數列裂項解決方法

① 裂項相消萬能公式有哪些

裂項法，這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。 通項分解（裂項）倍數的關系。通常用於代數，分數，有時候也用於整數。

裂項相消的公式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

裂項法求和

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

數列求和的常用方法

1、分組法求數列的和：如an=2n+3n

2、錯位相減法求和：如an=n·2^n

3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求數列的最大、最小項的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.

(2)當 a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.

7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。

② 在裂項求和中最常見的方法是

裂項求和與倒序相加、錯位相減、分組求和等方法一樣,是解決一些特殊數列的求和問題的常用方法.這些獨具特點的方法,就單個而言,確實精巧,
例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20
＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)
＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
＝1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5
＝1-1/5=4/5
在裂項求和中最常見的是已知an（數列）求和.一般在高二數學中存有,是一類規律性題目.
一、基本概念：
1、 數列的定義及表示方法：
2、 數列的項與項數：
3、 有窮數列與無窮數列：
4、 遞增（減）、擺動、循環數列：
5、 數列{an}的通項公式an：
6、 數列的前n項和公式Sn:
7、 等差數列、公差d、等差數列的結構：
8、 等比數列、公比q、等比數列的結構：
二、基本公式：
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系：an=
10、等差數列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時,an是關於n的一次式；當d=0時,an是一個常數.
11、等差數列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=
當d≠0時,Sn是關於n的二次式且常數項為0；當d=0時（a1≠0）,Sn=na1是關於n的正比例式.
12、等比數列的通項公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)
13、等比數列的前n項和公式：當q=1時,Sn=n a1 (是關於n的正比例式)；
當q≠1時,Sn= Sn=
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列.
15、等差數列{an}中,若m+n=p+q,則
16、等比數列{an}中,若m+n=p+q,則
17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列.
18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列.
19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an bn}、 、 仍為等比數列.
20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列.
21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列.
22、三個數成等差的設法：a-d,a,a+d；四個數成等差的設法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法：a/q,a,aq；
四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什麼?)
24、{an}為等差數列,則 (c>0)是等比數列.
25、{bn}（bn>0）是等比數列,則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列.
26.在等差數列 中：
（1）若項數為 ,則
（2）若數為 則,,
27.在等比數列 中：
（1） 若項數為 ,則
（2）若數為 則,
四、數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等.關鍵是找數列的通項結構.
28、分組法求數列的和：如an=2n+3n
29、錯位相減法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求數列{an}的最大、最小項的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an=
33、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求
(1)當 >0,d

③ 數列求和裂項相消法

裂項相消法是數列求和中第二大求和方法，其使用頻率僅此於錯位相減法。

裂項相消法是高中數列求和的方法之一，它是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項相消法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。

數列求和的方法引入裂項相消法，首先講解了裂項相消法求和的核心內容：如何裂項與消項，通過講解例題使學生理解和掌握，然後通過變式訓練，加強鞏固，並且重點說明消項的方法和技巧，最後歸納總結常見的裂項相消法求和的公式，讓學生更系統地掌握裂項的方法。

④ 數列裂項相消法的八大類型

裂項相消法的八大類型：等差型、無理行、指數型、對數型。三角函數型、階乘和組合數公式型、抽象型、混合型。

裂項相消法是分解與組合思想在序列求和中的具體應用。它是將序列中的每一個項（總項）進行分解，然後重新組合，使之剔除一些項，最終達到求和的目的。一般項分解的倍數關系（分項）。通常用於代數、分數，有時也用於整數。

這種變形的特點是，原數列的每一項被拆成兩項後，中間的大部分項目會相互抵消。只剩下幾項了。

⑤ 求解數列裂項相消時裂項的方法。

裂項相消法求和
把數列的通項拆成兩項之差或正負相消，剩下首位若干項。
常見的拆項：
⑴1/〔n(n+1)〕=1/n-1/(n+1)
⑵1/(2n-1)(2n+1)=1/2〔1/(2n-1)-1/(2n+1)〕
⑶1/〔n(n+1)(n+2)〕=1/2｛1/〔n(n+1)-1/〔（n+1）（n+2)〕｝
⑷n*n!=(n+1)!-n!
n/〔(n+1)!〕=1/n!-1/(n+1)!
根據形式你可以舉出很多例子來
其中第四種是階乘，即n!=n(n-1)(n-2)......1
比較少用因為是用電腦打的，分式看起來有點繁瑣，其實形式很簡單的，樓主只要細心一點就行，我都不怕麻煩~~~
呵呵，希望幫到你吧！

⑥ 裂項法是什麼

裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。 通項分解（裂項）倍數的關系。

【中文名】：裂項法
【內 容】：將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的
【公式1】：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
【公式2】：1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

⑦ 高中數學數列里常用的裂項方法

裂項法裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)

[例2]
【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1)
的前n項和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項）
則
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項求和）
＝
(n-1)n(n+1)/3
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
易錯點：注意檢查裂項後式子和原式是否相等，典型錯誤如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右邊應當除以2）
附：數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
1、分組法求數列的和：如an=2n+3n
2、錯位相減法求和：如an=n·2^n
3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an=
n
5、求數列的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.
(2)當
a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

⑧ 高中數學數列的裂項相消方法

例：1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)............1/(n*(n+1))

裂項可以將每一項裂成兩個項，從而達到相互抵消作用。

1/(1*2)=1/1-1/2
1/(2*3)=1/2-1/3
......................
1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1)

最後這個就等於1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4......................-1/n+1/n-1/(n+1)
答案就是1-1/(n+1)