三角函數難題解決方法

㈠ 求助：高中數學關於三角函數的難題

(1)sin2A=2sinAcosA sin2B=2sinBcosB
當2sinAcosA=2sinBcosB時，畫一個單位圓，發現在一個三角形中，A、B可以是互余的銳角。所以，當罩困sin2A=sin2B時，△ABC也可以為直角三角形
（2）當有sinA=cosB時，可以出現的東西也要畫一個單位圓，可知A+(π/2)=B也成立，所以（2）也錯
（3）當有sin2A+sin2B+sin2C＜2時，那就分著算：sin2A+sin2B=(0,2)這玩意用極值法能求出旅灶來的)可知C是小於等於零的，即C為鈍角
（4）cos（A－B）cos（B－C）cos（C－A）=cos0當他們ABC差角拆悶扮只有一個不為零的話，其他的也不為零，得多少我不知道，但是我肯定：此時△ABC為正三角形，而且找不到其他的特例。

真夠累的，建議使用更快的方法

㈡ 高中三角函數題目解法

三角函數最值問題類型歸納 三角函數的最值問題是三角函數基礎知識的綜合應用，近幾年的高考題中經常出現。其出現的形式，或者是在小題中單純地考察三角函數的值域問題；或者是隱含在解答題中，作為解決解答題所用的知識點之一；或者在解決某一問題時，應用三角函數有界性會使問題更易於解決（比如參數方程）。題目給出的三角關系式往往比較復雜，進行化簡後，再進行歸納，主要有以下幾種類型。掌握這幾種類型後，幾乎所有的三角函數最值問題都可以解決。 1．y=asinx+bcosx型的函數 特點是含有正餘弦函數，並且是一次式。解決此類問題的指導思想是把正、餘弦函數轉化為只有一種三角函數。應用課本中現成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中tanφ=。例1．當-≤x≤時，函數f(x)=sinx+cosx的（ D ） A、最大值是1，最小值是-1B、最大值是1，最小值是- C、最大值是2，最小值是-2D、最大值是2，最小值是-1 分析：解析式可化為f(x)=2sin(x+)，再根據x的范圍來解即可。 2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數特點是含有sinx, cosx的二次式，處理方式是降冪，再化為型1的形式來解。 例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，並求出y取最小值時的x的集合。 解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+ 當sin(2x+)=-1時，y取最小值2-，此時x的集合。3．y=asin2x+bcosx+c型的函數 特點是含有sinx, cosx，並且其中一個是二次，處理方式是應用sin2x+cos2x=1,使函數式只含有一種三角函數，再應用換元法，轉化成二次函數來求解。 例3．求函數y=cos2x-2asinx-a（a為常數）的最大值M。 解：y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a，令sinx=t，則y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a<-1時，即a>1時, 在t=-1時，取最大值M=a。(2) 若-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，在t=-a時，取最大值M=a2+1-a。(3) 若-a>1，即a<-1時，在t=1時，取大值M=-3a。4．y=型的函數 特點是一個分式，分子、分母分別會有正、餘弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最後整理成這個形式，它的處理方式有多種。 例4．求函數y=的最大值和最小值。 解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+φ)=， ∵ |sin(x+φ)|≤1，∴≤1，解出y的范圍即可。 解法2：表示的是過點(2, 2)與點(cosx, sinx)的斜率，而點(cosx, sinx)是單位圓上的點，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。 解法3：應用萬能公式設t=tan()，則y=，即(2-3y)t2-2t+2-y=0，根據Δ≥0解出y的最值即可。 5．y=sinxcos2x型的函數。 它的凳備特點是關於sinx，cosx的三磨粗陵次式（cos2x是cosx的二次式）。因為高中數學不涉及三次函數的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。但需要注意是否符合應用的條件（既然題目讓你求，多半是符合使用條件的，但做題不能少這一步），及等號是否能取得。 例5．若x∈(0,π)，求函數y=(1+cosx)·sin的最大值。 解：y=2cos2·sin>0, y2=4cos4sin2=2·cos2·cos2·2sin2所以0<y≤。註：本題的角和函數很難統瞎戚一，並且還會出現次數太高的問題。 6．含有sinx與cosx的和與積型的函數式。 其特點是含有或經過化簡整理後出現sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 進行轉化，變成二次函數來求解
</A>

㈢ 如何用三角函數解決一些實際問題

同角三角函數的基本關系
倒數關系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的關系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方關系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
平常針對不同條件的常用的兩個公式
sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1
一個特殊公式
（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 證明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）
銳角三角函數公式
正弦： sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊 餘弦：cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊 正切：tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊 餘切：cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊
二倍角公式
正弦 sin2A=2sinA·cosA 餘弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推導 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/漏孝2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上清缺述兩式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）。 其中R=2^（n-1） 證明：當sin（na）=0時，sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】 這說明sin（na）=0與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】答搜辯=0是同解方程。 所以sin（na）與｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比。 而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ），所以 ｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】 與sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（系數與n有關 ，但與a無關，記為Rn）。 然後考慮sin（2n a）的系數為R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易證R2=2，所以Rn= 2^（n-1）
半形公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化積
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
兩角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
積化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
雙曲函數
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等： sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二： 設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系： sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三： 任意角α與 -α的三角函數值之間的關系： sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系： sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根號,包括{……}中的內容
誘導公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式

(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)²，第二個除(cosα)²即可 (4)對於任意非直角三角形,總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 證: A+B=π-C tan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得證 同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈Z)時,該關系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結論 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重點三角函數 csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)

編輯本段內容規律
三角函數看似很多，很復雜，但只要掌握了三角函數的本質及內部規律就會發現三角函數各個公式之間有強大的聯系。而掌握三角函數的內部規律及本質也是學好三角函數的關鍵所在. 1、三角函數本質：
[1] 根據右圖，有 sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 深刻理解了這一點，下面所有的三角公式都可以從這里出發推導出來，比如以推導 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例： 推導： 首先畫單位圓交X軸於C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。 A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換(a+b)/2與(a-b)/2） 單位圓定義 單位圓 六個三角函數也可以依據半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是： 圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設一個過原點的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ，並與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等於 cos θ 和 sin θ。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種查看無限個三角形的方式。 兩角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
http://ke..com/view/959840.htm
網路中寫得還蠻詳細的，

㈣ 如何用三角函數解決實際問題

tana=sina/cosa，tanα=1/cotα

1、設α為任意角，終邊相同的角的同一三侍畝角函數的值相等：tan（2kπ+α）=tanα

2、設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：tan（π+α）=tanα

3、任意角α與-α的三角函數值之間的關系：tan（－α）=－tanα

4、利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關系：tan（π－α）=－tanα

5、利用公式老帆森一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關系：tan（2π－α）=－tanα

例題解析：

正切函數圖像的性質

定義域：{x|x≠(π/2)+kπ，k∈Z}

值域：R

奇偶性：有，為奇函數

周期性：有

最小正周期：kπ，k∈Z

單調性：有

單調增區間：(-π/2+kπ，+π/2+kπ)，k∈Z

單調減區間：無

六種基本函數

函數名：正弦函數餘弦函數正切函數餘切函數正割函數餘割函數

正弦函數sinθ=y/r

餘弦函數轎簡cosθ=x/r

正切函數tanθ=y/x

餘切函數cotθ=x/y

正割函數secθ=r/x

餘割函數cscθ=r/y

㈤ 如何用三角函數解決問題。

特殊三角函數值一般指在30°，45°，60°等角的三角函數值。這些角度的三角函數值是經常用到的。並且利用兩角和與慧塌差的三角函數公式，可以求出一些其他角度的三角升敏函數值。

特殊角的三角函數值：sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0；sin30°=1/2，cos30°=根號3/2，tan30°=根號3/3；sin45°=根號2/2，cos45°=根號2/2，tan45°=1；sin60°=根號3/2，cos60°=1/2，tan60°=根號3；sin90°=1，cos90°=0。

單位圓定義：

也可以依據半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於直角三角形。

但是單位圓定義的確允許前笑圓三角函數對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數都包含了。根據勾股定理，單位圓的方程是：對於圓上的任意點（x,y），x²+y²=1。

㈥ 關於高中三角函數的問題 盡快解決

sec csc念：塞克、柯塞克

六個關系有一個六角圖你們老師沒教嗎？

sin平方 + cos平中老方 = 1
tan平方 + 1 = sec平方
cot平方 + 1 = csc平方
sin*csc=1
cos*sec=1
tan*cot=1
sin/cos=tan
cos/sin=cot

沒別的靈丹銀氏妙葯，惟一方法就是把公式背熟練

不然後的倍角、半形什麼亂七八糟的東西多了，你看得更頭痛了。大學里的微積分你就更暈了，賣搏升呵呵~~~~~~~~~

㈦ 三角函數問題求解

這巧枯兩個都是和差化積公式，是恆等式。從右向左推導，就可以了。
1.
2cos[(x1+x2)/大顫2]sin[(x1-x2)/2]
=sin[(x1-x2)/2]cos[(x1+x2)/2]+cos[(x1-x2)/2]sin[(x1+x2)/2]
+sin[(x1-x2)/2]cos[(x1+x2)/2]-cos[(x1-x2)/2]sin[(x1+x2)/2]
=sin[(x1-x2)/2 +(x1+x2)/2]+sin[(x1-x2)/2 -(x1+x2)/2]
=sin(2x1/2)+sin(-2x2/2)
=sinx1-sinx2
sinx1-sinx2=2cos[(x1+x2)/2]sin[(x1-x2)/2]
第2題推導採用滾寬敗同樣的方法推導即可。

㈧ 怎樣用三角函數解決實際生活問題

y=sin（wx+φ）將wx+φ代入到標准正弦函數中去解。

wx+φ=π/2+kπ（不是2kπ) 解出x即得

cos 是wx+φ=0+kπ

對於運謹正弦型函數y=Asin(ωx+Φ）,令ωx+Φ = kπ+ π/2 解出x即可求出對稱軸,令ωx+Φ = kπ，解出的x就是對稱中心的橫坐標,縱坐標為0。（若函數是y=Asin(ωx+Φ）+ k 的形式,那此處的縱坐標為k ）

餘弦型，正切型函數類似。

(8)三角函數難題解決方法擴展閱讀

在正切函數的圖像中，在角kπ 附近變化緩慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的時候變化迅速。正切函數的圖像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 （k+ 1/2）π 的時候函數接近正無窮，而從右側接近 （k+ 1/2）π 的時候函數接近負無窮。

對於大於碧老2π或小於等於2π的角度，可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和餘弦變成了周期為2π的周期函旁慧基數：對於任何角度θ和任何整數k。

周期函數的最小正周期叫做這個函數的「基本周期」。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是全圓，也就是 2π弧度或 360°；正切或餘切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和餘弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函數的定義如圖所示。

㈨ 三角函數難題

化簡一下 sinx^2+2-1=sinx^2+1,所以最大值為 2