分解因式問題解決方法

① 因式分解的方法與技巧

因式分解的方法與技巧如下：

因式分解並不難，分解方法要記全，各項若有公因式，首先提取莫遲緩，各項若無公因式，
套用公式來試驗。

如果是個二項式，平方差公式要領先，如果是個三項式，完全平方想周
全，以上方法都不行，運用分組看一看，面對二次三項式，十字相乘求方便，能分解的再分
解，不能分解是答案。

把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形
式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

分解一般步驟

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

口訣：先提首項負號，再看有無公因式，後看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

② 分解因式的方法與技巧是什麼

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

注意事項

1、等式左邊必須是多項式;

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;

4、分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

③ 如何分解因式 3種方法來分解因式

目錄方法1：分解數字和基本的代數式1、對單個數字進行因式分解的定義。2、能因式分解的變數表達式。3、利用乘法分配律分解代數方程式。方法2：分解二次方程1、確定方程是二次方程 (ax + bx + c = 0)。2、二次方程系數中，a = 1，可以因式分解成(x+d )(x+e)，其中d × e = c，並且d + e = b。3、可能的話，用試驗法分解因式。4、配方法。5、利用因式分解解二次方程。6、檢查結果，有時解出的結果並不是方程的解。在數學中，「因式分解」是指將一個數字或者表達式分解成幾個數或者幾個表達式的積的形式。因式分解是解決一些代數問題的常用方法，正確的進行因式分解是求解二次方程和其他多項式的基礎。因式分解可以簡化代數式，從而方便求解，而且還可以幫助你排除可能的答案，這要比直接動手計算再排除要快得多。
方法1：分解數字和基本的代數式
1、對單個數字進行因式分解的定義。因式分解的概念很簡單，但是在實際操作中，對復雜的方程進行因式分解卻並不容易。因此，先從單個數字的因式分解開始，然後再應用到基本的代數式中，最後再來解決復雜的問題。一個數字的因子，是相乘之後的積為該數字的幾個數。比如，12的因子是1, 12, 2, 6, 3, 4。因為1 × 12, 2 × 6, and 3 × 4 的結果都是12。也可以這樣理解，即一個數字的因子，是能整除這個數的數字。
你能求出60的所有因子嗎？因為60可以被很多數字整除，所以60是很常用的一個數字（比如1小時有60分鍾，1分鍾有60秒，等等）。60的因子是1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
2、能因式分解的變數表達式。就好像數字可以被分解一樣，變數的常數系數也可以被分解。因此，你需要先找到變數的系數。對變數進行分解是簡化代數方程的重要環節。比如，12x可以看做是12和x的乘積。我們可以將12x寫作3(4x), 2(6x), 等等，只要寫成12的因數相乘的形式即可。我們還可以將12的因數再進一步分解，換句話說，並不是分解到3(4x)或2(6x)就結束了，而是繼續將4x和6x分解成3(2(2x)和2(3(2x)。顯然，兩個表達式的結果是一樣的。
3、利用乘法分配律分解代數方程式。利用分解數字和帶系數的變數的方法，你可以將數字和帶系數的變數分解成含有相同因數的形式，從而簡化表達式。通常，為了盡可能的簡化，我們需要求兩個數的最大公因數。而之所以可以這樣化簡的根據，是乘法的分配律，即對於任意的a, b, c, a(b + c) = ab + ac。舉例來說。對12 x + 6，進行因式分解。首先，先求出12x和6的最大公因數。6是最大的既可以整除12又可以整除6的數，所以可以化簡成6(2x + 1)。
對於負數和分數也一樣適用。比如，x/2 + 4，可以寫成1/2(x + 8),，-7x + -21可以寫成-7(x + 3)。
方法2：分解二次方程
1、確定方程是二次方程 (ax + bx + c = 0)。二次方程的標准形式是ax + bx + c = 0，其中a, b, c是常數，並且a不為0(a可以是1或-1)。如果方程有1個變數(x)，並且有1個或多個x的平方，你可以將等號一側的變數移到等號另一端，讓等號一端為0，另一端有ax等。比如，代數方程。5x + 7x - 9 = 4x + x - 18可以簡化成 x + 6x + 9 = 0，轉化成標准二次方程形式。
方程中有更高次的x項，比如x，x等。這樣的方程是三次方程或四次方程，以此類推，除非大於2次的x項可以約去，否則這樣的方程不是二次方程。
2、二次方程系數中，a = 1，可以因式分解成(x+d )(x+e)，其中d × e = c，並且d + e = b。如果二次方程的形式是x + bx + c = 0 (換句話說，x的系數為1)，那麼這樣的方程可能（不保證）分解成這樣的形式。找到兩個數，它們的積是c，和是b，當你找到這樣的兩個數d和e之後，你就可以得到如下： (x+d)(x+e)。這兩項的乘積就是原二次方程，換句話說，這兩項就是二次方程的因式。比如，方程x + 5x + 6 = 0。 3和2的乘積是6，3和2的和是5，所以方程可以寫成(x + 3)(x + 2)。
根據具體方程的不同，最終結果的形式也有不同：如果方程的形式是x-bx+c，那麼結果的形式是：(x - _)(x - _)
如果方程的形式是x+bx+c，那麼結果的形式是：(x + _)(x + _)
如果方程的形式是x-bx-c，那麼結果的形式是：(x + _)(x - _)
注意：上式空格中的數字可以是分數或小數，比如方程x + (21/2)x + 5 = 0的因式分解結果是 (x + 10)(x + 1/2)
3、可能的話，用試驗法分解因式。信不信由你，對於一些簡單的二次方程，一種簡單的因式分解方法就是試驗，將你認為可能的因式帶入，直到你找到正確的因式為止。這樣的方法叫試驗法。如果方程的形式是ax+bx+c且a>1，最終的因式分解的結果的形式可能是(dx +/- _)(ex +/- _)，其中d和e是非零常數，且乘積為a。d或e可以為1（或者都為1），對於這個並沒有硬性規定。如果d和e都為1，那麼你可以使用上文的方法進行因式分解。舉個例子來說明。方程3x - 8x + 4，第一眼看上去很嚇人。然後，當我們意識到3的因式只有2個（3和1）時，問題就變得簡單了，因為我們知道最後的形式一定是(3x +/- _)(x +/- _)。在本例中，空格處都填-2，即為正確結果。-2 × 3x = -6x 和-2 × x = -2x；-6x和-2x的和是-8x；-2 × -2 = 4，所以，括弧內的因式相乘的結果就是原式。
4、配方法。某些情況下，利用一些公式，二次方程可以很快很容易的因式分解。利用公式x + 2xh + h = (x + h)，如果一個二次方程中，b的值是c的平方根的兩倍，那麼方程就可以轉化成(x + (sqrt(c)))的形式。比如，方程x + 6x + 9符合上述要求。3 =9，3 × 2= 6。所以，方程的因式分解結果是(x + 3)(x + 3)，或者(x + 3)。
5、利用因式分解解二次方程。不論你的因式分解結果是什麼，因式分解之後，你可以令每個因式的結果為0，從而解出x的值。由於你要找的x是能夠讓方程為0的值，所以一個能夠讓因式為0的x的值就是你要求的x。讓我們回到方程x + 5x + 6 = 0中。因式分解的結果是(x + 3)(x + 2) = 0。如果任意一個因式為0，那麼整個方程的結果也為0，所以可能的x的解是讓(x + 3) 和(x + 2)等於0的值。解得的結果分別是-3和-2。
6、檢查結果，有時解出的結果並不是方程的解。當你求出了x的可能的值之後，將它們分別代入原方程，檢查一下它們是否是方程的解。有時，你求出來的結果可能無法讓原方程的值為0，這樣的值要捨去。將-2和-3代入方程x + 5x + 6 = 0。首先，代入-2:(-2) + 5(-2) + 6 = 0
4 + -10 + 6 = 0
0 = 0。正確，所以-2是方程的解。
再代入-3:(-3) + 5(-3) + 6 = 0
9 + -15 + 6 = 0
0 = 0。正確，所以-3也是方程的解。

④ 分解因式的方法與技巧

用因式分解法解一元二次方程的一般步驟:

一、將方程右邊化為( 0)

二、方程左邊分解為(兩個 )因式的乘積

三、令每個一次式分別為( 0)得到兩個一元一次方程

四、兩個一元一次方程的解，就是所求一元二次方程的解。

(4)分解因式問題解決方法擴展閱讀

解方程的方法：

1、估演算法：剛學解方程時的入門方法。直接估計方程的解，然後代入原方程驗證。

2、應用等式的性質進行解方程。

3、合並同類項：使方程變形為單項式

4、移項：將含未知數的項移到左邊，常數項移到右邊

例如：3+x=18

解：x=18-3

x=15

⑤ 因式分解的方法與技巧有哪些

把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，因式分解的方法有十字相乘法、提公因式法、待定系數法等。

十字相乘法

1.十字相乘法：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式運算來進行因式分解。

2.用十字相乘法分解公因式的步驟：

(1)把二次項系數和常數項分別分解因數;

(2)嘗試十字圖，使經過十字交叉線相乘後所得的數的和為一次項系數;

(3)確定合適的十字圖並寫出因式分解的結果;

(4)檢驗。

提公因式法

1.提公因式法：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2.提取公因式法分解因式的解題步驟

(1)提公因式。把各項中相同字母或因式的最低次冪的積作為公因式提出來；當系數為整數時，還要把它們的最大公約數也提出來，作為公因式的系數；當多項式首項符號為負時，還要提出負號

(2)用公因式分別去除多項式的每一項，把所得的商的代數和作為另一個因式，與公因式寫成積的形式。

待定系數法

1.待定系數法：待定系數法是初中數學的一個重要方法。用待定系數法分解因式，就是先按已知條件把原式假設成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數可先用字母表示，它們的值是待定的，由於這些因式的連乘積與原式恆等，然後根據恆等原理，建立待定系數的方程組，最後解方程組即可求出待定系數的值。

2.使用待定系數法解題的一般步驟是：

(1)確定所求問題含待定系數的一般解析式；

(2)根據恆等條件，列出一組含待定系數的方程；

(3)解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決。

因式分解口訣

兩式平方符號異，因式分解你別怕。

兩底和乘兩底差，分解結果就是它。

兩式平方符號同，底積2倍坐中央。

因式分解能與否，符號上面有文章。

同和異差先平方，還要加上正負號。

同正則正負就負，異則需添冪符號。

因式分解常用公式

1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3.立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5.完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6.完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7.三項完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8.三項立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

⑥ 分解因式的方法與技巧 如何分解因式有什麼技巧

1、提取公因式法：最基本也是最簡單地方法，將多項式中每個單項式都含有的相同的字母提取出來，變成相乘的形式。

2、平方差法：如果兩項相減且每一項都是平方項，那麼就可以通過平方差公式進行分解。

3、完全平方法：如果多項式含有三項，且滿足完全平方的形式，就可以通過完全平方公式進行分解了。

4、十字相乘法：最經典的方法，也是最常用的，分解其中的兩項，通過十字相乘再相加，如果和第三項相等，就可以分解因式了。

5、分組分解法：針對項數比較多的情況，相對來說比較復雜，先根據式子的特點進行分組，再講不同組進行合並，需要有足夠的觀察力。

⑦ 因式分解的方法與技巧

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

(7)分解因式問題解決方法擴展閱讀

1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括弧，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然後再抽出公因子；

6、括弧內的首項系數一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；

⑧ 因式分解的方法有哪些

問題一：什麼叫因式分解?分解因式的方法有哪些? 定義：
把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。
方法：1．提公因式法。
2．公式法。
3．分組分解法。
4．湊數法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5．組合分解法。
6．十字相乘法。
7．雙十字相乘法。
8．配方法。
9．拆項補項法。
10．換元法。
11．長除法。
12．求根法。
13．圖象法。
14．主元法。
15．待定系數法。
16．特殊值法。
17．因式定理法。
希望幫到你 望採納 謝謝 加油

問題二：因式分解有哪幾種方法？ 1.提公因式
2.應用公式
3.分組分解
4.拆項和添項
5.十字相乘（二元二撫也使用）
6.換元法
7.看未知為已知（a+b看為整體）
8.余數定理
9.待定系數法
10.輪換式和對稱式

問題三：分解因式有哪些方法技巧？ ．初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法．而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等．
⑴提公因式法
①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.
②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括弧外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出「－」號，使括弧內的第一項的系數是正的.
⑵運用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)
⑶分組分解法
分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.
分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.
⑷拆項、補項法
拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時，那麼
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a \-----/b ac＝k bd＝n
c /-----\d ad＋bc＝m
※ 多項式因式分解的一般步驟：
①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；
②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；
③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；
④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.
(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。...>>

問題四：因式分解有哪幾種？？計算方法是怎樣的 分組分解法
分組分解是分解因式的一種簡潔的方法，下面是這個方法的詳細講解。
能分組分解的多項式有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：原式=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
說明：系數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。
2． x2-x-y2-y
解法：原式=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
三一分法，例：a2-b2-2bc-c2
原式=a2-(b+c)2
=(a-b-c)(a+b+c)
十字相乘法
十字相乘法在解題時是一個很好用的方法，也很簡單。
這種方法有兩種情況。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
例1：x2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那麼kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
例2：分解7x2-19x-6
圖示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3
因為-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
所以，原式=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：分二次項，分常數項，交叉相乘求和得一次項。
例3：6X2+7X+2
第1項二次項（6X2）拆分為：2×3
第3項常數項（2）拆分為：1×2
2（X）3（X）
12
對角相乘：1×3+2×2得第2項一次項（7X）
縱向相乘，橫向相加。
十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac為完全平方數，則此式可以被十字相乘法分解。
與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法，但雙十字相乘法相對要難一點，不過也可以學一學。
拆添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
配方法
對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-......>>