線性無關的鑒別方法

Ⅰ 如何判斷線性無關

問題一：怎樣簡單的判斷線性相關和線性無關 一、 定義與例子 :定義 9.1 對向量組 ，如果存在一組不全為零的數 , 使得 那麼, 稱向量組 線性相關. 如果這樣的 個數不存在, 即上述向量等式僅當 時才能成立, 就稱向量組 線性無關. 含零向量的向量組 一定線性相關 , 因為 其中, 不全為零. 只有一個向量 組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 . 考慮齊次線性方程組 (*) 它可以寫成 ， 或 , 其中 . 由此可見, 向量組 線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組 線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解. 例1 向量組 是線性無關的 . 解: 設有 使 , 即 , 得齊次線性方程組 . 解此方程組得 , 所以向量組 線性無關. 例2 設向量組 線性無關, 又設 , 證明向量組 也線性無關. 證明: 設有 使 , 即 , 因為 線性無關, 故有 此線性方程組只有零解 , 也即向量組 線性無關. 定理 9.1 向量組 線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘 個向量線性表示 . 證明: 必要性 設 線性相關, 即存在一組不全為零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有 , 即 可以由其餘 個向量 線性表示. 其實, 在向量等式 中, 任何一個系數 的向量 都可以由其餘 個向量線性表示 . 充分性 設向量組 中有一個向量能由其餘 個向量線性表示 . 不妨設 , 則 , 因為 不全為零, 所以 線性相關. 二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :設矩陣 的列向量組為 , 矩陣 的列向量組為 ,其中矩陣 是通過對矩陣 做行初等變換後得到的.我們有以下定理: 定理 9.2 向量組 與向量組 有相同的線性相關性. 證明 :記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.由於齊次線性方程組 或者只是對調了 的第 個方程與第 個方程的位置,或者只是用非零數 承 的第 個方程,或者只是把 的第 個方程的 倍加到第 個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組 有相同的線性相關性. 定理 9.3 如果向量組 線性相關,那麼 也線性相關. 證明 :向量組 線性相關,即存在不全為零的數 使 , 於是 , 但是 , 仍不全為零,因此,向量組 線性相關. 推論 9.4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組. 定理 9.5 設有 維向量組 與 維向量組 如果向量組 線性無關,那麼,向量組 也線性無關. 推論 9.6 維向量組的每一個向量添加 個分量成為 維向量.如果 維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.反言之,如果 維向量組線性相關,那麼, 維向譽虧量組也線性相關. 定義 9.2 在 型的矩陣 中,任取 行 列 ,位於這些行列交叉處的 個元素,不改變它們在 中所處的位置次序而得的 階矩陣行列式,稱為矩陣 的 階子式. 型矩陣 的 階子式共有 個. 定理 9.7 設 維向量組 構成矩陣 則向量組 線性無關的充分必要條件是矩陣 中存在一個不等於零的 階子式. 推論 9.8 個 維向量組戚鬧線性無關的充分必要條件是它們所構成的 階矩陣的行列式不等於零. 推論 9.9 當 時, 個 維向量 必線性相關. 思考題：1、 舉例說明下列各命題是錯誤的 (1) 若向量組 線性無關，則 可由 線性表示; (2) 若有不全為零的數 使......>>

問題二：怎樣判斷向量組是線性相關還是線性無關 4個4維向量, 可用它們構成的行列式判斷慶仔神線性相關性 行列式=0, 則線性相關. 否則線性無關. 也可以構成矩陣, 用初等行變換化成階梯形, 非零行數即矩陣的秩, 亦即向量組的秩. 秩 = 向量的個數, 則線性無關. 否則線性相關. r1+r3,r2-r4,r4+2r3 0 2 0 2 0 2 2 -1 -1 0 -1 1 0 1 -1 5 r1-2r4,r2-2r4 0 0 2 -8 0 0 4 -11 -1 0 -1 1 0 1 -1 5 r2-2r1 0 0 2 -8 0 0 0 5 -1 0 -1 1 0 1 -1 5 交換行 -1 0 -1 1 0 1 -1 5 0 0 2 -8 0 0 0 5 所以 r(α1,α2,α3,α4)=4. 向量組線性無關.

Ⅱ 線性代數線性相關與無關的判斷方法

(2)線性無關的鑒別方法擴展閱讀

設A為a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4)。判斷哪些向量一定是線性相關的，並且a1,a2,a3,a4是任意常數。a2,a3,a4秩的斗高確定跟a的取值有關系，首先一行以及2,3，一定是線性相關。a1,a2,a3,a4一定是線性無關的無論a取任何值，秩一定是3的。

考察極大線性無關組的定義，定義里說存在r個向量使得線性無關但是再加進去任何一個向量就變成線性相關的了。這里確定的是加入任何一個向量一定是線性相關的，但是這r個向量卻不一定是線性無關的。

線性無關的定義，對於所有的向量其前面的所有的常數都是0向量組才等於0向量那麼這個向量組是線性無關的。換一句話就是只要存在一個常數不是0那麼這個向量組一定不是線性相關或者說是方程一定不是齊次的`。

已知一個矩陣以及增廣矩陣去證明b向量可以由A向量組線性表示，那麼首先確定的就是A的秩假設為r那麼加進去以後秩還是一樣可以得到一個十字r(a1,a2,a3...at)=r(a1,a2,a3...at,b)容易發現其實就是線性表示的等價。

從極大線性無關組出發假設A的極大線性無關組是a1...ar，那麼增廣矩陣的秩等於A的秩也就是說增廣矩陣是線性相關的。根據定義一個向量組線性無關填進去任何一個向量就變成線性相關的那麼這個新填進去的一定是可以被線性表示的，並且表示方法是唯一的。

Ⅲ 線性相關和線性無關的判斷條件

|行列式|=0是線性相關。

拓展資料

線性相關和線性無關證明方法：

常用方法有兩個：定豎則宏義法結合拆項或重組 || 用秩 。

線性無關：秩等於向量個數，齊次方程組只有零解。

從線性組合來看:

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性相關

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1,k2,...,ks不全為0.

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性無關

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1=k2=...=ks=0.

從線性表出來看:

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥2)線性相關

⟷其中至少有一個向量可以由其他向量線性表出.

如果向量組α1,α2,...,αs(s≥2)線性無關

⟷余冊其中每一個向量都不可以由其他向量盯衫線性表出.

從齊次線性方程組來看:

如果列向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性相關

⟷齊次線性方程組x1α1+x2α2+...+xsαs=0有非零解.

如果列向量組α1,α2,...,αs(s≥1)線性無關

⟷齊次線性方程組x1α1+x2α2+...+xsαs=0隻有零解.

Ⅳ 怎樣判別線性無關與線性相關

定義法令向量組的線性組合為零，研究系數的取值情況，線性組合為零當且僅當系數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的系數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。

線性相關定理

在線性代數里，矢量空間的一組元素中，若沒有矢量可用有限個其他矢量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立，反之稱喊型拍為線性相關。

例如在三維歐幾里得空間R的三個租派矢量(1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)線性無關；但(2，−1，1)，(1，0，1)和(3，−1，2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。

線性無關和線性相關

1、對於任一向量組而言，不是線性無關的就是線性相關的。

2、向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關; 若a≠0, 則說A線性無關。

3、包含零向量的任何向量組是線性相關鄭羨的。

4、含有相同向量的向量組必線性相關。

Ⅳ 線性代數線性相關與無關的判斷方法,函數線性相關與無關的判斷方法

1.線性相關和無關判斷方法：顯式向量組：將向量按列向量構造矩陣A，對A實施初等行變換，將A化成余咐梯矩陣，梯矩陣的非零行數即向量組的秩向量組線性相關&=>。
2.向量組的秩&向量組瞎鏈所含向量的個數。
3.隱式向量組：一般是設向量組的一個線性組合等於0，若能推出其組合系數只能全是0，則向量組線性無豎神純關，否則線性相關。

Ⅵ 線性相關與線性無關怎麼判斷

設矩陣A為m*n階矩陣。矩陣A的秩為r，若r=n，則矩陣列向量組線性無關，若r<n，則矩陣列向量組線性相關。同理若r=m，則矩陣行向量組線性無關，若r<m，則矩陣行向量組線性相關。

向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關; 若a≠0, 則說A線性無關。

包含零向量的任何向量組是線性相關的。含有相同向量的向量組必線性相關。增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)

(6)線性無關的鑒別方法擴展閱讀：

若向量組所包含向量個數等於分量個數時，判定向量組是否線性相關即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關；否則是線性無關的。

正比例關系是線性關系中的特例，反比例關系不是線性關系。更通俗一點講，如果把這兩個變數分別作為點的橫坐標與縱山腔坐標。

其圖象是平面上的一條直線，則這兩個變數之間的關系就是線性關系。即如果可以用一逗此衫個二元一次方程來表達兩個變扒謹量之間關系的話，這兩個變數之間的關系稱為線性關系。

Ⅶ 怎麼判斷是線性相關，還是線性無關，要完整的

1、顯式向量組：

將向量按列向量構造矩陣A，對A實施初等行變換，將A化成梯矩陣，梯矩陣的非零行數即向量組的秩。

向量組線性相關 <=> 向量組的秩 < 向量組所含向量的個數

2、隱式向量組：

一般是設向量組的一個線性組合等於0，若能推出其組合系數只能全是0，則向量組線性無關，否則線性相關。

(7)線性無關的鑒別方法擴展閱讀：

線性相關增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)減少向量的個數，不改變向量的無關性。(注意，原本的向量組是線性無關的）一個向量組線性無關，則在相同位置處都增加一個分量後得到的新向量組仍線性無關。

常數對是否構成直線關系沒影響（假定常數不為0）如：x=k*y+l*z+a（k，l是常數，y，z是變數，a是常數）那麼x與y，z還是線性的，因為項：k*y是一次的，l*z這項也是一次的，常數項a沒影響。

如：x=7*y+8*z是線性的，x=－y－2*z是線性的。x=2*y*z是非線性的（因為2yz這一項不是一次的）。

從二維圖像來講（假定只有y跟x這兩個變數），線性的方程一定是直線的，曲的不行，有轉折的也不行。