二次根式證明題解決方法

1. （急）二次根式是怎麼化解的！！！！

你說的是關於開根號的問題，用「短除法」來做。

例：根號80最終是將80分解成4*4*5，這里4有兩個，則將1個4提到根號外面，這樣根號裡面剩下5。

如果一下子不知道80可分解成4*4*5怎麼辦？

最簡單的方法是：80用2來除（一個數末位是雙數則可用2來整除，80的末位是0），這樣80÷2=40，即將80分解成了40*2；接下來馬上發現40也能被2整除，於是40÷2=20，現已經將80分解成了20*2*2；接下來發現20能被2整除，即20÷2=10，10還能被2整除（10÷2=5）；好了，最終結果將80分解成了5*2*2*2*2，相同的兩個數提一個到根號外面去，即將2*2提外面去，而2*2=4，所以也就是將4提出，根號裡面剩下5。

幾點注意：

1、除了上面說的末位是雙數可用2來整除的規律外，還有：一個數每一位上的數相加得到的數如果能被3整除，則這個數也能被3整除，例：126這個數每一位上數字相加，即1+2+6=9,9能被3整除，所以126也能被3整除。一個數末位是5，則這個數能被5整除，例：1345等等。

2、只能將分解後兩兩相同的數提1個到根號外面去。

3、像分解後是3*3*5*5*7,有一個3與一個5可以提出去，在外面的數互相乘，即3*5=15，你只要在根號外面寫15就行了。

2. 二次根式的應用

二次根式的應用主要體現在兩個方面利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題和用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。

二次根式：

如果一個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。a可以是具體的數，也可以是含有字母的代數式。關於二次根式概念，應注意：被開方數可以是數，也可以是代數式。被開方數為正或0的，其平方根為實數；被開方數為負的，其平方根為虛數。

當a≥0時，√a表示a的算術平方根；當a小於0時，√a的值為純虛數（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數，則方程有兩個共軛虛根）。判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數的每一個因數（或因式）的指數都小於根指數2，且被開方數中不含有分母，被開方數是多項式時要先因式分解後再觀察。

3. 二次根式的解題方法

一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。當a＞0時，√a表示a的算數平方根,√0=0
[編輯本段]II.二次根式√ā的簡單性質和幾何意義
1）a≥0
;
√ā≥0
[
雙重非負性
]
2）（√ā）^2=a
（a≥0）[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式]
3)
√(a^2+b^2)表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。
[編輯本段]III.二次根式的性質和最簡二次根式
1）二次根式√ā的化簡
a(a≥0）
√ā=|a|={
-a(a＜0)
2）積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
3）最簡二次根式
條件：
（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；
（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
[編輯本段]IV.二次根式的乘法和除法
1
運演算法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
二數二次根之積，等於二數之積的二次根。
2
共軛因式
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
[編輯本段]V.二次根式的加法和減法
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並
[編輯本段]Ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
[編輯本段]VII.分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

4. 二次根式的解法

二次根式的化簡與計算的策略與方法
二次根式是初中數學教學的難點內容,讀者在掌握二次根式有關的概念與性質後,進行二次根式的化簡與運算時,一般遵循以下做法：
①先將式中的二次根式適當化簡
②二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行,運算中要運用公式 （ , ）
③對於二次根式的除法,通常是先寫成分式的形式,然後通過分母有理化進行運算．
④二次根式的加減法與多項式的加減法類似,即在化簡的基礎上去括弧與合並同類項．
⑤運算結果一般要化成最簡二次根式．
化簡二次根式的常用技巧與方法
二次根式的化簡是二次根式教學的一個重要內容,對於二次根式的化簡,除了掌握基本概念和運演算法則外,還要掌握一些特殊的方法和技巧,會收到事半功倍的效果,下面通過具體的實例進行分類解析．
1．公式法
【例1】計算① ； ②
【解】①原式
②原式
【解後評注】以上解法運用了「完全平方公式」和「平方差公式」,從而使計算較為簡便．
2．觀察特徵法
【例2】計算：
【方法導引】若直接運用根式的性質去計算,須要進行兩次分母有理化,計算相當麻煩,觀察原式中的分子與分母,可以發現,分母中的各項都乘以 ,即得分子,於是可以簡解如下：
【解】原式 ．
【例3】 把下列各式的分母有理化．
（1） ；（2） （ ）
【方法導引】①式分母中有兩個因式,將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等,計算將很繁,觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子,這就啟示我們可以用如下解法：
【解】①原式

【方法導引】②式可以直接有理化分母,再化簡．但是,不難發現②式分子中 的系數若為「1」,那麼原式的值就等於「1」了!因此,②可以解答如下：
【解】②原式


3．運用配方法
【例4】化簡
【解】原式

【解後評注】注意這時是算術根,開方後必須是非負數,顯然不能等於「 」
4．平方法
【例5】化簡
【解】∵


∴ ．
【解後評注】對於這類共軛根式 與 的有關問題,一般用平方法都可以進行化簡
5．恆等變形公式法
【例6】化簡
【方法導引】若直接展開,計算較繁,如利用公式 ,則使運算簡化．
【解】原式


6．常值換元法
【例7】化簡
【解】令 ,則：
原式





7．裂項法
【例8】化簡
【解】原式各項分母有理化得
原式

【例9】化簡

【方法導引】這個分數如果直接有理化分母將十分繁鎖,但我們不難發現每一個分數的分子等於分母的兩個因數之和,於是則有如下簡
【解】原式



8．構造對偶式法
【例10】化簡
【解】構造對偶式,於是沒
 ,
則 , ,
原式

9．由里向外,逐層化簡

【解】∵

而

∴原式
【解後評注】對多重根式的化簡問題,應採用由里向外,由局部到整體,逐層化簡的方法處理．
10．由右到左,逐項化簡
【例11】化簡

【方法導引】原式從右到左是層層遞進的關系,因此從右向左進行化簡．
【解】原式



 ．
【解後評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關鍵,由平方差公式將多重根號逐層脫去,逐項化簡,其環節緊湊,一環扣一環,如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的．
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二次根式大小比較的常用方法
二次根式的化簡具有極強的技巧性,而在不求近似值的情況下比較兩個無理數（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性,對初中生來說是一個難點,但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用．
1．根式變形法
【例1】比較 與 的大小
【解】將兩個二次根式作變形得
 ,
∵ ,∴ 即
【解後評注】本解法依據是：當 , 時,① ,則 ；②若 ,則
2．平方法
【例2】比較 與 的大小
【解】 ,
∵ ,∴
【解後評注】本法的依據是：當 , 時,如果 ,則 ,如果 ,則 ．
3．分母有理化法
通過運用分母有理化,利用分子的大小來判斷其倒數的大小．
【例3】比較 與 的大小
【解】∵

又∵
∴
4．分子有理化法
在比較兩個無理數的差的大小時,我們通常要將其進行分子有理化,利用分母的大小來判斷其倒數的大小．
【例4】比較 與 的大小
【解】∵

又∵
∴ ．而
5．等式的基本性質法
【例5】比較 與 的大小
【解法1】∵

又

∴
即
牎窘夂篤雷ⅰ勘窘夥ɡ昧訟旅媼礁魴災剩孩俁技由賢桓鍪螅絞拇笮」叵擋槐洌詵歉旱資退塹畝蚊蕕拇笮」叵狄恢攏?
【解法2】將它們分別乘以這兩個數的有理化因式的積,得


又∵ ∴
【解後評注】本解法的依據是：都乘以同一個正數後,兩數的大小關系不變．
6．利用媒介值傳遞法
【例6】比較 與 的大小
【解】∵ ∴
又∵ ∴
∴
【解後評注】適當選擇介於兩個無理數之間的媒介法,利用數值的傳遞性進行比較．
7．作差比較法
在對兩數進行大小比較時,經常運用如下性質：
① ；②
【例7】比較 與 的大小
【解】∵

∴
8．求商比較法
與求差比較法相對應的還有一種比較的方法,即作商比較法,它運用的是如下性質,當 , 時,則：
① ；②
【例8】比較 與 的大小．
【解】
∵
∴
∴
【解後評注】得上所述,含有根式的無理數大小的比較往往可採用多種方法,來求解．有時還需各種方法配合使用,其中根式變形法,平方法是最基本的,對於具體的問題要作具體分析,以求用最佳的方法解出正確的結果．

5. 二次根式的解題技巧

二次根式的加法和減法
1 同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2 合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並
Ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如圖
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
二次根式計算不難，主要是要靠仔細，平時要多加練習哦。掌握了解題方法，再加上靈活運用，再難的題也會快速解出來！

6. 初中數學二次根式概念歸納

初中數學二次根式知識點還是比較難學的，想要學好二次根式，學習方法很重要。以下是我分享給大家的初中數學二次根式概念，希望可以幫到你!
初中數學二次根式概念
二次根式的應用主要體現在兩個方面：

1.利用從特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題;

2.利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

常見考法

(1)設計一些規律探索問題提高學生的想像力和創造力;(2)聯系生活實際設計一些方案探究題。

誤區提醒

(1)不能通過觀察，歸納、猜想尋找出共同的規律，並運用這種規律解決問題;

(2)不會應用數學的知識解決實際生活中的問題。

【典型例題】小麗想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長、寬比為3：2，不知道能否裁出來，正在發愁你能幫他解決嗎?

二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的加減：

需要先把二次根式化簡，然後把被開方數相同的二次根式(即同類二次根式)的系數相加減，被開方數不變。

注意：對於二次根式的加減，關鍵是合並同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合並.但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數應不含分母，不含能開得盡的因數.

(2)二次根式的乘法：

(3)二次根式的除法：

注意：乘、除法的運演算法則要靈活運用，在實際運算中經常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最後把運算結果化成最簡二次根式.

(4)二次根式的混合運算：

先乘方(或開方)，再乘除，最後加減，有括弧的先算括弧裡面的;能利用運算律或乘法公式進行運算的，可適當改變運算順序進行簡便運算.

注意：進行根式運算時，要正確運用運演算法則和乘法公式，分析題目特點，掌握方法與技巧，以便使運算過程簡便.二次根式運算結果應盡可能化簡.另外，根式的分數必須寫成假分數或真分數，不能寫成帶分數.
初中數學二次根式說課稿
一、說教材

本節課選自人教版九年級數學上冊第二十一章二次根式第一節的內容。“二次根式”是《課程標准》“數與代數”的重要內容。本章是在第13章實數(13.1平方根;13.2立方根;13.3實數)的基礎上，進一步研究二次根式的概念、性質、和運算。本章內容與已學內容“實數”“整式”“勾股定理”聯系緊密，同時也為以後將要學習的“銳角三角函數”、“一元二次方程”和“二次函數”等內容打下重要基礎。

二、說學情

學生已經學習了平方根(算術平方根)等有關知識，有了一定的知識基礎和認識能力。本課時及後面的知識的學習，對學生思維的嚴謹性、分類討論及類比的數學思想等都有了更高的要求，如果學生在此不能很好地理解和正確地認知，將對後續的學習產生很大的影響，所以要求學生積極探究與思考，及時加以訓練鞏固，克服學習困難，真正“學會”。

三、說教學目標

根據大綱的要求和教材結構內容分析，結合九年級學生的實際水平，考慮到學生已有的認知結構心理特徵，本節課可確定如下教學目標：

1.知識與技能：掌握二次根式的概念，二次根式的取值范圍和被開方數的取值范圍

2.過程與方法：根據條件處理問題的能力及分類討論問題的能力

3.情感態度價值觀：嚴謹的科學精神

四、說教學重點和難點

教學重點：二次根式中被開方數的取值范圍

教學難點：二次根式的取值范圍

五、說教法

教學活動的本質是一種合作，一種交流。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。依據學生的年齡特點和已有的知識基礎，本節課注重加強知識間的縱向聯系，拓展學生探索的空間，體現由具體到抽象的認識過程。為了為後續學習打下堅實的基礎，例如在“銳角三角函數”一章中，會遇到很多實際問題，在解決實際問題的過程中，要遇到對二次根式進行條件約束等問題，本課適當加強練習，讓學生養成聯系和發展的觀點學習數學的習慣。

六、說學法

新課程標准指出：學生是學習的主體。要讓學生成為真正的主人，需要在數學教學的過程中，讓老師引導學生自主思考、合作探究、共同總結，從而體現學生學習的主體地位。本節課主要採用自主學習，合作探究，引領提升的方式，啟發式、講練結合的方法展開教學。先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念;再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，並運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡的學習。通過對本節課的學習，使學生們的發散性思維得以啟發,學生們的觀察、分析、發現問題的能力得以鍛煉，學生辯證唯物主義觀點得以培養。
學好初中數學的建議
一、掌握預習學習方法，培養數學自學能力

預習就是在課前學習課本新知識的學習方法，要學好初中數學，首先要學會預習數學新知識，因為預習是聽好課，掌握好課堂知識的先決條件，是數學學習中必不可少的環節.預習可以用“一劃、二批、三試、四分”的預習方法.“一劃”就是圈劃知識要點，基本概念.“二批”就是把預習時的體會、見解以及自己暫時不能理解的內容，批註在書的空白地方;“三試”就是嘗試性地做一些簡單的練習，檢驗自己預習的效果.“四分”就是把自己預習的這節知識要點列出來，分出哪些是通過預習已掌握了的，哪些知識是自己預習不能理解掌握了的，需要在課堂學習中進一步學習.

二、掌握課堂學習方法，提高課堂學習效果

課堂學習是學習過程中最基本，最重要的環節，要堅持做到“五到”即耳到、眼到、口到、心到、手到;

手到：就是以簡單扼要的方法記下聽課的要點，思維方法，以備復習、消化、再思考，但要以聽課為主，記錄為輔;

耳到：專心聽講，聽老師如何講課，如何分析、如何歸納總結.另外，還要聽同學們的解答，看是否對自己有所啟發，特別要注意聽自己預習未看懂的問題;

口到：主動與老師、同學們進行合作、探究，敢於提出問題，並發表自己的看法，不要人雲亦雲;

眼到：就是一看老師講課的表情，手勢所表達的意思，看老師的演示實驗、板書內容，二看老師要求看的課本內容，把書上知識與老師課堂講的知識聯系起來;

心到：就是課堂上要認真思考，注意理解課堂的新知識，課堂上的思考要主動積極.關鍵是理解並能融匯貫通，靈活使用.對於老師講的新概念，應抓住關鍵字眼，變換角度去理解.

三、掌握練習方法，提高解答數學題的能力

數學的解答能力，主要通過實際的練習來提高.數學練習應注意以下幾點：

1.端正態度，充分認識到數學練習的重要性.實際練習不僅可以提高解答速度，掌握解答技能技巧，而且，許多的新問題常在練習中出現.

2.要有自信心與意志力.數學練習常有繁雜的計算，深奧的證明，自己應有充足的信心，頑強的意志，耐心細致的習慣.

3.要養成先思考，後解答，再檢查的良好習慣，遇到一個題，不能盲目地進行練習，無效計算，應先深入領會題意，認真思考，抓住關鍵，再作解答.解答後，還應進行檢查.

4.細觀察、活運用、尋規律、成技巧.

四、掌握復習方法，提高數學綜合能力.

復習是記憶之母，對所學的知識要不斷地復習，復習鞏固應注意掌握以下方法.

1.合理安排復習時間，“趁熱打鐵”，當天學習的功課當天必須復習，無論當天作業有多少，多難，都要鞏固復習.

2.採用綜合復習方法，即通過找出知識的左右關系和縱橫之間的內在聯系，從整體上提高，綜合復習具體可分“三步走”：首先是統觀全局，瀏覽全部內容，通過喚起回憶，初步形成知識體系印象，其次是加深理解，對所學內容進行綜合分析，最後是整理鞏固，形成完整的知識體系.

3.突破薄弱環節的復習方法.要多在薄弱環節上下功夫，加強鞏固好課本知識，只有突破薄弱環節，才利於從整體上提高數學綜合能力.

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7. 二次根式計算與化解的技巧是什麼急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化簡
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最簡二次根式
條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
1
運演算法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共軛因式
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。