高中點弦問題解決方法

⑴ 解析幾何，求解

高中數學解析幾何運算，很多同學突破不了，然而解析幾何的題對高考的佔比又很大。老師在這里總結一些解題技巧。
高中數學解析幾何解題方法我們先來分析一下解析幾何高考的命題趨勢：
(1)題型穩定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩定在三(或二)個選擇題，一個填空題，一個解答題上，占總分值的20%左右。
(2)整體平衡，重點突出：其中對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既留意全面，更留意突出重點，對支撐數學科知識體系的主幹知識，考查時保證較高的比例並保持必要深度。近幾年新教材高考對解析幾何內容的考查主要集中在如下幾個類型：
① 求曲線方程(類型確定、類型未定)；
②直線與圓錐曲線的交點題目(含切線題目)；
③與曲線有關的最(極)值題目；
④與曲線有關的幾何證實(對稱性或求猜沒陵對稱曲線、平行、垂直)；
⑤探求曲線方程中幾何量及參數間的數目特徵；
(3)能力立意，滲透數學思想：一些雖是常見的基本題型，但假如藉助於數形結合的思想，就能快速正確的得到答案。
(4)題型新奇，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處於壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大。加大與相關知識的聯系(如向量、函數、方程、不等式等)，凸現教材中研究性學習的能力要求。加大探索性題型的分量。
在近年高考中，對直線與圓內容的考查主要分兩部分：
(1)以選擇題題型考查本章的基本概念和性質，此類題一般難度不大，但每年必考，考查內容主要有以下幾類：
①與本章概念(傾斜角、斜率、夾角、間隔、平行與垂直、線性規劃等)有關的題目；
②對痴光目(包括關於點對稱，關於直線對稱)要熟記解法；
③與圓的位置有關的題目，其常規方法是研究圓心到直線的間隔.
以及其他「標准件」類型的基礎題。
(2)以解答題考查直線與圓錐曲線的位置關系，此類題綜合性比較強，難度也較大。
預計在今後一、二年內，高考對本章的考查會保持相對穩定，即在題型、題量、難度、重點考查內容等方面不會有太大的變化。
相比較而言，圓錐曲線內容是平面解析幾何的核心內容，因而是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2～3道客觀題和一道解答題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概念和性質，直線與圓錐的位置關系等，從近十年高考試題看大致有以下三類：
(1)考查圓錐曲線的概念與性質；
(2)求曲線方程和求軌跡；
(3)關於直線與圓及圓錐曲線的位置關系的題目.
選擇題主要以橢圓、雙曲線為考查對象，填空題以拋物線為考查對象，解答題以考查直線與圓錐曲線的位置關系為主，對於求曲線方程和求軌跡的題，高考一般不給出圖形，以考查學生的想像能力、分穗戚析題目的能力，從而體現解析幾何的基本思想和方法，圓一般不單獨考查，總是與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現.解析幾何的解答題一般為困難，近兩年都考查了解析幾何的基本方法——坐標法以及二次曲線性質的運用的命題趨向要引起我們的重視.
請同學們留意圓錐曲線的定義在解題中的應用，留意解析幾何所研究的題目背景平面幾何的一些性質.從近兩年的試題看，解析幾何題有前移的趨勢，這就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.參數方程是研究曲線的輔助工具.高考試題中，涉及較多的是參數方程與普通方程互化及等價變換的數學思想方法。
考查的重點要落在軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系，往往是通過直線與圓錐曲線方程的聯立、消元，藉助於韋達定理代人、向量搭橋建立等量關系。考查題型涉及的知識點察差題目有求曲線方程題目、參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、直線過定點題目、對痴光目等，所以我們要把握這些題目的基本解法。
命題特別留意對思維嚴密性的考查，解題時需要留意考慮以下幾個題目：
1、設曲線方程時看清焦點在哪條坐標軸上；留意方程待定形式及參數方程的使用。
2、直線的斜率存在與不存在、斜率為零，相交題目留意「D」的影響等。
3、命題結論給出的方式：搞清題目所給的幾個小題是並列關系還是遞進關系。假如前後小題各自有強化條件，則為並列關系，前面小題結論後面小題不能用；不過考題經常給出的是遞進關系，有(1)、第一問求曲線方程、第二問討論直線和圓錐曲線的位置關系，(2)第一問求離心率、第二問結合圓錐曲線性質求曲線方程，(3)探索型題目等。解題時要根據不同情況考慮施加不同的解答技巧。
4、題目條件如與向量知識結合，也要留意向量的給出形式：
(1)、直接反映圖形位置關系和性質的，如？=0，=( )，λ，以及過三角形「四心」的向量表達式等；
(2)、=λ：假如已知M的坐標，按向量展開；假如未知M的坐標，按定比分點公式代進表示M點坐標。
(3)、若題目條件由多個向量表達式給出，則考慮其圖形特徵(數形結合)。
5、考慮圓錐曲線的第一定義、第二定義的區別使用，留意圓錐曲線的性質的應用。
6、留意數形結合，特別留意圖形反映的平面幾何性質。
7、解析幾何題的另一個考查的重點就是學生的基本運算能力，所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。為此我們有必要在平常的解題變形的過程中，發現積累一些式子的常用變形技巧，如假分式的分離技巧，對痴規換的技巧，構造對稱式用韋達定理代進的技巧，構造均值不等式的變形技巧等，以便提升解題速度。
8、平面解析幾何與平面向量都具有數與形結合的特徵，所以這兩者多有結合，在它們的知識點交匯處命題，也是高考命題的一大亮點.直線與圓錐曲線的位置關系題目是常考常新、經久不衰的一個考查重點，另外，圓錐曲線中參數的取值范圍題目、最值題目、定值題目、對痴光目等綜合性題目也是高考的常考題型.解析幾何題一般來說計算量較大且有一定的技巧性，需要「精打細算」，近幾年解析幾何題目的難度有所降低，但還是一個綜合性較強的題目，對考生的意志品質和數學機智都是一種考驗，是高考試題中區分度較大的一個題目，有可能作為今年高考的一個壓軸題出現.
例1已知點A(-1，0)，B(1，-1)和拋物線.，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C於M、P，直線MB交拋物線C於另一點Q，如圖.
(1)若△POM的面積為，求向量與的夾角。
(2)試證實直線PQ恆過一個定點。
高考命題雖說千變萬化，但只要找出相應的一些規律，我們就大膽地猜想高考解答題命題的一些思路和趨勢，指導我們後面的溫習。對待高考，我們應該採取正確的態度，再大膽猜測的同時，更要注重基礎知識的進一步鞏固，多做一些簡單的綜合練習，進步自己的解題能力.
一、高考溫習建議：
本章內容是高考重點考查的內容，在每年的高考考試卷中占總分的15%左釉冬分值一直保持穩定，一般有2-3道客觀題和一道解答題。選擇題、填空題不僅重視基礎知識和基本方法，而且具有一定的靈活性與綜合性，難度以中檔題居多，解答題注重考生對基本方法，數學思想的理解、把握和靈活運用，綜合性強，難度較大，常作為把關題或壓軸題，其重點是直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線方程，關於圓錐曲線的最值題目。考查數形結合、等價轉換、分類討論、函數與方程、邏輯推理諸方面的能力，對思維能力、思維方法的要求較高。
近幾年，解析幾何考查的熱門有以下幾個
――求曲線方程或點的軌跡
――求參數的取值范圍
――求值域或最值
――直線與圓錐曲線的位置關系
以上幾個題目往往是相互交叉的，例如求軌跡方程時就要考慮參數的范圍，而參數范圍題目或者最值題目，又要結合直線與圓錐曲線關系進行。
總結近幾年的高考試題，溫習時應留意以下題目：
1、重點把握橢圓、雙曲線、拋物線的定義或性質
這是由於橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質是本章的基石，高考所考的題目都要涉及到這些內容，要善於多角度、多層次不斷鞏固強化三基，努力促進知識的深化、升華。
2、重視求曲線的方程或曲線的軌跡
曲線的方程或軌跡題目往往是高考解答題的命題對象，而且難度較大，所以要把握求曲線的方程或曲線的軌跡的一般方法：定義法、直接法、待定系數法、代進法(中間變數法)、相關點法等，還應留意與向量、三角等知知趣結合。
3、加強直線與圓錐曲線的位置關系題目的溫習
由於直線與圓錐曲線的位置關系一直為高考的熱門，這類題目常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直題目，因此分析題目時利用數形結合思想和設而不求法與弦長公式及韋達定理聯系往解決題目，這樣就加強了對數學各種能力的考查，其中著力抓好「運算關」，增強抽象運算與變形能力。解析幾何的解題思路輕易分析出來，往往由於運算不過關中途而廢，在學習過程中，應當通過解題，尋求公道運算方案，以及簡化運算的基本途徑和方法，親身經歷運算困難的發生與克服困難的完整過程，增強解決復雜題目的信心。
4、重視對數學思想、方法進行回納提煉，達到優化解題思路，簡化解題過程的目的。
用好方程思想。解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長題目利用韋達定理進行整體處理，就可簡化解題運算量。
用好函數思想，把握坐標法。
二、知識梳理
●求曲線方程或點的軌跡
求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題目之一，是高考中的一個熱門和重點，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學生的創新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、分析題目和解決題目的能力，而軌跡方程這一熱門，則能很好地反映學生在這些方面能力的把握程度。
下面先容幾種常用的方法
(1) 直接法：動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，我們只需把這種關系「翻譯」成含x、粉底液哪個牌子好y的等式就得到曲線軌跡方程。
(2) 定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據定義直接求出動點的軌跡方程。
(3) 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(如線段中垂線、角平分線性質等)，可以用幾何法，列出幾何式，再代進點的坐標較簡單。
(4) 相關點法(代進法)：有些題目中，某動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點(稱為相關點)而運動的，假如相關點所滿足的條件是明顯的，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，再把相關點代進其所滿足的方程，即可求得動點的軌跡方程。
(5) 參數法：有時求動點應滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關點，但卻較易發現這個動點的運動經常受到另一個變數(角度、斜率、比值、截距)等的制約，即動點坐標(x、y)中的x、y分別隨另一變數的變化而變化，我們可稱這個變數為參數，建立軌跡的參數方程，這種方法叫參數法。消往參數，即可得到軌跡普通方程。選定參變數要特別留意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。
(6) 交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡題目，這類題目常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標，再消往參數求出所求軌跡方程，該法經常與參數法並用。
●求參數范圍題目
在解析幾何題目中，常用到參數來刻劃點和曲線的運動和變化，對於參變數范圍的討論，則需要用到變與不變的相互轉化，需要用函數和變數往思考，因此要用函數和方程的思想作指導，利用已知變數的取值范圍以及方程的根的狀況求出參數的取值范圍。
例1、已知橢圓C： 試確定m的范圍，使得對於直線l： y = 4x+m 橢圓上有不同的兩點關於直線 l 對稱。
例2、已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A(1，0)，點P、Q在雙曲線的右支上，點M (m ， 0 ) 到直線AP的間隔為1，
(1)若直線AP的斜率為k ，且 ，求實數 m 的取值范圍
(2)當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程
●值域和最值題目
與解析幾何有關的函數的值域或弦長、面積等的最大值、最小值題目是解析幾何與函數的綜合題目，需要以函數為工具來處理。
解析幾何中的最值題目，一般是根據條件列出所求目標――函數的關系式，然後根據函數關系式的特徵選用參數法、配方法、判別式法，應用不等式的性質，以及三角函數最值法等求出它的最大值或最小值。另外，還可藉助圖形，利用數形結正當求最值。
例1、如圖，已知拋物線 y2 = 4x 的頂點為O，點A 的坐標為(5，0)，傾斜角為π/4的直線 l 與線段OA相交(不過O點或A點)，且交拋物線於M、N兩點，求△AMN面積最大時直線的方程，並求△AMN的最大面積。
●直線與圓錐曲線關系題目
1、直線與圓錐曲線的位置關系題目，從代數角度轉化為一個方程組實解個數研究(如能數形結合，可藉助圖形的幾何性質則較為簡便)。即判定直線與圓錐曲線C的位置關系時，可將直線方程帶進曲線C的方程，消往y(有時消往x更方便)，得到一個關於x的一元方程 ax2 + bx + c = 0
當a=0時，這是一個一次方程，若方程有解，則 l 與C相交，此時只有一個公共點。若C為雙曲線，則 l 平行與雙曲線的漸進線；若C為拋物線，則 l 平行與拋物線的對稱軸。所以當直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時，直線和雙曲線、拋物線可能相交，也可能相切。
當 a≠0 時，若Δ>0 l與C相交
Δ=0 l與C相切
Δ<0 l與C相離
2、涉及圓錐曲線的弦長，一般用弦長公式結合韋達定理求解。
解決弦中點有兩種常用辦法：一是利用韋達定理及中點坐標公式；二是利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率的關系(點差法)
中點弦題目就是當直線與圓錐曲線相交時，得到一條顯冬進一步研究弦的中點的題目. 中點弦題目是解析幾何中的重點和熱門題目，在高考試題中經常出現. 解決圓錐曲線的中點弦題目，「點差法」是一個行之有效的方法，「點差法」顧名思義是代點作差的辦法. 其步驟可扼要地敘述為：①設出弦的兩個端點的坐標；②將端點的坐標代進圓錐曲線方程相減；③得到弦的中點坐標與所在直線的斜率的關系，從而求出直線的方程；④ 作簡
要的檢驗. 本文試圖通過對一道高考試題解法的探討，談點個人見解.
一、高考試題
橢圓C： + = 1(a> b > 0)的兩個焦點為F1，F2，點P在橢圓C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=， |PF2| = .
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 若直線l過圓x2 + y2 + 4x - 2y = 0 的圓心M，交橢圓C於A，B兩點，竊讀，B關於點M對稱，求直線l的方程.
二、解題思路
第(1)題的解法不再贅述，答案是：+ = 1，在此基礎上研究第(2)題的解法.
1. 運用方程組的思路
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，已知圓的方程為(x + 2)2 + (y - 1)2 = 5，所以圓心M的坐標為(-2，1)，從而可設直線l的方程為：y= k(x+ 2)+1.
∴y= k(x+ 2)+ 1，+=1.消y得
(4 + 9k2)x2 + (36k2 + 18k)x + 36k2 + 36k - 27 = 0.
∵ A，B關於點M對稱，
∴ = - = -2，解得 k =.
∴ 直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0.
2. 運用「點差法」的思路
已知圓的方程為(x+ 2)2+ (y- 1)2= 5，所以圓心M的坐標為(-2，1).
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意x1≠x2且
+ = 1(1)+= 1(2)
由(1)- (2)得
+ = 0(3)
由於A，B關於點M對稱，所以x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 2，代進(3)得 k1 = =，所以，直線l的方程為：8x - 9y + 25 = 0. 經檢驗，所求直線方程符合題意.
三、對兩種思路的熟悉
思路1運算較復雜，尤其是消元得到方程這一步，很多學生是不能順利過關的；思路2運算較簡潔，學生易把握. 對於兩種思路都必須分析到：直線l經過圓心，而且圓心是弦的中點. 這些方法在考題中經常有所涉及.
四、對「點差法」的思考
1. 「點差法」使用條件的反思
「點差法」使用起來較為簡潔，那麼使用「點差法」的條件是什麼？
假設一條直線與曲線mx2 + ny2 = 1(n，m是不為零的常數，且不同時為負數)相交於A，B兩點，設A(x1，x2)，B(x2，y2)，則mx12 + ny12= 1，mx22 + ny22 = 1， 兩式相減有：m(x1 - x2)(x1 + x2) = -n(y1 - y2)(y1 + y2). 其中x1+x2與y1 + y2和線段AB的中點坐標有關； 為AB的斜率. 由此可見，知道其中一個可以求出另外一個，意思是說：要用「點差法」，需知道AB的中點和AB的斜率之一才可求另一個. 然後進行扼要的檢驗.
2. 先容一種處理中點弦題目時的巧妙的獨到的解法
例題 已知雙曲線x2 - = 1，問是否存在直線l，使得M(1，1)為直線l被雙曲線所截弦AB的中點.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
由題意得M(1，1)為顯讀B的中點，可設A(1+ s，1+ t)，B(1- s，1- t)，(s，t∈T訂，由於A，B，M不重合可知， s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線x2-= 1上，將點的坐標代進方程得
(1+ s)2-= 1(1)(1- s)2-= 1(2)
(1)+ (2) 可得s2= t2 (3)
(1)- (2) 可得t = 2s (4)
將(4)代進(3)可得s= 0，t= 0，不可能，故不存在這樣的直線.
這里我們回納一下解題思路：
已知直線l與圓錐曲線：ax2 + by2 = 1(a，b使得方程為圓錐曲線)相交於A，B兩點，設中點為M(m，n)，求直線l方程.
解題思路 設A(m+ s，n+ t)，B(m - s，n - t)， (s，t∈T訂，由於A，B，M不重合可知，s，t不全為零. 又點A，B在雙曲線ax2 + by2 = 1上，將點的坐標代進方程得a(m + s)2- b(n+ t)2= 1， a(m-s)2 - b(n- t)2= 1.解得：ams = bnt，am2 +s2 = bn2 + t2. (由於這里全是字母運算，表達式復雜，不再求出所有的表達式的具體形式，只是談一下思路)進一步解出s，t的值，從而知道A，B的坐標，運用兩點式求出直線l的方程。

⑵ 韋達定理來解決中點弦

對方程 ax^2+bx+c=0 a不為0 且指鍵或唯伍b^2-4ac>0

有亮讓 x1+x2= - b/a x1 x x2 =c/a

⑶ 高中數學圓錐曲線解題技巧

解答數學圓錐曲線試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能准確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，並在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整。下面我給你分享高中數學圓錐曲線解題技巧，歡迎閱讀。

高中數學圓錐曲線解題技巧

1.充分利用幾何圖形的策略

解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，並結合平面幾何知識，往往能減少計算量。

例：設直線3x+4y+m=0與圓x+y+x-2y=0相交於P、Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求m的值。

2.充分利用韋達定理的策略

我們經常設出弦的端點坐標但不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。

例：已知中心在原點O，焦點在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交於P、Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此橢圓方程。

3.充分利用曲線方程的策略

例：求經過兩已知圓C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交點，且圓心在直線l：2x+4y-1=0上的圓的方程。

4.充分利用橢圓的參數方程的策略

橢圓的參數方程涉及正、餘弦，利用正、餘弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題。這也就是我們常說的三角代換法。

例：P為橢圓+=1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端瞎慶點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的坐標。

5.線段長的幾種簡便計算策略

(1)充分利用現成結果，減少運算過程。

求直線與圓錐曲線相交的弦AB長：把直線方程y=kx+b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方兆枯程的兩根設為x，x，判別式為△，則|AB|=•|x-x|=•，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。

例：求直線x-y+1=0被橢圓x+4y=16所截得的線段AB的長。

(2)結合圖形的特殊位置關系，減少運算。

在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由於圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可迴避復雜運算。

例：F、F是橢圓+=1的兩個焦點，AB是經過F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。

(3)利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到准線的距離。

例：點A(3，2)為定點，點F是拋物線y=4x的焦點，點P在拋物線y=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的坐標。

高中數學圓錐曲線題型

1.中點弦問題

具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法)：設曲線上兩點為(x，y)，(x，y)，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式，消去四個參數。

例：給定雙曲線x-=1，過A(2，1)的直線與雙曲線交於兩點P和P，求線段PP的中點P的軌跡方程。

2.焦點三角形問題

橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點F、F構成的三角形問題，常用正、餘弦定理。

例：設P(x，y)為橢圓+=1上任一點，F(-c，0)，F(c，0)為焦點，∠PFF=α，∠PFF=β。

(1)求證：離心率e=;

(2)求|PF|+|PF|的最值。

3.直線與圓錐曲線位置關系問題

直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式，應特別注意數形結合的辦法。

例：拋物線方程y=p(x+1)(p>0)，直線x+y=t與x軸的交點在拋物線准線的右邊。

(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點。

(2)設直線與拋物線的交點為A、B，且OA⊥OB，求p關於t的函數f(t)的表達式。

族神洞4.圓錐曲線的有關最值問題

圓錐曲線中的有關最值問題，常用代數法和幾何法解決。若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖像性質來解決。若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數(通常利用二次函數，三角函數，均值不等式)求最值。下題中的(1)，可先設法得到關於a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變數的函數，利用求函數的值域求出a的范圍。對於(2)，首先要把△NAB的面積表示為一個變數的函數，然後再求它的最大值，即“最值問題，函數思想”。

例：已知拋物線y=2px(p>0)，過M(a，0)且斜率為1的直線L與拋物線交於不同的兩點A、B，|AB|≤2p，(1)求a的取值范圍;(2)若線段AB的垂直平分線交x軸於點N，求△NAB面積的最大值。

5.求曲線的方程問題

(1)曲線的形狀已知，這類問題一般可用待定系數法解決。

例：已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A(-1，0)和點B(0，8)關於L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。

(2)曲線的形狀未知，求軌跡方程。

例：已知直角坐標平面上點Q(2，0)和圓C：x+y=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等於常數λ(λ>0)，求動點M的軌跡方程，並說明它是什麼曲線。

6.存在兩點關於直線對稱問題

在曲線上兩點關於某直線對稱問題，可按如下方法解題：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。當然也可利用韋達定理並結合判別式來解決。

例：已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值范圍，使得對於直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關於直線對稱。

7.兩線段垂直問題

圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k•k==-1來處理或用向量的坐標運算來處理。

⑷ 橢圓的中點弦問題，有倆個辦法一個是根與系數關系法，二個是點差法，想問的是第一種根與系數關系法中

先消去誰要考慮兩個方面：首先是解題的直接需要，比如運用弦長公式時；二個就是運算的簡便性，因為直線方程多為y=kx+b的形式，而圓錐曲線是二次方程，所以通常用x代替y，運算起來比較簡單。當然蠢碰，如果考慮運算簡便先消去的培陸是y，而我需要的卻是x，怎麼辦？其實直線方程y=kx+b就給了一個線性的轉換條件：因為兩點即在橢圓上同時也在直線上，那麼兩點的坐標都滿足直線方程，於是有y1=kx1+b，y2=kx2+b，兩式相加不就有了y1+y2=k(x1+x2)+2b嗎?兩式相乘不就有了y1y2=k^2x1x2+k(x1+x2)+b^2嗎？所以我認為先消去誰都無所謂，只要運帶中談算簡便！

⑸ 關於參數方程的中點弦問題 急 要講清楚

最基本的就是聯立
直線方程和曲線方程，
然後可以得到
聯立方程
x1+x2的值，根搭悉宏據此可計算y1+y2的值。
然後就可得到弦中點的坐標
x=（x1+x2)/2.
y=(y1+y2)/2
然後再求相關值，比如說斜率k的表達式，再帶入。就可以把弦中點的軌跡方程求出。
絕大多數的圓錐曲線和直線題都可以這樣解
例如：已知雙曲線x^2-y^2/2=1
（1）求以點a(2,1)為中點的弦所在直線l的方程
（2）求過點a(2,1)的弦的中點m的軌跡方程
(1)設過a點的直線方程為y-1=k(x-2)
聯立雙曲線x^2-y^2/2=1與直線
得(1-k^2/2)x^2+(2k^2-k)x+2k-2k^2-3/2=0
x(a)+x(b)=(k-2k^2)/(1-k^2/2)=2*2(以a為中點)
所以k=4,即直線知冊方程為y=4x-7
(2)設弦的中點為(x,y)
則設過a點陸源的直線方程為y-1=k(x-2)
聯立雙曲線x^2-y^2/2=1與直線
得(1-k^2/2)x^2+(2k^2-k)x+2k-2k^2-3/2=0
x(a)+x(b)=(k-2k^2)/(1-k^2/2)=2x
y(a)+y(b)=(4-8k)/(2-k^2)=2y
故y=(4x^2-8x)/(3x+1)
看完此題應該能區分了吧？

⑹ 圓錐曲線的解題方法有哪些

軌跡問題、中點弦問題、垂直類問題等等，不要怕算。【知識結構】

【命題趨勢分析】

從近三年高考情況看，圓錐曲線的定義、方程和性質仍是高考考查的重點內容，三年平均佔分20分，約為全卷分值的13.3%，在題型上一般安排選擇、填空、解答各一道，分別考查三種不同的曲線，而直線與圓錐曲線的位置關系又是考查的重要方面。

例1 （2002年江蘇卷理科第13題）橢圓 的一個焦點是（0，2），則k________________________________________。

分析 本題主要考查橢圓的標准方程，先將其化為標准形式，然後求解。

解 橢圓方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。

點評 由焦點在y軸上，其標准方程應化為 的形式，若此題變化為：已知曲線 的焦距為4，則k_____________________________________。

則應分兩種情況討論：（1）若為橢圓，則k=1；（2）若為雙曲線，方程即為
∴ ，由 ，由 ，得 。

例2 （2001年全國卷理科第14題）雙曲線 的兩個焦點為 ，點P在雙曲線上，若 ，則點P到x軸的距離為_________________________________。

分析 本題主要考查雙曲線的定義，從「形」的角度看，只需求出 斜邊 上的高，可用第一定義求解；從「數」的角度看，只需求出點P的縱坐標 ，先利用第二定義即焦半徑公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入雙曲線方程即可求出 的值；由於點P在以 為直徑的圓上，因此，解決本題一個最基本的方法，則是利用交跡法求出點P。

解法一 設 ，且由雙曲線的對稱性不妨設點P在第一象限，則m―n=2a―6 ①， ②，

②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x軸於Q，則在 中， ，即點P到x軸的距離為 ，

解法二 設 ，由第二定義可得 ， ，∵ ，

∴ ，

即 ，這里a=3 c=5 ，代入得 。

∴由雙曲線方程得 ，∴ 。

解法三 設 ，∵
∴點P在以 為直徑的圓上，即

①，又點P在雙曲線上，

∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。

點評 （1）由雙曲線的對稱性，可將點P設定在第一象限內，而不必考慮所有的情況。

（2）解題的目標意識很重要，例如在解法一中只需整體求出mn的值，而不必將m，n解出；在解法三中只需求 即可；

（3）在三種解法中，以解法三最簡潔，因此，最基本的方法有時也是最有效的方法。

（4）如果將問題改為：當 為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是________________________________。

那麼，可先求出使 時的點P的橫坐標為 ，由圖形直觀及雙曲線的范圍可得 ，2000年高考理科第14題考查了橢圓中與此類似的問題。

例3 （2000年全國卷理科第11題）過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線於P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則 等於（ ）

A．2a B． C．4a D．
分析 此題主要考查拋物線的定義與標准方程，可利用焦半徑公式來解決。

解 拋物線方程即 ，記 ，則F（0，m），而直線PQ的方程可設為x=k（y－m），代入拋物線方程 得

，

設 ，則

而 ，

於是， ，

。

故， 。

當k=0時，易證結論也成立，因而選C。

點評 （1）由於所給拋物線的焦點在y軸上，故其焦點是 ，焦半徑公式是 ，而不能寫成 。（2）解題中，令 以及將直線PQ的方程設為x=k（y－m），都是為了簡化運算。（3）作為一道選擇題，如此解法顯然是不經濟的，可以利用上節例5中的結論3直接得出結果，因此，記住一些重要結論，對提高解題效率無疑是有益的。（4）特例法也是解選擇題的常用的解題方法，本題只需考慮PQ//x軸，即為通徑的情況，可立即得出結果。

例4 （2001年全國卷理科第19題）設拋物線 的焦點F，經過點F的直線交拋物線於A、B兩點，點C在拋物線的准線上，且BC//x軸，證明直線AC經過坐標原點O。

分析 本小題主要考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力，證明三點共線，只須證明OC、OA兩直線的斜率相等，也可利用拋物線的性質證明AC與x軸的交點N恰為EF的中點，從而N與O重合，證得結論。

解法一 易知焦點 ，設直線AB的方程是 ，代入拋物線方程得

設 ，則

，即 。

因BC//x軸，且C在准線1上，故點 ，且 ，從而 ，從而

， ，

於是， ，從而A、O、C三點共線，即直線AC經過原點O。

解法二 如圖，設准線1交x軸於點E，AD⊥1於D，連AC交EF於點N，由AD//EF//BC，

得 ，即 ，①

，即 ，②

又由拋物線的性質可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N為EF的中點，於是N與點O重合，即直線AC經過原點O。

點評 （1）本例解法一利用曲線的方程研究曲線的性質，充分體現了用坐標法研究幾何問題的基本思想，而解法二則充分利用了拋物線的幾何性質及相似三角形中的有關知識。（2）在解法一中，直線AB方程的設法值得推崇，從思路分析看，若證 ，即證 ，將 代入後即證 ，即證 ，為此應通過直線AB的方程及拋物線方程 聯立消去x得到關於y的一元二次方程，解法一中的這一設法，既迴避了直線方程的變形過程使運算簡單，同時也迴避了當AB⊥x軸的情況的討論，若將AB方程設為 ，則必須對k不存在的情況作出說明。（3）試驗修訂本（必修）《數學》第二冊（上） 習題8．6第6題是：過拋物線焦點的一條直線與它交於兩點P、Q，經過點P和拋物線頂點的直線交准線於點M，求證直線MQ平行於拋物線的對稱軸，可見，這道高考題實際上是課本習題的一個逆命題，同學們在平時的學習中，對課本典型例題，習題要加強研究。

例5 （2002年江蘇卷第20題）設A、B是雙曲線 上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點。

（1）求直線AB的方程；

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交於C、D兩點，那麼A、B、C、D四點是否共圓？為什麼？

分析 本題主要考查直線、圓及雙曲線的方程和性質，運算能力和綜合運用所學知識解決問題的能力。求直線AB的方程，可以設出其點斜式，與雙曲線方程聯立消元，利用韋達定理及中點公式求出其斜率，由於涉及「中點弦」問題，亦可利用「設而不求」法解決。對於第（2）小題，根據圖形特徵，若四點共圓，則CD必為其直徑，至少可有以下三種解題思路：（1）判斷CD中點到四點是否等距；（2）判斷是否有AC⊥AD；（3）判斷A、B兩點是否以CD為直徑的圓上。

解 （1）解法一：設AB：y=k（x－1）+2代入 ，整理得

。①

設 ，則

，且
因N（1，2）是AB的中點，故 ，於是 ，解得k=1，從而所求直線AB的方程為y=x+1。

解法二：設 ，代入雙曲線方程得

。

因N（1，2）為AB的中點，故 ， ，將它們代入上式可得 ，從而 ，於是直線AB的方程為y=x+1。

（2）將k=1代入方程①得， ，解得 ， 。

由y=x+1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直線CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入雙曲線方程並整理得 ②

設 ，則 ， 。

解法一：設CD中點為 ，則 ，於是 ，即M（－3，6）。

因

故 。

又

即A．B．C．D四點與點M的距離相等，從而A、B、C、D四點共圓。

解法二：由 ， 得， ，

，故

，即AC⊥AD。

由對稱性可知，BC⊥BD，於是A、B、C、D四點共圓。

解法三：以CD為直徑的圓的方程是

，即

。

將 ， ， ， ，代入得

，即 。

因 ，

，

故A、B在以CD為直徑的圓上，即A、B、C、D四點共圓。

點評 （1）處理直線與圓錐曲線相交問題時，要重視韋達定理的應用。（2）「設而不求」是解決「中點弦」問題常用的方法，通過「設而不求」可以建立弦所在直線的斜率與弦的中點坐標之間的關系，本題已知中點坐標，即可確定出直線的斜率。（3）判斷四點共圓的方法很多，注意從多種不同的角度進行思考，鍛煉思維的靈活性。

【典型熱點考題】

1．探究

例6 設 分別是橢圓 的左、右焦點，試問：在橢圓上是否存在一點P，使得 ？為什麼？

分析 根據點P滿足的條件，探究是否能夠將點P的坐標求出，若能，則存在；若不能，則不存在，求P點坐標，有以下兩條思路：

思路一 設 ，用焦半徑公式將 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。

思路二 由 知，點P在以 為直徑的圓上，只須考察該圓與橢圓是否存在公共點。

思考：畫一個較為准確的圖形，不難發現，圓 與橢圓 沒有公共點，所以這樣的點P是不存在的，關鍵是這個橢圓太「圓」了，由此引發我們思考：為使點P存在，橢圓應盡量「扁」一些，也即其離心率應該較大，於是我們可以去思考一個一般性的問題：

一般化：若橢圓 上存在一點P，使得 ，求離心率e的取值范圍。

利用例6提供的兩個思路均可得到 ，從而驗證了我們的猜想。

再思考：考察點P從長軸端點 始沿橢圓運動至 的過程， 由0°逐漸增大後又逐漸減小為0°，猜想在某一位置必然取得最大值，試問：這個最大值是多少？又在何處取得？從橢圓的對稱性來看，我們可以猜想：當點P在短軸端點B處時， 取得最大值，是不是這樣呢？

利用焦半徑公式及餘弦定理不難驗證這一猜想是正確的。

若設 ，我們有 。

回頭看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可見使θ=90°的點P是不存在的。

又一個問題：若橢圓 上存在一點P，使 （ 、 為長軸端點），求離心率e的取值范圍。

分析 不再是橢圓的焦半徑，按照例6中的思路一已經不能解決問題，但是我們知道，使 的點P是軌跡是關於 對稱的兩段圓弧，可先求出圓弧所在圓的方程，然後按照思路二進行研究，下面我們給出這一問題的解答。

解 由對稱性，不妨設 ，則 ， ，由到角公式得

，即 ，

整理得， 。 ①

又 ，故 。 ②

②代入①得， 。

因點P在橢圓上，故 ，即 ，從而 ，即 ，也就是 ，從而 ，解得 ，又0<e<1，故 。

點評 （1）在解析幾何中，直角一般由垂直條件來轉化，而一般角則常用到角公式來轉化，若想用餘弦定理將無法運算進行到底。（2）注意利用橢圓的范圍性，由 來建立a、b、c三者之間的不等式關系，從而求出e的范圍。

2．應用。

例7 某隧道橫斷面由拋物線的一段和矩形的三邊組成，尺寸如圖，某卡車載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高4m，試問：該車能否通過此隧道？為什麼？

分析 此題為拋物線在實際問題中的應用，可利用拋物線的方程和性質進行研究。

解 以拋物線弧的頂點為原點，建立圖示直角坐標系，設拋物線的方程為 ，從圖示可以看出，點（3，－3）在拋物線上，故 ，得2p=3，即拋物線的方程是 。

由拋物線的對稱性可知，為使此車盡量通過此隧道，車應沿隧道中線行駛，令 代入 得 ，所以集裝箱兩側隧道的高度是 。

因為車與箱共高僅4米，即h>4，所以此車能通過此隧道。

點評 （1）實際問題應轉化為數學問題來處理，此處通過建立坐標系轉化為解析幾何中的問題。（2）建系應恰當，盡量使方程為標准方程，分析問題時注意考慮圖形的對稱性。

⑺ 怎樣求解橢圓的中點弦

解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，藉助於一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解。

若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點代入圓錐曲線的方程並對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為「點差法」。

對於給定點P和給定的圓錐曲線C，若C上的某條弦AB過P點且被P點平分，則稱該弦AB為圓錐曲線C上過P點的中點弦。其中圓錐曲線弦為連接圓錐曲線C上不同兩點A、B的線段AB稱為圓錐曲線C的弦。

(7)高中點弦問題解決方法擴展閱讀：

由錐體與平面相交的平面曲線。橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面平行於圓柱體的軸線。

蝴蝶定理是二次曲線一個著名定理，它充分體現了蝴蝶生態美與「數學槐型美」的一致性．不少中數專著或雜志至今還頻繁討論，並給出統一而簡明的證明，指出了一種有用的特殊情形和一種推廣形式。

對任意直線L0所截的三弦中點中，任意兩點總在第三點同側鉛凱猜或異側．當O、O1、O2中有兩點重合時，第三點也重合．「蝴蝶定理」雖然如自然界的蝴蝶種類一樣千變萬化，然而萬變不離其宗，核心在於中孫純點弦性質。

⑻ 求高中數學的中點弦問題詳解，經典題型和做法

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⑼ 高中 數學 中點弦問題 拜託拜託 求詳解！！

很簡單，過（1,1）的直線方程y=k(x-1)+1
代入雙兆祥曲線方程，x1+x2=2(韋達族鍵搏定理），解出k，同時要求根的判別式>0
如果k存在，亮或就有這樣的弦。