『壹』 求解數列題中常用的幾種方法
數列的求和
求數列的前n項和Sn，重點應掌握以下幾種方法：
1.倒序相加法：如果一個數列{an}，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.
2.錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應項乘積組成，此時求和可採用錯位相減法.
3.分組轉化法：把數列的每一項分成兩項，或把數列的項「集」在一塊重新組合，或把整個數列分成兩部分，使其轉化為等差或等比數列，這一求和方法稱為分組轉化法.
4.裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，於是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法.
5.公式法求和：所給數列的通項是關於n的多項式，此時求和可採用公式法求和，常用的公式有：
6.無窮遞縮等比數列求和公式：
考點練習
1.數列{an}的前n項和Sn=n2+1，則an= _____________.
2.已知{an}的前n項和Sn=n2-4n+1，則|a1|+|a2|+…|a10|=( )
(A)67 (B)65
(C)61 (D)56
3.一個項數是偶數的等比數列，它的偶數項的和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為( )
(A) 12 (B) 10
(C) 8 (D) 6
4.計算機是將信息轉換成二進制進行處理的，二進制即「逢2進1」，如(1101)2表示二進制數，將它轉換成十進制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那麼將二進制數(111…11)2位轉換成十進制形式是( )
(A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1
5.數列 的前n項之和為Sn，則Sn的值得等於( )
(A) (B)
(C) (D)
6、設 利用課本中等差數列前n項和公式的推導方法，求
f(–5)+f(–4)……+f(0)+……+f(5)+f(6)的值為__________．
典型題選講
1.求下列各數列前n項的和Sn：
(1) 1×4，2×5，3×6，…n(n+3);
(2)
(3)
【解題回顧】對類似數列(3)的求和問題，我們可以推廣到一般情況：設{an}是公差為d的等差數列，則有
特別地，以下等式都是①式的具體應用：
上述方法也稱為「升次裂項法」.
2.求數列a，2a2，3a3，…，nan，…(a為常數)的前n項的和.
【解題回顧】若一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積組成，則求此數列的前n項和多採用錯位相減法．
3.已知數列{an}中的a1=1/2，前n項和為Sn．若Sn=n2an，求Sn與an的表達式.
【解題回顧】
當本題解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要想到迭代法求Sn，(即選乘)，同樣如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差.
4．若數列{an}中，an=-2[n-(-1) n]，
求S10和S99 .
【解題回顧】若構成數列的項中含有(-1)n，則在求和Sn時，一般要考慮n是奇數還是偶數.
5．等比數列的首項為a，公比為q，Sn為前n項的和，求S1+S2+……+Sn．
6.在數列{an}中，an＞0， 2√Sn = an +1(n∈N)
①求Sn和an的表達式；
②求證：
【解題回顧】利用 ，再用裂項法求和.利用
此法求和時，要細心觀察相消的規律，保留哪些項等.必要時可適當地多寫一些項，防止漏項或增項.
誤解分析
1.求數列通項時，漏掉n=1時的驗證是致命錯誤.
2．求數列前n項和時，一定要數清項數，選好方法，否則易錯．
『貳』 解決數列的問題有幾種方法
首先向樓主問好
我們說一下關於解決數列問題的方法吧
1）重疊運演算法，包含疊加疊乘，然後消去相同的項
以疊加法為例
比如說a n +1=a n +1（後一項比前一向多1）
你就可以推出a n=a n-1 +1
a n-1=a n-2 +1
……
a2= a1 +1
把你推出的全部相加並消去相同的項得an=a1+n-1
知道a1就能求出通項公式了
2）錯位相減法，消去一堆相同的項
你比如說讓你求sn=2+4+8+……+2^n
你就可以把他除以二得1/2sn=1+2+4+……+2^n-1
這就錯位了
相減得1/2sn=2^n-1
那sn不就是2……2^n+1-2么
3）倒置相加法
你比如說讓你求sn=1+2+3+……+n
你就可以寫成sn=n+（n-1）+……+1
相加得2sn=n+1+n+1+n+1+……+n+1=n（n+1）
那sn不就是n（n+1）/2么
4）裂解重組法
你比如說讓你求sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2
你就可寫成sn=（1+2+3+……+n）+（2+3+……+n）+（3+……+n）+……+n
（注意這里出現了1個1,2個2,3個3……n個n，相加不正好等於原式么？）
然後逐一用等差數列公式求就好多了
ps提一句：sn=n（n+1）（2n+1）/6
5）
你遇到有些題時用一種方法不能達到效果，就要用許多方法
你如說讓你求
Tn=1*n+2*（n-1）+3*（n-2）+……+n*1
你光用其中一種方法肯定算不出來，所以你要學會看
看什麼呢？
就看如果加上sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2之後吧
原式就變成了Tn+sn=1*（n+1）+2*（n+1）+3*（n+1）+……+n*(n+1)
=n*（n+1）*（n+1）/2
sn是可求的Tn不就求出來了嗎？
啊數列的方法他不是定義出來的，是人們做了許多題以後總結出來的，告訴你是沒有用的。所以嘛你要多做題啊多做題，只有這樣才能熟練掌握方法，加油吧O(∩_∩)0