代數式構造不等式解決方法

㈠ 解不等式組的步驟

解不等式組，可以先把其中的不等式逐條算出各自的解集，然後分別在數軸上表示出來。以下是解不等式組的方法：

1、若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同小取小」。

2、若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同大取大」。

3、若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時一般表示為a<x<b，或a≤x≤b，此乃「相交取中」。

4、若兩個未知數的解集在數軸上向背，那麼不等式組的解集就是空集，不等式組無解，此乃「向背取空」。

解方程依據

1、移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘。

2、等式的基本性質：

（1）等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。

（2）等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。

㈡ 如何解不等式

解不等式組，可以先把其中的不等式逐條算出各自的解集，然後分別在數軸上表示出來。
以兩條不等式組成的不等式組為例，
①若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同小取小」
②若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同大取大」
③若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時一般表示為a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃「相交取中」
④若兩個未知數的解集在數軸上向背，那麼不等式組的解集就是空集，不等式組無解。
5若兩個未知數的解集出現如：x≤1,y≥1，則解只有1.
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解．
分析：對(1)小題中要明白「不小於」即「大於或等於」，用符號表示即為「≥」；(2)小題非負整數，即指正數或零中的整數，所以此題的不等式的解必須是正整數或零．在求解過程中注意正確運用不等式性質．
解：
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因為不大於4的非負整數有0，1，2，3，4五個，所以不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解是4，3，2，1，0．
例5 解關於x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系數的不等式與解數字系數不等式的方法、步驟都是類似的，只是在求解過程中常要對字母系數進行討論，這就增加了題目的難度．此類問題主要考察了對問題的分析、分類的能力：它不但要知道什麼時候該進行分類討論，而且還要求能准確地分出類別來進行討論(結合例題解法再給與說明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此時要依x字母系數的不同取值，分別求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
當m＞n時，n-m＜0，∴x＜n+m；
當m＜n時，n-m＞0，∴x＞n+m；
當m=n時，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式無解．這是因為此時無論x取任何值時，不等式兩邊的值都為零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解關於x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由於x是未知數，所以把a看作已知數，又由於a可以是任意有理數，所以在應用同解原理時，要區別情況，分別處理．
解：去括弧，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移項，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合並同類項，得
(a+3)x≥3-3a
(3)當a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
這個不等式無解．
說明：在處理字母系數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其它字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的系數化為1時，應作合理的分類，逐一討論．
例7 m為何值時，關於x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正數．
分析：根據題意，應先把m當作已知數解方程，然後根據解的條件列出關於m的不等式，再解這個不等式求出m的值或范圍．注意：「非正數」是小於或等於零的數．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正數，所以
例8 若關於x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非負數，(2)負數，試確定k的取值范圍．
分析：要確定k的范圍，應將k作為已知數看待，按解一元一次方程的步驟求得方程的解x(用k的代數式表示之)．這時再根據題中已知方程的解是非負數或是負數得到關於k的不等式，求出k的取值范圍．這里要強調的是本題不是直接去解不等式，而是依已知條件獲得不等式，屬於不等式的應用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非負數，所以
(2)已知方程的解是負數，所以
例9 當x在什麼范圍內取值時，代數式-3x+5的值：
(1)是負數 (2)大於-4
(3)小於-2x+3 (4)不大於4x-9
分析：解題的關鍵是把「是負數」，「大於」，「小於」，「不大於」等文字語言准確地翻譯成數字元號．
解：(1)根據題意，應求不等式
-3x+5＜0的解集
解這個不等式，得
(2)根據題意，應求不等式
-3x+5＞-4的解集
解這個不等式，得
x＜3
所以當x取小於3的值時，-3x+5的值大於-4．
(3)根據題意，應求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以當x取大於2的值時，-3x+5的值小於-2x+3．
(4)根據題意，應求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以當x取大於或等於2的值時，-3x+5的值不大於4x-9．
例10
分析：
解不等式，求出x的范圍．
解：
說明：應用不等式知識解決數學問題時，要弄清題意，分析問題中數量之間的關系，正確地表示出數學式子．如「不超過」即為「小於或等於」，「至少小2」，表示不僅少2，而且還可以少得比2更多．
例11 三個連續正整數的和不大於17，求這三個數．
分析：
解：設三個連續正整數為n-1，n，n+1
根據題意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17
所以有四組：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
說明：解此類問題時解集的完整性不容忽視．如不等式x＜3的正整數解是1、2，它的非負整數解是0、1、2．
例12 將18.4℃的冷水加入某種電熱淋浴器內，現要求熱水溫度不超過40℃，如果淋浴器每分鍾可把水溫上升0.9℃，問通電最多多少分鍾，水溫才適宜？
分析：設通電最多x分鍾，水溫才適宜．則通電x分鍾水溫上升了0.9x℃，這時水溫是(18.4+0.9x)℃，根據題意，應列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通電最多24分，水溫才適宜．
說明：解答此類問題時，對那些不確定的條件一定要充分考慮，並「翻譯」成數學式子，以免得出失去實際意義或不全面的結論．
例13 礦山爆破時，為了確保安全，點燃引火線後，人要在爆破前轉移到300米以外的安全地區．引火線燃燒的速度是0.8厘米/秒，人離開速度是5米/秒，問引火線至少需要多少厘米？
解：設引火線長為x厘米，
根據題意，列不等式，得
解之得，x≥48(厘米)
答：引火線至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一個整體y，由於當-4＜y＜4時，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，
巧解一元一次不等式
怎樣才能正確而迅速地解一元一次不等式？現結合實例介紹一些技巧，供參考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因為0.25×4=1，所以兩邊同乘以4要比兩邊同除以0.25來得簡便．
解 兩邊同乘以4，得x＞42．
2．巧用對消法
例2 解不等式
解 原不等式變為
3．巧用分數加減法法則
故 y＜-1．
4．逆用分數加減法法則
解 原不等式化為
，
5．巧用分數基本性質
例5 解不等式
約去公因數2後，兩邊的分母相同；②兩個常數項移項合並得整數．
例6 解不等式
分析 由分數基本性質，將分母化為整數和去分母一次到位可避免繁瑣的運算．
解 原不等式為
整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，
思考：例5可這樣解嗎？請不妨試一試．
6．巧去括弧
去括弧一般是內到外，即按小、中、大括弧的順序進行，但有時反其道而行之即由外到內去括弧往往能另闢捷徑．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括弧較繁，注意到左邊各項均含有因式x-3而逆用分配律可速解此題．
解 原不等式化為
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整體合並
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 視2x-1為一整體，去大、中括弧，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整體合並，得-6(2x-1)＞14，
9．巧拆項
例10 解不等式
分析 將-3拆為三個負1，再分別與另三項結合可巧解本題．
解 原不等式變形為
得x-1≥0，故x≥1．
練習題
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
一元一次不等式及一元一次不等式組
一. 填空題（每題3分）
1. 若 是關於 的一元一次不等式,則 =_________.
2. 不等式 的解集是____________.
3. 當 _______時,代數式 的值是正數.
4. 當 時,不等式 的解集時________.
5. 已知 是關於 的一元一次不等式,那麼 =_______,不等式的解集是_______.
6. 若不等式組 的解集為 ,則 的值為_________.
7. 小於88的兩位正整數,它的個位數字比十位數字大4,這樣的兩位數有_______個.
8. 小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件,如果每枝鋼筆5元,每個筆記本2元,那麼小明最多能買________枝鋼筆.
二. 選擇題（每題3分）
9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( )
A. B.
C. D.
10.4與某數的7倍的和不大於6與該數的5倍的差,若設某數為 ,則 的最大整數解是( )
A.1 B.2 C.-1 D0
11.若代數式 的值不大於3,則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.某種商品的進價為800元,出售時標價為1200元,後來由於商品積壓,商品准備打折出售,但要保證利潤率不低於5%,則至多可打( )折
A.6 B.7 C.8 D.9
13.若不等式組 的解集是 ,則 的取值范圍是( )
A. B . C. D.
14.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
15.若不等式組 無解,則不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
16.如果 那麼 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
三. 解答題
17.解下列不等式組（每題5分）
1) 2)
18.當 在什麼范圍內取值時,關於 的方程 有:
(1) 正數解;（6分）
(2) 不大於2的解.（6分）
19.如果關於 的不等式 正整數解為1,2,3,正整數 應取怎樣的值?（10分）
20.某自行車保管站在某個星期日接受保管的自行車共有3500輛.其中變速車保管費是每輛一次0.5元,一般車保管費是0.3元.
(1) 若設一般車停放的輛數為 ,總保管費的收入為 元,試寫出 與 的關系式;（5分）
(2) 若估計前來停放的3500輛自行車中,變速車的輛數不少於25%,但不大於40%,試求該保管站這個星期日保管費收入總數的范圍. （5分）
21.某旅遊團有48人到某賓館住宿,若全安排住賓館的底層,每間住4人,房間不夠;每間住5人,有一個房間沒有住滿5人.問該賓館底層有客房多少間?（10分）
答案：
一． 填空題
1. m＝1 2. 3. 4. 5.
6.2 7.5 8.13
二． 選擇題
9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A
三． 解答題
17.1） 2）
18.1） 2）
19.
20.1）
2）
21.設該賓館有x間宿舍； 則x取10或11.
不等式組
1、2X+3＞0
-3X+5＞0
2、2X＜-1
X+2＞0
3、5X+6＜3X
8-7X＞4-5X
4、2（1+X）＞3（X-7）
4（2X-3）＞5（X+2）
5、2X＜4
X+3＞0
6、1-X＞0
X+2＜0
7、5+2X＞3
X+2＜8
8、2X+4＜0
1/2（X+8）-2＞0
9、5X-2≥3（X+1）
1/2X+1＞3/2X-3
10、1+1/2X＞2
2（X-3）≤4
3×60 <= x <= 3×70
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
-4x>3
x+5>-1
4x<3x-5
1/7x<6/7
-8x>10
x=2>6
2x<10
x-2>o.1
-3x<10
x+3>-1
4x>-12
3(2x+5)>2(4x+3)
10_4(x-4)<2(X-1)
5x+1/6-2>x-5/4
2x+5<10
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
x-7>26
3x<2x+1
2/3x>50
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
23.7x+4y=67
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
10.5x+7y=41
5x+8y=44
11.7x+5y=54
3x+4y=38
12.x+8y=15
4x+y=29
13.3x+6y=24
9x+5y=46
14.9x+2y=62
4x+3y=36
15.9x+4y=46
7x+4y=42
16.9x+7y=135
4x+y=41
17.3x+8y=51
x+6y=27
18.9x+3y=99
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47

㈢ 高中數學不等式證明的八種方法

不等式證明知識概要

河北/趙春祥

不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。

一、要點精析

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

二、難點突破

1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。

2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。

4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。

5.在三角換元中，由於已知條件的限製作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。

6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

（摘自：《考試報·高二數學版》2004年/07月/20日）

1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則

= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，

（因為 ， ），
所以 。
10、三角代換法
藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
例10、已知： ， ，求證： 。
證明：設 ，則 ；設 ，則
所以 。
11、判別式法
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。
例11、設 ，且 ，求證： 。
證明：設 ，則
代入 中得 ，即
因為 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、標准化法
形如 的函數，其中 ，且
為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即
。
標准化定理：當A+B為常數時，有 。
證明：記A+B=C，則
，
求導得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的極大值點必在A=B時取得
由於當A=B時， ，故得不等式。
同理，可推廣到關於 個變元的情形。
例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證： 。
證明：由標准化定理得，當A=B=C時， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。
例13（1956年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證：
。
證明：由海倫公式 ，
其中 。
兩邊平方，移項整理得

而 ，所以 。
14、函數極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。
例14、設 ，求證： 。
證明：
當 時， 取最大值 ；
當 時， 取最小值－4。
故 。
15、單調函數法
當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。
例15、 ，求證： 。
證明：當 時， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函數，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。
例16、求證： 。
證明：設 ，則
故 。
17、分解法
按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求證： 。
證明：因為

所以 。
18、構造法
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恆等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。
例18、已知： ， ，求證： 。
證明：依題設，構造復數 ， ，則 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式來證明某些不等式。
排序不等式：設 ， ，則有
，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。
簡記作：反序和 亂序和 同序和。
例19、求證： 。
證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。
20、幾何法
藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。
例20、已知： ，且 ，求證： 。
證明：以 為斜邊， 為直角邊作
延長AB至D，使 ，延長AC至E，使 ，過C作AD的平行線交DE於F，則 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。
在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。

參考文獻
[1]李玉琪主編•初等代數研究•北京：中國礦業大學出版社，1993
[2]方初寶等編•數學猜想法淺談•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988
[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983