等差數列簡單運用方法

❶ 如何求等差數列的任意項 4種方法來求等差數列的任意項

目錄方法1：求等差數列的下一項1、求得數列的公差。2、檢查公差是否一致。3、用公差加上最後的已知項。方法2：求缺少的中間項1、首先檢查是否是等差數列。2、用公差加上空格前的那一項。3、用空格後的數字減去公差。4、比較結果。方法3：求等差數列的第N項1、確定數列的第一項。2、設公差為d。3、使用顯式公式。4、填入已知信息解題。方法4：使用顯式公式求其他數值1、對顯式公式進行變形，求其他變數。2、求數列的第一項。3、求數列的項數。等差數列是每一項與它前面一項的差等於一個常數的數列。例如，偶數列
方法1：求等差數列的下一項
1、求得數列的公差。面對一組數字時，有時題目會告訴你它們是等差數列，而有時你必須自己認識到這一點。無論是哪種情況，第一步都是相同的。從幾個數字中選擇最開始的兩項。用第二項減去第一項。所得結果就是數列的公差。例如，假設有一組數字1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?。用4?1{displaystyle 4-1}，求得公差為3。
假設有一列各項不斷變小的數字，如25,21,17,13{displaystyle 25,21,17,13}?。還是用第二項減去第一項來求出公差。這種情況下，21?25=?4{displaystyle 21-25=-4}。負數結果說明從左到右看時，這組數字在逐漸變小。每次做題時，你都應該檢查公差的正負號，看是否與數字的變化趨勢相符。
2、檢查公差是否一致。只計算前兩項的公差，不足以保證數列是等差數列。你需要確保整列數字的差值始終一致。。將數列中另外兩個連續項相減，檢查它們的差值。如果結果與另外一到兩次的結果一致，那麼它就很可能是等差數列。還是以數列1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?為例，選擇數列的第二項和第三項。用7?4{displaystyle 7-4}，差值仍然為3。保險起見，再選兩個連續項相減，13?10{displaystyle 13-10}，差值為3，還是與之前的結果相吻合。現在，你可以比較確定它是一組等差數列了。
有時，數列的前幾項看上去像等差數列，但之後卻不符合等差數列的特徵。例如，數列1,2,3,6,9{displaystyle 1,2,3,6,9}?。第一項和第二項之間的差是1，而第二項和第三項之間的差也是1。但是，第三項和第四項之間的差是3。由於數列各項之差並不相等，所以它不是等差數列。
3、用公差加上最後的已知項。知道公差後，求等差數列的下一項就非常簡單了。只需用公差加上最後的已知項，就可以得出下一個數字。例如，在示例1,4,7,10,13{displaystyle 1,4,7,10,13}?中，要算出下一個數字，你可以用公差3加上最後的已知項。13+3{displaystyle 13+3}等於16，16就是下一個數字。只要願意，你可以不斷加3，寫出數列後面的數字。例如，將數列後面的數字寫出來後，我們得到1,4,7,10,13,16,19,22,25{displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}?。你可以一直寫下去，直到滿意為止。
方法2：求缺少的中間項
1、首先檢查是否是等差數列。某些情況下，題目會給出一組缺少中間項的數字。和之前一樣，首先你應該檢查數列是否是等差數列。選擇任意的連續兩項數字，計算它們之間的差值。比較結果與數列中另外兩個連續數字的差值。如果差值相等，那麼你可以假設自己面對的是一個等差數列，然後繼續使用本文的等差數列方法。例如，假設有一個數列0,4{displaystyle 0,4},___,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?。先用4?0{displaystyle 4-0}，求得差值為4。比較另外兩個連續數字的差，如16?12{displaystyle 16-12}。差值仍等於4。因此，你可以將之當做等差數列，繼續解題。
2、用公差加上空格前的那一項。方法和求數列最後一項類似。找到數列中空格前的那一項。這是已知的"最後一個"數字。用公差加上該項，算出應該填入空格的數字。在當前示例中，0,4{displaystyle 0,4},____,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?，空格前的數字是4，而此數列的公差也是4。所以，用4+4{displaystyle 4+4}，得到8，它應該就是空格中的數字。
3、用空格後的數字減去公差。為了確保答案正確，可以從另一個方向來進行檢查。無論是正序還是倒序，等差數列應該都符合自身特點。如果從左到右需要逐項加4，那麼反過來，從右到左就正好相反，需要逐項減4。在當前示例中，0,4{displaystyle 0,4},___,12,16,20{displaystyle 12,16,20}?，空格後的數字是12。用該項減去公差，得到12?4=8{displaystyle 12-4=8}。你應該將結果8填入空格中。
4、比較結果。用左邊項加公差和用右邊項減公差算出來的兩個結果應該相等。如果相等，說明你已經求得缺少項的值。如果不相等，則說明你需要檢查自己的計算過程。題目中的數列可能並非等差數列。在當前示例中，4+4{displaystyle 4+4}和12?4{displaystyle 12-4}算得的結果都是8。因此，該等差數列的缺少項為8。完整的數列是0,4,8,12,16,20{displaystyle 0,4,8,12,16,20}?。
方法3：求等差數列的第N項
1、確定數列的第一項。並非所有序列都以數字0或數字1開始。查看題中的數列，找到第一項。它是計算的起點，可以使用變數a(1)代表。面對等差數列問題時，經常會使用變數a(1)來指代數列的第一項。當然，你可以選擇自己喜歡的任何變數，這並不會影響到結果。
例如，已知數列3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}?，第一項是3{displaystyle 3}，我們可以用a(1)來指代。
2、設公差為d。用上文所述方法求出數列的公差。在當前示例中，公差等於8?3{displaystyle 8-3}，等於5。使用數列中的其他數字進行檢查，得到同樣的結果。我們用變數d來指代該公差。
3、使用顯式公式。顯式公式是一個代數方程，使用它來求等差數列的任意項時，你無須寫出完整數列。等差數列的顯式公式為a(n)=a(1)+(n?1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}。a(n)項可以讀作"a的第n項"，其中n代表數列中你想求出的項數，而a(n)是該項的實際數值。例如，如果題目要求你求等差數列的第100項，那麼n等於100。注意，在本示例中，n等於100，但a(n)等於第100項的值，而不等於數字100本身。
4、填入已知信息解題。使用數列的顯式公式，填入已知信息，求出需要的項。例如，在本示例中，3,8,13,18{displaystyle 3,8,13,18}?，我們知道a(1)是第一項，等於3，而公差d等於5。假設題目要求你求出數列的第100項，則n=100，而(n-1)=99。填入數值後，完成顯式公式，得到a(100)=3+(99)(5){displaystyle a(100)=3+(99)(5)}。簡化後的結果是498，這個數字就是該數列的第100項。
方法4：使用顯式公式求其他數值
1、對顯式公式進行變形，求其他變數。使用顯式公式和基礎的代數知識，你可以算出等差數列的幾個其他數值。顯式公式的初始形式是a(n)=a(1)+(n?1)d{displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}，其目的是求an，也就是數列的第n項。但是，你可以對公式進行代數變形，來計算任何其他變數。例如，假設數列的最後一個數字已知，需要你計算數列最開始的數字。你可以將公式變形，得到a(1)=(n?1)d?a(n){displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}。
如果你知道等差數列的第一個數字和最後一個數字，但需要算出該數列的項數，你可以將顯式公式變形來求出n。公式變形後可得n=a(n)?a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。
如果為了將公式變形，你需要復習基礎的代數知識，可以參閱本網站的學習代數或化簡代數表達式相關文章。
2、求數列的第一項。已知等差數列的第50項為300，且每項比之前一項大7，即"公差"等於7，求序列第一項的值。使用變形後的顯式公式來計算a1，求得問題的答案。使用方程a(1)=(n?1)d?a(n){displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}，然後代入已知信息。由於已知第50項為300，所以n=50，n-1=49，且a(n)=300。題目還提供了公差d的值，d等於7。因此，公式變為a(1)=(49)(7)?300{displaystyle a(1)=(49)(7)-300}。得到343?300=43{displaystyle 343-300=43}。數列的第一項是43，每一項比前一項大7。因此，數列可以寫作 43,50,57,64,71,78?293,300。
3、求數列的項數。假設你只知道等差數列的第一項和最後一項，需要求數列的項數。使用變形後的公式n=a(n)?a(1)d+1{displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}。假設已知等差數列的第一項是100，公差為13。題目還告知最後一項是2,856。要計算數列的項數，可以用到的信息有a1=100，d=13，以及a(n)=2856。將這些值代入公式，得到n=2856?10013+1{displaystyle n={frac {2856-100}{13}}+1}。計算後，可得n=275613+1{displaystyle n={frac {2756}{13}}+1}，等於212+1，即213。所以該序列有213項。
該序列可以寫作100, 113, 126, 139? 2843, 2856。
警告數列有多種不同類型。不要假設所有數列都是等差數列。每次一定要檢查至少兩對數字，最好是三對或四對，來比較各對的公差。
小提示記住，d可以是正數，也可以是負數，取決於它是相加還是相減。

❷ 等差數列的用法

等差數列的用法如下：

等差數列有多種應用，最基本的就是要先認識談寬等差數列，那什麼是等差數列呢？任何相鄰兩項旅侍旁的差都相等的數列叫等差數列．特別要注意，類似於1，2，3，2，1，2，3，2，1，……和1，0，1，0，1，0……的數列，雖然相鄰兩個數的差都相等，但這樣的數列不是等差數列。

這里我們可以用湊整法來做，1和9配，2和8配，3和7配，4和6配，他們都可以湊為10，但是這樣算完了嗎，我們會發現還有一個5單出來了，最後在加上5就可以了。除了這種做法，還有更簡便的方法拆橡嗎？

仔細觀察我們會發現，配對的兩個數的和剛好是2個5，那一共有多少個5呢，數出來最後剛好有9個5，而9剛好是這一列數的項數，5是這一列數里最中間的那個，所以最後我們可以得出結論和＝中間數×項數

例題1：某等差數列前7項的和為126，請問：第4項為多少？

分析：此題我們要求第4項，而第4項剛好就是中間項，所以這一題就是要讓我們去求中間項，它給了兩個已知條件，項數與他們的和，那我們就可以運用結論 和=中間數×項數 的變式 中間數=和÷項數 ，最後可以列式為 126÷7=18，第4項就等於18.

❸ 在等差數列中求項數的簡便方法

項數=（末項-首項）÷公差+1。

例： 11＋12＋13＋…＋31＝？

分析與解：這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11＋1＝21（項）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數列求和公式時，有時項數並不是一目瞭然的，這時就需要先求出項數。根據首項、末項、公差的關系，可以得到

項數=（末項-首項）÷公差+1，

末項=首項+公差×（項數-1）。

(3)等差數列簡單運用方法擴展閱讀

等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有

的求和公式。

❹ 等差數列及其應用的公式

如果一個數列從第二項起返爛，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差襪沒d。
通項公式為：告世納an=a1+(n-1)d
前n項和公式為：Sn=a1n+n（n-1）d/2或Sn=n(a1+an)/2