❶ 大學數學解題方法及步驟
導語：數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞．但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性．數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。下面就由我為大家帶來大學數學解題方法及步驟，大家一起去看看怎麼做吧！
一、配方法
配方法是對數學式子進行一種定向變形(配成"完全平方")的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，並且合理運用"裂項"與"添項"、"配"與"湊"的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為"湊配法"。
最常見的配方是進行恆等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。
二、換元法
解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標准型問題標准化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函數、數列、三角等問題中有廣泛的應用。
三、待定系數法
要確定變數間的函數關系，設出某些未知系數，然後根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恆等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對於一個任意的a值，都有f(a)g(a);或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。
待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。
使用待定系數法，它解題的基本步驟是：
第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式;
第二步，根據恆等的條件，列出一組含待定系數的方程;
第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。
如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：
①利用對應系數相等列方程;
②由恆等的概念用數值代入法列方程;
③利用定義本身的屬性列方程;
④利用幾何條件列方程。
比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數;再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組;最後解所得的方程或方程組求出未知的系數，並把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。
四、定義法
所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。
定義是千百次實踐後的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。
五、數學歸納法
歸納是一種有特殊事例導出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象後歸納得出結論來。
數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時成立，這是遞推的基礎;第二步是假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定"對任何自然數(或n≥n且n∈N)結論都正確"。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬於完全歸納。
運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。
運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恆等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。
六、參數法
參數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學對象發生聯系的新變數(參數)，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數方程都是用參數法解題的例證。換元法也是引入參數的典型例子。
辨證唯物論肯定了事物之間的聯系是無窮的，聯系的方式是豐富多採的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯系，從而發現事物的`變化規律。參數的作用就是刻畫事物的變化狀態，揭示變化因素之間的內在聯系。參數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用參數法解題已經比較普遍。
參數法解題的關鍵是恰到好處地引進參數，溝通已知和未知之間的內在聯系，利用參數提供的信息，順利地解答問題。
七、反證法
與前面所講的方法不同，反證法是屬於"間接證明法"一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而導出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質作過概括："若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾"。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，並把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。
反證法所依據的是邏輯思維規律中的"矛盾律"和"排中律"。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的"矛盾律";兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說"A或者非A"，這就是邏輯思維中的"排中律"。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據"矛盾律"，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以"否定的結論"必為假。再根據"排中律"，結論與"否定的結論"這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，於是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。
反證法的證題模式可以簡要的概括我為"否定→推理→否定"。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是"否定之否定"。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推導出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：
第一步，反設：作出與求證結論相反的假設;
第二步，歸謬：將反設作為條件，並由此通過一系列的正確推理導出矛盾;
第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
在應用反證法證題時，一定要用到"反設"進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那麼只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫"歸謬法";如果結論的方面情況有多種，那麼必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫"窮舉法"。
在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過："反證法是數學家最精當的武器之一"。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結論以"否定形式"、"至少"或"至多"、"唯一"、"無限"形式出現的命題;或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分乾脆。