整式乘法解決問題方法

『壹』 整式的乘法公式講解

(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 (a-b) (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
歸納 這兩個公式叫做完全平方公式，兩數和（或差）的平方，等於這兩數的平方和，加上（或減去）這兩數積的2倍。
我們通常表示為：
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
註：
通常a,b是表示一個整體的代數式，不一定是數，例如：[(3x-y)-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2
[編輯本段]常見錯誤
完全平方公式中常見錯誤有：①學生難於跳出原有的定式思維，如典型錯誤； （錯因：在公式的基礎上類推，隨意「創造」）②混淆公式；③運算結果中符號錯誤；④變式應用難於掌握。
[編輯本段]學習方法及例題
一、理解公式左右邊特徵 （一）學會推導公式（這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的），真實體會隨意「創造」的不正確性； （二）學會用文字概述公式的含義： 兩數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍． 與都叫做完全平方公式．為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式． （三）這兩個公式的結構特徵是： 1、左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍； 2、左邊兩項符號相同時，右邊各項全用「＋」號連接；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用「＋」號連接後再「－」兩項乘積的2倍（註：這里說項時未包括其符號在內）； 3、公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等數學式． （四）兩個公式的統一： 因為 所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數和的完全平方公式。這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。 二、把握運用公式四步曲： 1、「察」：計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變為符合公式條件的形式，則應運用相應乘法法則進行計算． 2、「導」：正確地選用完全平方公式，關鍵是確定式子中a、b分別表示什麼數或式． 3、「算」：注意每步的運算依據，即各個環節的算理。 4、「驗」：完成運算後學會檢驗，既回過頭來再反思每步的計算依據和符號等各方面是否正確無誤，又可通過多項式的乘法法則進行驗算，確保萬無一失。 三、掌握運用公式常規四變 （一）、變符號： 例1：運用完全平方公式計算： （1） （2） 分析：本例改變了公式中a、b的符號，處理方法之一：把兩式分別變形為再用公式計算（反思得：）；方法二：把兩式分別變形為：後直接用公式計算；方法三：把兩式分別變形為：後直接用公式計算（此法是在把兩個公式統一的基礎上進行，易於理解不會混淆）； （二）、變項數： 例2：計算： 分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運用公式時，可先變形為或或者，再進行計算． （三）、變結構 例3：運用公式計算： （1）（x＋y）·（2x＋2y）； （2）（a＋b）·（－a－b）； （3）（a－b）·（b－a） 分析；本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特徵，但仔細觀察易發現，只要將其中一個因式作適當變形就可以了，即 （1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?； （2）（a＋b）·（－a－b）=－（a＋b）?； （3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）? （四）、簡便運算 例4：計算：（1）9992（2）100.12 分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成兩個數的和或差，從而運用完全平方公式計算。即：（1）。 四、學會公式運用中三拓展 1、公式的混用 例5：計算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）（2x-y+3z）（y-3z-2x） 分析：此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數。故可考慮把相同的項和互為相反數的項分別結合構造成平方差公式計算後，再運用完全平方公式等計算。即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z][（x+y）-z]=… （2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x+（y-3z）]=…2、公式的變形： 熟悉完全平方公式的變形式，是相關整體代換求知值的關鍵。 例6：已知實數a、b滿足（a＋b）2=10，ab=1。求下列各式的值： （1）a2+b2；（2）（a－b）2 分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=… （2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=… 3、公式的逆用： 例7：計算： 分析：本題若直接運用乘法公式和法則較繁瑣，仔細分析可發現其結構恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用可得：==4

(a+b)(a-b)=a^2-b^2
兩個數的和與這兩個數的差的積等於這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式。
[編輯本段]說明
當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式。這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合並這兩項的結果為零，於是就剩下兩項了。而它們的積等於乘式中這兩個數的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b)
兩數和於這兩數差的基，等於它們的平方差。
[逆推導平方差公式]
a^2-b^2
=a^2-b^2+(ab-ab)
=(a^2-ab)+(ab-b^2)
=a(a-b)+b(a-b)
=(a+b)(a-b)
[編輯本段]公式運用
[解方程]
x×x-y×y=1991
[思路分析]
利用平方差公式求解
[解題過程]
x^2－y^2＝1991
(x＋y)(x－y)＝1991
因為1991可以分成1×1991，11×181
所以如果x＋y＝1991，x－y＝1，解得x＝996，y＝995
如果x＋y＝181，x－y＝11，x＝96，y＝85同時也可以是負數
所以解有x＝996，y＝995，或x＝996，y＝－995，或x＝－996，y＝995或x＝－996，y＝－995
或x＝96，y＝85，或x＝96，y＝－85或x＝－96，y＝85或x＝－96，y＝－85

供參考！江蘇吳雲超祝你學習進步

『貳』 整式的乘法好哪些

整式的乘法有以下三種：

1、同底數冪的乘法：a的m次方乘以a的n次方=a的m+n次方（底數不變，指數相加）。

2、積的乘方：（ab）的m次方=a的m次方乘以b的m次方（積中各因式分別乘方，再把所得的冪相乘）。冪的乘方：（a的m次方）的n次冪=a的mn次方（底數不變，指數相乘）。

3、冪的乘方：（a的m次方）的n次冪=a的mn次方（底數不變，指數相乘）。

整式的乘法與分解因式為相反變形。

1、代數表達式是有理公式的一部分，可以包含加減乘除四種運算，但在代數表達式中，除數不能包含字母。單項式和多項式統稱為代數表達式。分母中有字母的公式不能是多項式或單項式。所有的單項式和多項式都是代數表達式。

2、乘法是把相同數字相加的捷徑。結果叫做乘積，「x」是乘法符號。從哲學的角度看，乘法是加法量變引起質變的結果。乘法也可以看作是計算排列在一個矩形(整數)中的對象，或者求給定邊長的矩形的面積。

3、把一個多項式變成幾個最簡單代數表達式的乘積。這種變形稱為該多項式的因式分解(也稱為因式分解)。它是中學數學中最重要的恆等式變形之一。它廣泛應用於初等數學，是我們解決許多數學問題的有力工具。

『叄』 整式乘法

【本講教育信息】
一. 教學內容：
整式的乘法

二. 學習重難點：
整式的乘法的運演算法則即應用是本節課的重難點

三. 知識要點講解：
【知識回顧】
1、冪的運演算法則：
①、同底數的冪相乘，底數不變，指數相加。
即： （m、n為正整數）
②、冪的乘方，底數不變，指數相乘。
即： （m、n為正整數）
③、積的乘方等於把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。
即： （n為正整數）
④、同底數的冪相除，底數不變，指數相減。
（m>n，m、n為正整數）
2、乘法的運算律：
①、乘法的結合律：（a×b）×c=a×（b×c）
②、乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac

【新課講解】
問題1、為支持北京申辦2008年奧運會，一位畫家設計了一幅長6000米、名為「奧運龍」的宣傳畫。受他的啟發，京京用兩張同樣大小的紙，精心製作了兩幅畫，如圖所示，第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有x米的空白.

（1）第一幅畫的畫面面積是 __ _ _ 米2；
（2）第二幅畫的畫面面積是 ____ 米2.
思考：式子x·（mx） 與 （mx）·（x－x－x）= （mx）·（x）如何計算呢？
探討：x·（mx） （mx）·（x）
= m·（x·x）——乘法交換律、結合律 = （m）（x·x）——乘法交換律、結合律
= mx2——同底數冪乘法運算性質 = mx2——同底數冪乘法運算性質
1、單項式乘以單項式法則：
單項式與單項式相乘，利用乘法交換律和結合律，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其餘的字母連同它的指數不變，一起作為積的因式.
註：單項式乘以單項式，實際上是運用了乘法結合律和同底數的冪的運演算法則完成的。
思考：你會計算3xy（x2y－2xy+y2），並說明每一步的理由.
解：3xy （x2y－2xy+y2）
= 3xy·（x2y）+3xy·（－2xy）+3xy·y2——乘法分配律
= 3x3y2－6x2y2+3xy3——單項式乘法的運演算法則
2、單項式乘以多項式的運演算法則
單項式與多項式相乘，就是根據乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項，轉化為單項式與單項式的乘法，然後再把所得的積相加.

『肆』 整式乘除法運演算法則

整式乘法法則：單項式與單項式相乘,把它們的___系數、相同字母__分別相乘,對於只在一個單項式里含有的__字母__,則連同它的__指數__作為積的__一個因式__；單項式與多項式相乘,就是用_多項式_去乘_多項式_,再把所得的_積_相加；多項式與多項式相乘,先用_一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項_,再把所得的__積___相加.
整式除法法則：單項式相除,把_系數、相同字母__分別相除作為_商的一個因式_,對於只在_被除式里含有的字母_,則連同它的_指數_作為_商的一個因式_；多項式除以單項式,先把_這個多項式的每一項_除以_這個單項式_,再把所得的__商相加__.
因式分解與__整式乘法_是相反方向的變形.

『伍』 關於整式乘法

分解因式與整式乘法互逆。單項式和多項式都統稱為整式。整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除、乘方五種運算，但在整式中除數不能含有字母。把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。乘法公式也叫做簡乘公式，就是把一些特殊的多項式相乘的結果加以總結，直接應用。公式中的每一個字母，一般可以表示數字，單項式，多項式，有的還可以推廣到分式，根式。 1、單項式乘以單項式法則：單項式與單項式相乘，利用乘法交換律和結合律，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其餘的字母連同它的指數不變，一起作為積的因式. 註：單項式乘以單項式，實際上是運用了乘法結合律和同底數的冪的運演算法則完成的。 2、單項式乘以多項式的運演算法則單項式與多項式相乘，就是根據乘法分配律用單項式去乘多項式的每一項，轉化為單項式與單項式的乘法，然後再把所得的積相加. 3、多項式乘以多項式法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

『陸』 什麼叫整式乘法

1、整式為單項式和多項式的統稱，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除、乘方五種運算，但在整式中除數不能含有字母。

2、乘法法則

單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對於只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

3、整數指數律

（1）同底數冪的乘法

底數是相同的冪即為同底數冪；同底數冪相乘，底數不變，指數相加。

（2）冪的乘方

冪的乘方，底數不變，指數相乘。

(6)整式乘法解決問題方法擴展閱讀：

乘法公式

1、平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a^2－b^2

文字語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等於這兩個數的平方差。

2、完全平方公式：

（a＋b）^2＝a^2＋2ab＋b^2

（a－b）^2＝a^2－2ab＋b^2

文字語言敘述：兩個數的和（或差）的平方等於這兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍。

『柒』 整式乘法公式是什麼

整式乘法公式：a*b=c。

乘法運算時，數位對齊，從右邊起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，得數的末尾就和第二個因數的哪一位對齊；

1、十位數是1的兩位數相乘方法：乘數的個位與被乘數相加，得數為前積，乘數的個位與被乘數的個位相乘，得數為後積，滿 十前一。

2、個位是1的兩位數相乘方法：十位與十位相乘，得數為前積，十位與十位相加，得數接著寫，滿十進一，在最後添 上1。

3、十位相同個位不同的兩位數相乘方法：被乘數加上乘數個位，和與十位數整數相乘，積作為前積，個位數與個位數相乘作為後積加上。

乘法的計演算法則：

1、多位數乘法法則整數乘法低位起，幾位數乘法幾次積。

個位數乘得若干一，積的末位對個位。

十位數乘得若干十，積的末位對十位。

百位數乘得若干百，積的末位對百位計算準確對好位，幾次乘積加一起。

2、因數末尾有0的乘法法則因數末尾若有0，寫在後面先不乘，乘完積補上0，有幾個0寫幾個0。

『捌』 整式的乘法怎麼做

解如下圖所示

『玖』 整式乘法運算的幾種常用技巧

在整式的計算、化簡、求值中，若能正確、靈活地運用法則、公式，並且掌握某些運算技巧，就能使代數運算變得十分簡潔.下面歸納、總結，供同學們學習時參考. .適當變形，運用公利側考分析計算:(『一5)(l一勃一1).. (『一制.:直接計算，要計算10個減法運算、10個乘側夕化簡:(x+即-32)(x一勿+3z).分析:兩個含有三項的多項式相乘，需相乘9次，再合並同類項，這是一項多麼麻煩的計算!現在我們來觀察因式(x+即一3:)、(x一即十玉)，不難發現即一3z和~2少+玉互為相反數，於是想到將x一壽+3z變形為二-(即一3z)，從而便可以運用平方差公式來計算.解:原式二〔x+(即一3z)〕〔x一(即一3z)」=x2一(即一32)2 =x七(分一12yz+卯) =x Zee州+l如一922.側2計算:(2+x)(22+l)(24+1)(28+一)(2，6+1).分析:此題若是直接計算，指數大，太繁了!從所求式子看，是5個兩數和的積，要是能出現相對應的兩數差就好了，以便運用平方差公式.由(2+l)這個因數啟發我們:將所求式子乘1，即將所求式子乘以(2一l)，就會連續出現

『拾』 整式的乘法公式是什麼

乘法的計演算法則：數位對齊，從右邊起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，得數的末尾就和第二個因數的哪一位對齊；

1、十位數是1的兩位數相乘方法：乘數的個位與被乘數相加，得數為前積，乘數的個位與被乘數的個位相乘，得數為後積，滿 十前一。

2、個位是1的兩位數相乘方法：十位與十位相乘，得數為前積，十位與十位相加，得數接著寫，滿十進一，在最後添 上1。

3、十位相同個位不同的兩位數相乘方法：被乘數加上乘數個位，和與十位數整數相乘，積作為前積，個位數與個位數相乘作為後積加上。

乘法的計演算法則：

（1）數位對齊，從右邊起，依次用第二個因數每位上的數去乘第一個因數，乘到哪一位，得數的末尾就和第二個因數的哪一位對齊；

（2）然後把幾次乘得的數加起來。

（整數末尾有0的乘法：可以先把0前面的數相乘，然後看各因數的末尾一共有幾個0，就在乘得的數的末尾添寫幾個0）