高中數學立體幾何問題解決方法

1. 高一數學 立體幾何學習方法

學習立體幾何首先要確立立體圖形,就是說你首先要在腦子里確立立體圖形,和要有比較強的繪畫立體直觀圖形的能力.我在這里給你提供幾種增強識圖的能力方法,一種方法是你看著物體然後在腦子里想它,在腦子里確立雀者它;另一種方法是你仿照課本上的圖形多畫圖.如果你的識圖能力增強,對學習立體幾何相當有益.
再則你想找二面角,首先你要找到面與面的交線,然後在交線上一點出發做交線的垂線,所得到的角小的一角就是二面角了.
求二面角有倆種辦法,一種是直接根據餘角定理求,另一種是根據向量求,根據公式即可很好的求的.

立體幾何中抓住向量這個重要工具
如點到直線的距離，抓住直線的方向向量
找二面角的平面角而不是二面角，二面角的平面角等於二面角的大小．具體你可以，比如先求平面的法向量，那麼兩個平面的法向量的夾角的大小就是二面角的大小

求角先定平面角、三角形去解決，正餘弦定理、三角定義常用，若是餘弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正餘弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。

立體幾何的學習主要在於培養空間抽象能力的基礎上，發展學生的邏輯思維能力和空間想像能力。立體幾何是中頃漏薯學數學的一個難點，學生普遍反映「幾何比代數難學」。但很多學好這部分的同學，又覺得這部分很簡單。

我這里只是從大的方面討論學習方法。

一．空間想像能力的提高。

開始學習的時候，首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習題，輔導書上的練習題，不看原圖，自己先畫。畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對比一下，那個圖更容易解題。

二．邏輯思維能力的培養。

培養邏輯思維能力，首先是牢固掌握數學的基礎知識，其次掌握必要的邏輯知識和邏輯思維。

1.加強對基本概念理解。

數學概念是數學知識體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數學概念是學好數學，提高數學能力的關鍵。

對於基本概念的理解，首先要多想。比如對異面直線的理解，兩條直線不在同一個平面是簡單的定義，如何才能不在同一個平面呢，第一是把同一個[平面上的直線離開這個平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然後想在數學上怎麼才能保證兩條直線不在一個平面，那些條件能保證兩條直線不在一個平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，並且不相交，那麼就異面，對於不平行的條件，在平面幾何中我們已經知道，如何能保證不相交呢，想像延長線等手段能不能得到證明呢，如果搜緩不能，那麼把其中一條直線放在一個平面，看另外一條直線和這個平面是否平行，這樣我們對異面直線的概念就比較容易掌握。

這在立體幾何「簡單幾何體」部分的學習中顯得尤為突出，本章節中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴謹性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區別和聯系。

2.加強對數學命題理解，學會靈活運用數學命題解決問題。

對數學的公理，定理的理解和應用，突出反映在題目的證明和計算上。需要避免證明中出現邏輯推理不嚴密，運用定理、公理、法則時言非有據，或以主觀臆斷代替嚴密的科學論證，書寫格式不合理，層次不清，數學符號語言使用不當，不合乎習慣等。

（1）重視定理本身的證明。我們知道，定理本身的證明思路具有示範性，典型性，它體現了基本的邏輯推理知識和基本的證明思想的培養,以及規范的書寫格式的養成。做到不僅會分析定理的條件和結論,而且能掌握定理的內容,證明的思想方法,適用范圍和表達形式.特別是進入高中學習以後所涉及到的一些新的證題的思想方法,如新教材上的立體幾何例題:「過平面外一點與平面內一點的直線,和平面內不經過該點的直線是異面直線.」此定理的證明就採用了反證法,那麼反證法的證題思想就需要去體會,一般步驟,書寫格式,注意要點等.並配以適當的訓練,以初步掌握應用反證法證明立體幾何題.

(2) 提高應用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現在遇到一個幾何題以後,不知從何下手.對於習題，我們首先需要知道：要干什麼（要求的結論是什麼），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。當然這要根據具體情況，需要多看習題，我反對題海，但必要的練習是不可以缺少的

2. 解高中立體幾何有什麼技巧，

• 第一要建立空間觀念，提高空間想像力。
  從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學自製一些空間幾何模型並反復觀察，這有益於建立空間觀念，是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩，並且判斷其中的線線、線面、面面位置關系，探索各種角、各種垂線作法，這對於建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中「證明」定理和構造定理的「圖」，對於建立空間觀念也是很有幫助的。

  

注意事項

• 一、立足課本，夯實基礎
  直線和平面這些內容，是立體幾何的基礎，學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明，尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關系的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很復雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處：
  （1）深刻掌握定理的內容，明確定理的作用是什麼，多用在那些地方，怎麼用。
  （2）培養空間想像力。
  （3）得出一些解題方面的啟示。
  在學習這些內容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想像力。對後面的學習也打下了很好的基礎。

• 二、培養空間想像力
  為了培養空間想像力，可以在剛開始學習時，動手製作一些簡單的模型用以幫助想像。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察，逐步培養自己對空間圖形的想像能力和識別能力。其次，要培養自己的畫圖能力。可以從簡單的圖形（如：直線和平面）、簡單的幾何體（如：正方體）開始畫起。最後要做的就是樹立起立體觀念，做到能想像出空間圖形並把它畫在一個平面（如：紙、黑板）上，還要能根據畫在平面上的「立體」圖形，想像出原來空間圖形的真實形狀。空間想像力並不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設為根據，以幾何體為依託，這樣就會給空間想像力插上翱翔的翅膀。

• 三、逐漸提高邏輯論證能力
  立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到准確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步地找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然後用綜合法（「推出法」）形式寫出。

• 四、「轉化」思想的應用
  我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運用「轉化」這種數學思想，要明確在轉化過程中什麼變了，什麼沒變，有什麼聯系，這是非常關鍵的。例如：
  1.兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。
  2.異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離。
  3.面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。
  4.三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。
  以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，通過轉化可以使問題得以大大簡化。

• 五、總結規律，規范訓練
  立體幾何解題過程中，常有明顯的規律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正餘弦定理、三角定義常用，若是餘弦值為負值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經常用正餘弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉換。不斷總結，才能不斷高。
  還要注重規范訓練，高考中反映的這方面的問題十分嚴重，不少考生對作、證、求三個環節交待不清，表達不夠規范、嚴謹，因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規范性在數學的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因為它更注重邏輯推理。對於即將參加高考的同學來說，考試的每一分都是重要的，在「按步給分」的原則下，從平時的每一道題開始培養這種規范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。

• 六、典型結論的應用
  在平時的學習過程中，對於證明過的一些典型命題，可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對於一些解答題雖然不能直接應用這些結論，但其也會幫助我們打開解題思路，進而求解出答案。

3. 如何學好高中立體幾何

第一、要掌握基礎知識和基本技能

要用圖形、文字、符號三種形式表達概念、定理、公式，要及時不斷地復習前面學過的內容。要學會用圖幫助解決問題，要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法。

第二、充分利用立體幾何學習中的圖形觀

立體幾何的學習離不開圖形，圖形是一種語言，圖形能直觀地感受空間線面的位置關系，培養空間想像能力。所以在立體幾何的學習中，要樹立圖形觀，通過作圖、讀圖、用圖、拼圖、變圖培養我們的思維能力。

基本信息

數學上，立體幾何（Solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱—－因為實際上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪（Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題：圓柱，圓錐，錐台，球，稜柱，楔，改鄭昌瓶蓋等等。

畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體，但是棱錐，棱核扒柱，圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯（Eudoxus)建立了它們的測量法，證明錐是等底等高的柱體積的叢蘆三分之一，可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

4. 立體幾何是數學的難點，空間思維薄弱的學生該如何學好高中數學立體幾何

方法：慧跡要建立空間觀念，提升空間想像力。從了解平面圖形到認識立體圖形是一次飛越，要有一個全過程。有的同學們自做一些空間幾何模型並不斷觀查，這有利於建立空間觀念，是個好方法。有的同學們有時間就對一些立體圖形開展觀查、揣測，而且分辨在其中的線線、面線、全方面位置關系，探尋各種各樣角、各種垂直線作法，這針對建立空間觀念也是好方法。

根據結合實際、觀查實體模型或對比平面幾何的結果來明確提出出題；針對明確提出的出題，不必隨便毫無疑問或否認它，要常用好多個充分必要條件開展檢測，最好是保證否認列舉背面事例，毫無疑問得出證實。歐拉公式的內容是以研究性課題的方式提供的，要從這當中感受造就數學思想方法。

5. 對於高中數學立體幾何，我們應該如何去證明，點共面，線共點，對於這些我很沒有思路，希望明白的人幫一下

一、共線問題
證明點共線，常常採用以下兩種方法：①轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，然後根據公理3證得這些點都在這兩個平面的交線上；②證明多點共線問題時，通常是過其中兩點作一直線，然後證明其他的點都在這條直線上．
二、共點問題
證明線共點，就是要證明這些直線都過其中兩條直線的交點．解決此類問題的一般方法是：先證其中兩條直線交於一點，再證該點也在其他直線上．
三、共面問題
證明空間的點、線共面問題，通常採用以下兩種方法：①根據已知條件先確定一個平面，再證明其他點或直線也在這個平面內；②分別過某些點或直線作兩個平面，證明這兩個平面重合．

6. 高考了 立體幾何一點不會 怎麼辦

這位老兄，告訴你祥姿一個事實哦。立體幾個是所有高中數學中最簡單的一門了。
我是今年剛剛高考的，告訴你一些方法吧：
1.關於向量的使用，在高考當中，向量一般不會單獨出題，它被作為一種非常實用的工具進行考察。使用向量解決立體幾何的問題時候（包括二面角大小，兩個平面夾角大小，點到直線距離等等),會筆純立體幾何方式簡單很多，雖然有些麻煩，但是准確率還是很高的。
2.向量的使用上，要多練習一些立體幾何的題型，現盯宴余列舉幾個常見的給你:
◎二面角大小，先分別求出兩個平面的法向量，再用公式cosa＝m.n/m.n求出結果，在結果上要化原角的餘角，把COS變為SIN
◎到平面的距離，先求出平面的法向量，然後在平面里任意取一點，與面外的一點連成向量，套用上面的公式得解。
◎異面直線夾角，找出直線的凱滾向量，套用上面的公式得解。
◎法向量求法，這是最重要的求法，很多題型會用到。先設一個向量為a=(x,y,z),再選擇平面內任意兩條直線的向量和它相乘等於0，會得到兩個式子，任意設一個變數為任意實數就能一次得到結果了！

7. 高中數學立體幾何解法

1.平面內的平行垂直關系不解釋
2.若一直線平行於一個平面內的一條直線且直線不在平面內，則它們平行
3.若以平面內的兩條相交直線平行於另一平面，則這兩個穗殲鄭平面平行
4.若一直線垂直於一平面內兩相交直線，則這條直線和這個平面垂直
5.線面垂直，則這條線垂直於這個平面內任一直線
6.線面垂直，過這條直線的平面垂直於那個平面
7.若一條直線平行於一個平面，那麼過這條直線的平猜頌面與該平面交線與該直線平行

以上，能夠解決咱現在做的一切立體幾何問題。

會不會使就看你造化了-。-見到立體幾何問改悶題不要怕，再復雜也出不了這幾句話……

昨天考試前給人總結的……似乎高中不再學立體幾何了……
那些立體圖形的題就不說了……反正證明題跑不了這些……

8. 百度文庫 如何學好高中數學的立體幾何問題

1、基礎知識首先要掌握牢固，所以上課一定要注意聽講。
2、多做題，做後要注意總結，同一類型的題目要總結一下盯卜核解題方法。
3、要准備個錯題本，常錯的題目寫到錯題本中弊虛。經凱掘常翻著看看。

9. 解決高中數學立體幾何的一般思路和常用方法

高三了呀，胡搜虧恭漏謹喜！
立體幾何？其實幾何問題你自己回頭想想：不就是計算和證褲神明兩大類嘛。
計算就是算——角、線段長、面積、體積。
證明就是證——平行、垂直、全等、相似。
學會歸類，就沒那麼多問題了，哈哈。
你基礎好就不擔心概念題了。
祝你好運！

10. 高中數學立體幾何建系技巧

一、空間直角坐標系構建的方法分類

空間直角坐標系的構建的本質是首先在一個平面內尋找一對互相垂直的直線，再尋找垂直於該面的一條直線，最後通過平移的方法，尋找到三條直線的交點，如此以來就可以構建出一組兩兩垂直的空間直角坐標系。需要注意的是，在構建空間直角坐標系時，一定要遵循右手螺旋定則，否則會引起後面計算的錯誤，如圖所示。

此外，最難構建空間直角坐標系的題型是題目中給出的幾何體不存在面面垂直關系，因此很難確定z軸的方向，該種設置會大大增加立體幾何大題的整體難度。該類題型需要考生首先自行構建面面垂直後，隨後在垂直於底面的平面中構建垂直於交線的直線，從而得到空間線面垂直關系，即可確定z軸方向。