根式不等式的解決方法

『壹』 根式不等式

現在只討論二次根式。因為高次根式非常麻煩，尤其是不同次方的根式。
一般做法是這樣的
如果共有兩個根號，那麼移項使得兩邊各有一個根號，且沒有根號的項全在一邊；兩邊分別平方，消掉一個根號。
如果還有根號，那麼將所有的沒有平方的項都移到一邊去，兩邊平方，消掉第二個根號。
在以上的平方過程中需要時刻注意平方時不等號仍成立的條件，即|x|>|y|時，x^2>y^2；並且，還要注意恆等式的出現條件。

就以你的題目√(3x+1)>√(2x+1)-1為例。
第一步：顯然定義域為x≥-1/3。

第二步，其一：需要看到當√(2x+1)-1<0即x<0時，該不等式恆成立。
第二步，其二：當√(2x+1)-1≥0即x≥0時，我們有必要兩邊平方：
√(3x+1)>√(2x+1)-1
3x+1>2x+1-2√(2x+1)+1
x-1>-2√(2x+1)
2√(2x+1)>-(x-1)
注意，我們在兩邊平方之後，將所有的不含根號的項挪到了一邊，並且令根式一邊的系數是正的。

第三步，其一：當-(x-1)<0即x>1時，該不等式恆成立。注意，這是在x≥0的條件下說的。
第三步，其二：當-(x-1)≥0即x≤1時，繼續兩邊平方：
2√(2x+1)>-(x-1)
4(2x+1)>(x-1)^2
8x+4>x^2-2x+1
x^2-10x-3<0
5-2√7<x<5+2√7

注意到5-2√7≈-0.29，我們可以得到最終結論了：
1、-1/3≤x<0是解集；
2、x≥0且x>1，即x>1是解集；
3、0≤x≤1，且5-2√7<x<5+2√7，即0≤x≤1是解集。
綜上，x≥-1/3就是該不等式的解集，也就是說它在定義域內是恆成立的。

此外還有一種辦法，就是將不等號改寫為等號，然後解根式方程。這樣就可以省去討論不等號改變方向、兩邊分別是正負的問題。解完方程後得到若干個根（需要驗根），則不等式的解集必然在這些根的兩兩之間。例如得到根為1，2，3，則解集可能是1<x<2且x>3，或別的可能。分別取其中的值（如0.5，1.5，2.5，3.5）代入驗證是否成立即可。
當方程無解時，說明這就是個恆成立的不等式。

當有不少於3個根號時，將根號全放在一邊然後平方是不能解決問題的（交叉項又出現了3個根號），必須用分別放在兩邊的辦法去做。
對於多個根式混合的一個想法：令其中一個（比方說）√(x-a)=t，解得x=t^2+a，然後代入另外一個去，這樣就可以減少一個根號。當然，哪種辦法更簡單也得實際做了才知道。
當根號太多時，很可能不能解出來。

『貳』 常數加根式的不等式怎麼解

1、先確定根號內的未知數取值范圍貞不在根號內的項的未知數應取范圍，
2、兩邊平方去掉根號(把非根號內的數移到不等式的另一邊，
化為整式不等式來解決。
例:
√(3X+10)<X+3
則已知式可知:
3X+10≥0，
X+3>0，
解得:X>-3，
兩邊平方得:
3X+10<X^2+6X+9，
X^2+3X-1>0
(X+3/2)^2>13/4，
X>-3/2+√13/2或X<-3/2-√13/2，
綜合得:X>(-3+√13)/2。

『叄』 帶根號的不等式的解法

把帶跟號的放一邊，不帶跟號的放另一邊，然後2邊平方就可以了~
很高興能幫助到你！

『肆』 根式不等式如何解

基本思想是代為整式。
兩邊平方或用Cauchy-Schwarz不等式。

『伍』 根式不等式

解：（1）不等式變形為(x+1）（x+3）>0得x+1>0 或x+1<0
x+3>0 x+3<0
解為x>-1或x<-3
(2)移項得 根號x>3-根號5
兩邊都大於0所以兩邊平方得x>14-6(根號5)

『陸』 根式不等式的解法

先算出定義域3x-1>=0,則x>=3分之1
且原不等式可以寫為 0<=根號下的3x-1<2
因為各項都大於等於0 所以同時平方
得 0<=3x-1<4 3分之1<=x<3分之5
再和定義域 取一個交集
得 3分之1<=x<3分之5

『柒』 根式不等式的求解

你參考看看

『捌』 這種兩邊都有未知數且都是分式還帶有根號的不等式怎麼解

解如下圖所示

『玖』 根式不等式如何求解

根式不等式的求解與普通不等式的求解思路相通，只是一定要注意根號下的函數必須為正或零，相當於要加上這一不等式後再求conjunction的解（公共解）。

『拾』 帶根號的不等式解法

1.首先要x+1≥0，有x≥-1。然後，由於0≤根號（x+1）＜2x，所以可以原不等式求平方得：x+1＜4x^2，解得：x＞(1+根號17)/8，或者x＜（1-根號17）/8。綜合可得：-1≤x＜（1-根號17）/8，或者x＞(1+根號17)/8
2.同樣首先要保證根號下大於等於零，所以有x≥-1。當-1≤x≤0時，滿足不等式。當x＞0時，原不等式求平方得：x+1＜4x^2，解得：x＞(1+根號17)/8，或者x＜（1-根號17）/8，此時只取前者。綜合可得：-1≤x≤0，或者x＞(1+根號17)/8

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