似乎與量子無關。

可以，不過不是微積分的思想，是極限的思想（因為微積分處理的是連續的問題，這里則是離散的）。
在數學上這就是個無窮級數的問題。

「阿喀琉斯追不上烏龜」的結論，論證前提是無窮段時間相加，或者無窮段路程相加，必定是達不到的。也就是說所謂芝諾悖論就是認為無窮個數相加應該是無窮大。
然而我們知道，無窮段時間相加可以是收斂的，也就是可以做到無窮個正數相加的結果仍然是有限數。幸運的是，在芝諾悖論中的情形就是如此：各段時間（或者路程）在這里成一個等比數列，它們的無窮和是收斂的。
關於等比級數的結果，早在古希臘時候就有了。在微積分創立後，則在數學分析的背景下有了更加形式化的表達。在十九世紀數學分析基礎嚴密化後，這樣的級數問題就可以說是「天衣無縫」了。

不過，再深入一點，或者說更本質一點，要徹底解決芝諾悖論，實際上還要首先承認「無窮」的存在。或者說，承認「無窮」是可以達到的。
這個無窮，不是畫一根直線，想像它要多長就可以延長多長，有些無限延長的「潛力」——這個叫「潛無窮」。這里必須要承認的，叫「實無窮」，即必須承認無窮作為一個整體的存在性。比如圓周率寫成十進制小數有無窮多位數，但這無窮多位數合在一起才表示一個完整的數。
承認實無窮是一個哲學命題，早在古希臘時候就有人討論了，如大名鼎鼎的歐幾里德就不承認實無窮的存在，只承認潛無窮。後世的人也不斷討論，這個問題在康托時基本得到完滿的解決，康托承認實無窮的存在，並給出了無窮的各種性質——這些事就發生在十九世紀末到二十世紀初。
需要指出的是，現代數學的框架是建立在承認實無窮的基礎之上的，沒有實無窮，我們甚至連實數也不能談。而這個問題現在應該說是沒有爭論了的，「阿喀琉斯追不上烏龜」是個錯誤的論斷，「芝諾悖論」已經消除。

『柒』 量子力學是如何解決芝諾悖論的

量子力學是如何解決芝諾悖論的
首先，我不贊同你的如下觀點——「如霍金一樣，把很深奧的量子力學原理，用很通俗的語言表述出來，讓基本上不懂量子力學的人也能讀得懂。」我可以負責任地跟你說，別說普通人弄不懂量子力學了，就是大科學家，也沒有真懂量子力學的。至少有以下三位量子力學權威的話可以為證：1）推出量子力學的正統詮釋的哥本哈根學派的領袖人物玻爾曾說：「如果誰沒被量子力學搞得頭暈，那他就一定是不理解量子力學。」2）千年才出一位的科學巨匠愛因斯坦說：「我思考量子力學的時間百倍於廣義相對論，但依然不明白。」3）提出了量子力學的第三種表述（路徑積分）的費曼說：「我們知道它如何計算，但不知道它為何要這樣去計算，但只有這樣去計算才能得出既有趣又有意義的結果。」

其次，我想提醒你注意芝諾在提出他的悖論時所默認的邏輯次序是與現代物理有所不同的：芝諾把時空概念置於邏輯起點，運動的概念是建立於時空概念之上的；但現代物理的邏輯卻有了微妙的變化。比如相對論中將光速置於本源的位置，時間間隔是由光鏡構成的自然鍾定義的，空間間隔是由光鍾與光速共同定義的。單從這一改變，就使得芝諾悖論不復存在了，因為在相對論看來，運動（尤其是光的恆定速度的真空運動）才是更根本的，整個邏輯次序被顛倒過來了！再比如量子力學中，雖未直接顛覆運動與時空的邏輯次序，但它至少將運動與時空置於同等地位！來看看量子力學的核心公式吧！ΔpΔx≥h/2π，ΔEΔt≥h/2π——h/2π是約化普朗克常數；Δ表示不確定度（測不準的程度）；動量p與能量E都含有速度的成分，即都與運動密切相關；x是空間坐標，t是時間坐標。兩個公式都是兩個量的乘積與一個普適常數的關系，既然是乘積，並且是滿足交換律的乘積，這就表明，空間與動量所含的運動處於同等的地位，時間與能量中所含的運動處於同等的地位！亦即，運動與時空在這個量子力學核心公式里沒有誰決定誰的問題，而是相互制約的關系——如果考察的時間極短，則相應的能量中所含的運動范圍就會極大；如果考察的空間極小，則相應的動量中所含的運動的范圍就會極大。你所說的「物體在某個很短的時間間隔內靜止」直接就與「ΔEΔt≥h/2π——如果考察的時間極短，則相應的能量中所含的運動范圍就會極大（所謂『運動范圍極大』是說物體的運動速度是在某個很大的數值到零之間不確定地迅速變化著）」矛盾！因此，你如果承認量子力學是對的，那你推理的邏輯起點就給它否定掉了，後面的一系列結論自然也都被一並否定了。

再次，說說最小時間段和最小空間段——普朗克時間與普朗克空間的問題：最小時空元的概念不是量子力學的直接結論，而是量子力學與廣義相對論結合所導致的一個重要推測。之所以普朗克時空最小，不是因為你說的「假設一個空間段是絕對不可分的」那樣是由於不可分才最小，而是因為到了那個時空尺度，時空極度扭曲，其拓撲結構千變萬化且瞬息萬變，使得時間的先後、空間的前後等一類基本的時空概念都失去了意義（更別說時空的度量了），亦即，再小就是混沌一片根本無法使用時空概念了！簡言之是因為到了失去時空本來意義的臨界點，所以普朗克時空才最小。

最後，我想強調一下量子運動與我們日常熟知的運動（也正是芝諾所描述的那種運動）是大相徑庭的：量子運動神秘莫測，粒子的速度與位置似乎都是可以大范圍地突變（在此意義上有超光速的問題），粒子時而在此、時而又突然出現在很遠的某處；時而慢如蝸牛、時而又快似閃電……量子運動恰如一大團迷霧，因此，像愛因斯坦那樣的眾多頂級的科學家都會被量子力學困擾一生！也因此，芝諾悖論在量子力學的框架內是沒有多少意義的，因為量子運動迥然不同於經典運動。下面引述的內容是我以前答題時的描述，如果你還想對量子運動是何等的奇異有更多一些的了解，不妨看看。

……
盡管日常語言無法精確地描述奇異的微觀世界，但我們所熟悉的語言還只有日常語言；微觀世界我們從未真正的體驗過，所以我們沒有微觀語言。目前最好的語言就是數學公式的推演了，而一切描述性的關於微觀圖像的說法都是似是而非的。但是既然我們不能很專業地只討論數學，那我們還是要使用一些形象化的日常語言盡力對微觀世界進行一些一鱗半爪式的描述。以下的描繪肯定不是精確的，但有一定的啟發性。
我通常是這樣來想像一個自由的、且近期尚未與別的粒子相互作用過的微觀粒子——它是一團雲霧和一個點粒子的統一體，這團雲霧的尺度大約就是該粒子的德布羅意波長的大小，點粒子在這團雲霧的范圍內（嚴格來說，它應遍布全空間，但超出這個雲霧范圍的幾率很小，暫時忽略不計）忽而出現在這里、忽而又在那裡冒出（某一片刻，粒子在此處向真空交出了它的全部能量從而「融化」到真空里；下一個片刻，另一處的真空又突然給出一些能量「重塑」了這個粒子），這種極快速的、隨機的在不同位置的「生生滅滅、進進出出」正表現出一團雲霧的樣子。
接下來看我特別選定的三種電子：1）熱電子——其動能等於室溫下電子的平均動能，其德布羅意波長約為6納米（10^-9m）；2）低能電子——其動能等於130幾伏特的電場中獲得的能量，其德布羅意波長約為1埃（10^-10m），這差不多正是一個氫原子的尺度；3）高能電子——其動能等於一萬五千億伏特（10^12V）的電場中獲得的能量，其德布羅意波長約為1費米（10^-15m），這差不多正是一個質子或中子的尺度。
再看這三種電子在原子以及原子核面前的表現：1）熱電子這團雲霧在尺度上比氫原子大近百倍，而橫截面積則大上千倍，它倆相遇有點兒像飛機穿過一大塊積雨雲，彼此幾乎都沒啥變化。當然還是有一點兩者產生相互作用的幾率（這種作用的細節與下述第二種情況類似）。2）低能電子這團雲霧的尺度與氫原子相當，它將產生不少與相互作用有關的後果，只有一點幾率是繞過原子就像第一情況那樣。學習過量子力學基礎內容的人都會記得一維條件下的入射平面波經過有限高有限寬的勢壘（或有限深有限寬的勢井）後部分反射部分透射（或陷入井中被約束）的情景，現在原子中的繞核電子對外來低能電子來說就有點像勢壘，而其中的原子核就象勢井，雖是三維情況，但大體仍是反射、透射及約束這三種情況。碰到原子後的電子雲霧變得復雜：它開始隨時間而不斷擴展，一部分向入射的反方向擴展，這對應著反射波，也就是對應著反彈回去的幾率；還有一部分「隧穿」過原子，即透射波；還有一小部分變成圍繞核的電子雲，對應著形成負離子的幾率；還有很小很小的一部分深入核中（詳見下述）。3）高能電子的那團雲霧相當集中，對原子繞過、反射、透射等的幾率都很小，它就像一根針，輕易即可刺破原子這個「大氣球」而深入核中甚至質子或中子之中。電子與核子的相互作用基本上仍是電磁的，不必考慮強相互作用，因為電子根本就不帶色荷。質子帶正電，對電子就相當於勢井。中子雖不帶電，但它有磁矩，可相當於微弱的勢井或勢壘。誇克有帶電，也相當於勢井或勢壘。它們對電子都會出產生反射透射等的影響。這么高能的電子還可通過弱作用（弱電統一的能標已基本達到）創造一系列正反誇克對（它們形成新粒子）導致更復雜的局面（我也不清楚，就不能繼續說了）……

『捌』 怎樣破解芝諾悖論

時空是否可以無限分割芝諾悖論的關鍵是使用了兩種不同的時間測度。原來，我們用來測量時間的任何一種「鍾」都是依靠一種周期性的過程作標準的。如太陽每天的東升西落，月亮的圓缺變化，一年四季的推移，鍾擺的運動等等。人們正是利用它們循環或重復的次數作為時間的測量標準的。 芝諾悖論中除了普通的鍾以外，還有另一種很特別的「鍾」，就是用阿基里斯每次到達上次烏龜到達的位置作為一個循環。

用這種重復性過程測得的時間稱為「芝諾時」。例如，當阿基里斯在第n次到達烏龜在第n次的起始點時，芝諾時記為n，這樣，在芝諾時為有限的時刻,阿基里斯總是落在烏龜後面。但是在我們的鍾表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分鍾，那麼他跑完BC只要6秒鍾，跑完CD只需 0.6秒，實際上，他只需要1 1/9分鍾就可以追上烏龜了。

因此，芝諾悖論的產生原因，是在於「芝諾時」不可能度量阿基里斯追上烏龜後的現象。在芝諾時達到無限後，正常計時仍可以進行，只不過芝諾的「鍾」已經無法度量它們了。 這個悖論實際上是反映時空並不是無限可分的，運動也不是連續的。

『玖』 微積分有沒有解決芝諾悖論

芝諾悖論不是數學上的問題。
我的理解它們就是在討論運動是什麼（或是怎麼產生的），還有世界是離散的還是連續的問題。
所以不用微積分也能討論， 但解釋就不好說了，畢竟現在也沒有定論