㈠ 高中三角函數題目解法
三角函數最值問題類型歸納 三角函數的最值問題是三角函數基礎知識的綜合應用，近幾年的高考題中經常出現。其出現的形式，或者是在小題中單純地考察三角函數的值域問題；或者是隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一；或者在解決某一問題時，應用三角函數有界性會使問題更易於解決（比如參數方程）。題目給出的三角關系式往往比較復雜，進行化簡後，再進行歸納，主要有以下幾種類型。掌握這幾種類型後，幾乎所有的三角函數最值問題都可以解決。 1．y=asinx+bcosx型的函數 特點是含有正餘弦函數，並且是一次式。解決此類問題的指導思想是把正、餘弦函數轉化為只有一種三角函數。應用課本中現成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。例1．當-≤x≤時，函數f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化為f(x)=2sin(x+)，再根據x的范圍來解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數特點是含有sinx, cosx的二次式，處理方式是降冪，再化為型1的形式來解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，並求出y取最小值時的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+ 當sin(2x+)=-1時，y取最小值2-，此時x的集合。3．y=asin2x+bcosx+c型的函數 特點是含有sinx, cosx，並且其中一個是二次，處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函數式只含有一種三角函數，再應用換元法，轉化成二次函數來求解。 例3．求函數y=cos2x-2asinx-a（a為常數）的最大值M。 解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，令sinx=t，則y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a<-1時，即a>1時, 在t=-1時，取最大值M=a。(2) 若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，在t=-a時，取最大值M=a2+1-a。(3) 若-a>1，即a<-1時，在t=1時，取大值M=-3a。4．y=型的函數 特點是一個分式，分子、分母分別會有正、餘弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最後整理成這個形式，它的處理方式有多種。 例4．求函數y=的最大值和最小值。 解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ)=， ∵ |sin(x+φ)|≤1，∴≤1，解出y的范圍即可。 解法2：表示的是過點(2, 2)與點(cosx, sinx)的斜率，而點(cosx, sinx)是單位圓上的點，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。 解法3：應用萬能公式設t=tan()，則y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0，根據Δ≥0解出y的最值即可。 5．y=sinxcos2x型的函數。 它的凳備特點是關於sinx，cosx的三磨粗陵次式（cos2x是cosx的二次式）。因為高中數學不涉及三次函數的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。但需要注意是否符合應用的條件（既然題目讓你求，多半是符合使用條件的，但做題不能少這一步），及等號是否能取得。 例5．若x∈(0,π)，求函數y=(1+cosx)·sin的最大值。 解：y=2cos2·sin>0, y2=4cos4sin2=2·cos2·cos2·2sin2所以0<y≤。註：本題的角和函數很難統瞎戚一，並且還會出現次數太高的問題。 6．含有sinx與cosx的和與積型的函數式。 其特點是含有或經過化簡整理後出現sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 進行轉化，變成二次函數來求解
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