舉例數學家解決數學問題的方法

A. 數學家破解數學難題的故事有哪些

祖沖之究竟是用什麼方法將π算到小數點後第七位，又是怎樣找到既精確又方便的密率的呢？它己不是困惑數學家的一個謎；更不是被列為公眾關注的未解科學難題之一---------
他研究出的圓球率，根據球體大小比值數「不變真理」為依據，演繹、推理出一系列最簡單、最全面、最科學的球體求算方法，打破了幾千年以前古代數學家祖沖之對「圓周率」推理不先進、不科學的原始估算方法；他從科學的角度上為人們徹底地揭開了古代數學家祖沖之發明圓周率π=3.1415926—7小數點後七位數之謎，他為數學球體知識的來自方法終於劃上一個圓滿句號---。他，就是在數學領域獨具創見的魏德武老師。 魏德武1963年生，福建沙縣人。80年代初，研發者魏德武因遭到福建省永安公檢法黑惡勢力的殘酷迫害，他發明的這項數學科研成果一直都得不到發揚光大。在此，中國互聯網新聞中心（中國網）對該項成果做出了充分肯定，認為該成果的確不失為一種好方法，特推出報道，大家都知道真正最有價值的知識來自於方法，古代數學家祖沖之發明的所謂「圓周率」；在數學書中，他只告訴世人「圓周率」的發明結果，卻沒有告訴「圓周率」發明的來自方法，可見，古代數學家祖沖之對球體知識只知其所以不知其所以然；尤其是祖沖之發明的「圓周率」在計算精確度小數點後七位小數的來自方法，在史書中根本就無從查證，人們對「圓周率」的來自方法不得而知，迄今還是一個謎，缺乏了科學依據。 魏氏圓周率的來自方法就不同了，它完全是根據相似球體大小比值數不變真理為支撐而得，圓周率它可以直接藉助尺寸的方法，只要精確地測出其中一個圓球體的圓直徑和圓周長的長度即可，然後依據相似比其比值數不變的原理，圓周率完全可以用分數：K=D/L=113/355或k=L/D=355/113的方法來表示，該結論是魏老師通過對無數組比值數的對比和驗證，最終確定113/355和355/113為圓周率的最佳優選數。在圓周率K=0.3183098591549-----或圓周率k=3.14159---等小數後，它可以直接精確到無數位小數。從而為後人徹底地揭開了古代數學家「祖沖之」發明的圓周率小數點後七位數來自方法之謎。 顯而易見，圓球率的再現，最重要的一點，並不在僅此而已，其推出的主要原因就是通過一個真實的記載，20世紀70年代一位13歲少年對「圓球率」的數學思維和研發過程為例舉，從而達到引導和啟發學生去創思維、創方法、創意思、創精神，培養學生都能養成一種獨立思考解決問題的能力

B. 介紹一個數學家，介紹兩個數學思想和兩個數學學習方法

數學家：

陳景潤，1933年5月22日生於福建福州，當代數學家。

1953年9月分配到北京四中任教。1955年2月由當時廈門大學的校長王亞南先生舉薦，回母校廈門大學數學系任助教。1957年10月，由於華羅庚教授的賞識，陳景潤被調到中國科學院數學研究所。1973年發表了（1+2）的詳細證明，被公認為是對哥德巴赫猜想研究的重大貢獻。 1981年3月當選為中國科學院學部委員（院士）。曾任國家科委數學學科組成員。1992年任《數學學報》主編。

數學思想：

1.函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。

2.方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

數學學習方法：

1. 數學面點面法。首先是面，這是基礎。在接觸了一定量的題目之後，要注意總結。看哪些題用到了同一個知識點，這些題又是用了哪一些方法。將多而雜的題目歸結成具體的知識結構與方法。這就是所說的點了。下面的工作就是由點及面了。將這些總結出來的規律方法投入到具體的實踐中去，當然，這里的面不是指數量上的多少，而是指抽象的一類。在總結好方法，梳理好知識要點後，相關的一類題就解決了，也就不用再大量做題了。

2. 數學抓本質法。所謂本質就是講一道題，命題老師都會考相應的知識、相應的方法，即一種知識體系，或者一種解題的方法，這就是題目的本質。抓住了題目的本質，才說明你確實掌握了這一類題的特點，掌握了這種方法而不僅僅是會做一道題，就能融會貫通了。這種方法可以通過做一定量的題並認真反思來訓練和培養。做題時，不要只求量而不管效率，做完題之後一定要想想這道題考的是哪個或哪些知識點，自己是否已經掌握了，掌握了就沒必要再做很多這種類型的題了，沒掌握的話就再練一些直到自己以後一見到這一類型的題就能很快解決。

C. 數學教育家波利亞舉的例子"燒水"，說明了數學中的什麼方法

數學家波利亞用一個「燒水」的淺顯例子，把「化歸」的數學思想解釋得非常明白。

所謂「化歸」，是把未知的、待解決的問題，轉化為已知的、已解決的問題，從而解決問題的過程。這是數學工作者解決問題常見的思路。數學家波利亞用一個「燒水」的淺顯例子，把「化歸」的數學思想解釋得非常明白。
他說，給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一盒火柴，一個空水壺，讓你燒一滿壺開水，你應該怎麼做？你於是回答：把空水壺放到水龍頭下，打開水籠頭，灌滿一壺水，再把水壺放到煤氣灶上，劃著火柴，點燃煤氣灶，把一滿壺水燒開。
他說，對，這個問題解決得很好。現在再問你一個問題：給你一個煤氣灶，一個水龍頭，一盒火柴，一個已裝了半壺水的水壺，讓你燒一滿壺開水，你又應該怎麼做？然後波利亞說，物理學家這時會回答：把裝了半壺水的壺放到水籠頭下，打開水龍頭，灌成一滿壺水，再把水壺放到煤氣灶上，劃著火柴，點燃煤氣灶，把一滿壺水燒開。但是數學家的回答是：把裝了半壺水的水壺倒空，就化歸為剛才已解決的問題了。

D. 數學家是怎麼思考的

數學家在他們的創造性活動中是如何思維的,他們運用了哪些最基本的思維方法,這同樣是數學教育必須關心的問題.學習數學,核心是學會像數學家那樣進行思維,因此,需要理清數學思維有哪些基本方法,這些方法的要領是什麼,如何掌握這些方法.
數學思維的一般方法有：觀察與實驗,比較、分類與系統化,分析與綜合,歸納、類比與聯想,化歸等.所謂創造性思維也往往要歸結為這些思維方法.

⑴ 觀察與實驗

「觀察是人們對事物或問題的數學特徵通過視覺獲取信息,運用思維辨認其形式、結構和數量關系,從而發現某些規律或性質的方法.」⑨ 數學思維通常都要從觀察數學對象開始,結合運用其它方法才能獲得關於客觀事物的本質和規律的認識,因此觀察法是數學思維過程的必需的和第一位的方法.就數學的基礎而言,公理的確立就是首先通過觀察事物的運動變化,再通過抽象概括才得以形成的.
觀察側重於探索和發現,觀察的結果一般需要經過驗證才能確認其成立.浙江師范大學任樟輝在他的《數學思維論》中對觀察法作了比較認真的分析.他認為：「由於觀察是有目的、有選擇的一種認識過程,觀察者必須細致地對數學對象進行搜索和思考,並根據目的需要適當地變換角度以達到解決問題的目的.對於同一個問題,由於觀察者的知識、經驗和能力的不同,往往對問題的認識深度就會有很大的差別.在數學教學中,注意培養敏銳的觀察力是提高數學思維水平的一個重要方面.要重視觀察的知識准備,也要在解題時加強觀察意識這一思維環節,使它與分析等其他思維方法相結合.明確觀察的目的要求,善於變換不同角度去抓住問題的特徵,形成數學直感或產生直覺以解決問題.」⑩ 因此,觀察法既是數學家研究數學不可缺少的方法,也是學生學好數學所必須掌握的方法.
「實驗是根據所研究問題的需要,按照研究對象的自然狀態和客觀規律,人為地設置條件使所希望的現象產生或對其進行控制的科學方法.」⑾ 由於實驗（或試驗）總是和觀察相聯系,觀察常常可用實驗作基礎,而實驗又可使觀察得到的性質或規律得以重現或驗證.因而它是數學思維的一種間接的但卻是基本的方法.在數學中,實驗法可用來發現或驗證許多數學對象的性質.如幾何中對各種圖形面積、體積的計算或公式的導出,圓錐曲線光學性質的實驗等,都是實驗法在數學中的具體應用.
歐拉曾明確指出,數學這門科學,需要觀察,還需要實驗.波利亞也一再把數學的研究方法與其它自然科學的研究方法做比較,指出它們在收集材料、進行觀察與實驗方面是完全類似的.

E. 哪個數學家提出了一一列舉法

在解決數學問題中，使用窮舉法，就是把符合條件的元素（對象）一一列舉岀來的方法，是中國的偉大的數學家華羅庚大師首先提岀來的優秀的方法。

F. 數學家的問題是怎麼解答的

數學問題就是在數學領域出現的運用相關數學知識去解決的問題。比如歌德巴赫猜想，還有以下例子：在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。[01]康托的連續統基數問題。1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科恩（P•Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。

G. 初中數學常用的幾種經典解題方法

初中數學里常用的幾種經典解題方法
1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
3、換元法
換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
5、待定系數法
在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。
6、構造法
在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。
7、反證法
反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。
歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
8、面積法
平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
9、幾何變換法
在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。
幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。
10.客觀性題的解題方法
選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
填空題是標准化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷准確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。
（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。
（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。
（5）圖解法：藉助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。
（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法

H. 數學家的小故事和趣味數學題（各十個）誰知道

數學家的故事——蘇步青

蘇步青1902年9月出生在浙江省平陽縣的一個山村裡。雖然家境清貧，可他父母省吃儉用，拚死拼活也要供他上學。他在讀初中時，對數學並不感興趣，覺得數學太簡單，一學就懂。可量，後來的一堂數學課影響了他一生的道路。
那是蘇步青上初三時，他就讀浙江省六十中來了一位剛從東京留學歸來的教數學課的楊老師。第一堂課楊老師沒有講數學，而是講故事。他說：「當今世界，弱肉強食，世界列強依仗船堅炮利，都想蠶食瓜分中國。中華亡國滅種的危險迫在眉睫，振興科學，發展實業，救亡圖存，在此一舉。『天下興亡，匹夫有責』，在座的每一位同學都有責任。」他旁徵博引，講述了數學在現代科學技術發展中的巨大作用。這堂課的最後一句話是：「為了救亡圖存，必須振興科學。數學是科學的開路先鋒，為了發展科學，必須學好數學。」蘇步青一生不知聽過多少堂課，但這一堂課使他終身難忘。
楊老師的課深深地打動了他，給他的思想注入了新的興奮劑。讀書，不僅為了擺脫個人困境，而是要拯救中國廣大的苦難民眾；讀書，不僅是為了個人找出路，而是為中華民族求新生。當天晚上，蘇步青輾轉反側，徹夜難眠。在楊老師的影響下，蘇步青的興趣從文學轉向了數學，並從此立下了「讀書不忘救國，救國不忘讀書」的座右銘。一迷上數學，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，蘇步青只知道讀書、思考、解題、演算，4年中演算了上萬道數學習題。現在溫州一中（即當時省立十中）還珍藏著蘇步青一本幾何練習薄，用毛筆書寫，工工整整。中學畢業時，蘇步青門門功課都在90分以上。
17歲時，蘇步青赴日留學，並以第一名的成績考取東京高等工業學校，在那裡他如飢似渴地學習著。為國爭光的信念驅使蘇步青較早地進入了數學的研究領域，在完成學業的同時，寫了30多篇論文，在微分幾何方面取得令人矚目的成果，並於1931年獲得理學博士學位。獲得博士之前，蘇步青已在日本帝國大學數學系當講師，正當日本一個大學准備聘他去任待遇優厚的副教授時，蘇步青卻決定回國，回到撫育他成長的祖任教。回到浙大任教授的蘇步青，生活十分艱苦。面對困境，蘇步青的回答是「吃苦算得了什麼，我甘心情願，因為我選擇了一條正確的道路，這是一條愛國的光明之路啊！」
這就是老一輩數學家那顆愛國的赤子之心

數學家的墓誌銘

一些數學家生前獻身於數學，死後在他們的墓碑上，刻著代表著他們生平業績的標志。
古希臘學者阿基米德死於進攻西西里島的羅馬敵兵之手（死前他還在主：「不要弄壞我的圓」。）後，人們為紀念他便在其墓碑上刻上球內切於圓柱的圖形，以紀念他發現球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的三分之二。 德國數學家高斯在他研究發現了正十七邊形的尺規作法後，便放棄原來立志學文的打算 而獻身於數學，以至在數學上作出許多重大貢獻。甚至他在遺囑中曾建議為他建造正十七邊形的稜柱為底座的墓碑。
16世紀德國數學家魯道夫，花了畢生精力，把圓周率算到小數後35位，後人稱之為魯 道夫數，他死後別人便把這個數刻到他的墓碑上。 瑞士數學家雅谷·伯努利，生前對螺線（被譽為生命之線）有研究，他死之後，墓碑上 就刻著一條對數螺線，同時碑文上還寫著：「我雖然改變了，但卻和原來一樣」。這是一句既刻劃螺線性質又象徵他對數學熱愛的雙關語

祖沖之（公元429-500年）是我國南北朝時期，河北省淶源縣人．他從小就閱讀了許多天文、數學方面的書籍，勤奮好學，刻苦實踐，終於使他成為我國古代傑出的數學家、天文學家．
祖沖之在數學上的傑出成就，是關於圓周率的計算．秦漢以前，人們以"徑一周三"做為圓周率，這就是"古率"．後來發現古率誤差太大，圓周率應是"圓徑一而周三有餘"，不過究竟余多少，意見不一．直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術"，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內接96邊形， 求得π=3.14，並指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確．祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．並得出了π分數形式的近似值，取為約率 ，取為密率，其中取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數．祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從考查．若設想他按劉徽的"割圓術"方法去求的話，就要計算到圓內接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之計算得出的密率， 外國數學家獲得同樣結果，已是一千多年以後的事了．為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π=叫做"祖率"．
祖沖之博覽當時的名家經典，堅持實事求是，他從親自測量計算的大量資料中對比分析，發現過去歷法的嚴重誤差，並勇於改進，在他三十三歲時編製成功了《大明歷》，開辟了歷法史的新紀元．
祖沖之還與他的兒子祖暅（也是我國著名的數學家）一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算．他們當時採用的一條原理是："冪勢既同，則積不容異．"意即，位於兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恆相等，則這兩個立體的體積相等．這一原理，在西文被稱為卡瓦列利原理， 但這是在祖氏以後一千多年才由卡氏發現的．為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，大家也稱這原理為"祖暅原理"．

初中趣味數學題

1、 兩個男孩各騎一輛自行車，從相距2O英里（1英里合1.6093千米）的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一隻蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉嚮往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。如果每輛自行車都以每小時1O英里的等速前進，蒼蠅以每小時15英里的等速飛行，那麼，蒼蠅總共飛行了多少英里？

答案
每輛自行車運動的速度是每小時10英里，兩者將在1小時後相遇於2O英里距離的中點。蒼蠅飛行的速度是每小時15英里，因此在1小時中，它總共飛行了15英里。
許多人試圖用復雜的方法求解這道題目。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然後是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是非常復雜的高等數學。據說，在一次雞尾酒會上，有人向約翰?馮·諾伊曼（John von Neumann, 1903～1957,20世紀最偉大的數學家之一。）提出這個問題，他思索片刻便給出正確答案。提問者顯得有點沮喪，他解釋說，絕大多數數學家總是忽略能解決這個問題的簡單方法，而去採用無窮級數求和的復雜方法。
馮·諾伊曼臉上露出驚奇的神色。「可是，我用的是無窮級數求和的方法.」他解釋道

2、 有位漁夫，頭戴一頂大草帽，坐在劃艇上在一條河中釣魚。河水的流動速度是每小時3英里，他的劃艇以同樣的速度順流而下。「我得向上游劃行幾英里，」他自言自語道，「這里的魚兒不願上鉤！」
正當他開始向上游劃行的時候，一陣風把他的草帽吹落到船旁的水中。但是，我們這位漁夫並沒有注意到他的草帽丟了，仍然向上游劃行。直到他劃行到船與草帽相距5英里的時候，他才發覺這一點。於是他立即掉轉船頭，向下游劃去，終於追上了他那頂在水中漂流的草帽。
在靜水中，漁夫劃行的速度總是每小時5英里。在他向上游或下游劃行時，一直保持這個速度不變。當然，這並不是他相對於河岸的速度。例如，當他以每小時5英里的速度向上游劃行時，河水將以每小時3英里的速度把他向下游拖去，因此，他相對於河岸的速度僅是每小時2英里；當他向下游劃行時，他的劃行速度與河水的流動速度將共同作用，使得他相對於河岸的速度為每小時8英里。
如果漁夫是在下午2時丟失草帽的，那麼他找回草帽是在什麼時候？

答案
由於河水的流動速度對劃艇和草帽產生同樣的影響，所以在求解這道趣題的時候可以對河水的流動速度完全不予考慮。雖然是河水在流動而河岸保持不動，但是我們可以設想是河水完全靜止而河岸在移動。就我們所關心的劃艇與草帽來說，這種設想和上述情況毫無無差別。
既然漁夫離開草帽後劃行了5英里，那麼，他當然是又向回劃行了5英里，回到草帽那兒。因此，相對於河水來說，他總共劃行了10英里。漁夫相對於河水的劃行速度為每小時5英里，所以他一定是總共花了2小時劃完這10英里。於是，他在下午4時找回了他那頂落水的草帽。
這種情況同計算地球表面上物體的速度和距離的情況相類似。地球雖然旋轉著穿越太空，但是這種運動對它表面上的一切物體產生同樣的效應，因此對於絕大多數速度和距離的問題，地球的這種運動可以完全不予考慮．

3、 一架飛機從A城飛往B城，然後返回A城。在無風的情況下，它整個往返飛行的平均地速（相對於地面的速度）為每小時100英里。假設沿著從A城到B城的方向筆直地刮著一股持續的大風。如果在飛機往返飛行的整個過程中發動機的速度同往常完全一樣，這股風將對飛機往返飛行的平均地速有何影響？
懷特先生論證道：「這股風根本不會影響平均地速。在飛機從A城飛往B城的過程中，大風將加快飛機的速度，但在返回的過程中大風將以相等的數量減緩飛機的速度。」「這似乎言之有理，」布朗先生表示贊同，「但是，假如風速是每小時l00英里。飛機將以每小時200英里的速度從A城飛往B城，但它返回時的速度將是零！飛機根本不能飛回來！」你能解釋這似乎矛盾的現象嗎？

答案
懷特先生說，這股風在一個方向上給飛機速度的增加量等於在另一個方向上給飛機速度的減少量。這是對的。但是，他說這股風對飛機整個往返飛行的平均地速不發生影響，這就錯了。
懷特先生的失誤在於：他沒有考慮飛機分別在這兩種速度下所用的時間。
逆風的回程飛行所用的時間，要比順風的去程飛行所用的時間長得多。其結果是，地速被減緩了的飛行過程要花費更多的時間，因而往返飛行的平均地速要低於無風時的情況。
風越大，平均地速降低得越厲害。當風速等於或超過飛機的速度時，往返飛行的平均地速變為零，因為飛機不能往回飛了。

4、 《孫子算經》是唐初作為「算學」教科書的著名的《算經十書》之一，共三卷，上卷敘述算籌記數的制度和乘除法則，中卷舉例說明籌算分數法和開平方法，都是了解中國古代籌算的重要資料。下卷收集了一些算術難題，「雞兔同籠」問題是其中之一。原題如下： 令有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。

問雄、兔各幾何？

原書的解法是；設頭數是a，足數是b。則b／2－a是兔數，a－（b／2－a）是雉數。這個解法確實是奇妙的。原書在解這個問題時，很可能是採用了方程的方法。

設x為雉數，y為兔數，則有

x＋y＝b， 2x＋4y＝a

解之得

y＝b／2－a，

x＝a－（b／2－a）

根據這組公式很容易得出原題的答案：兔12隻，雉22隻。

5、我們大家一起來試營一家有80間套房的旅館，看看知識如何轉化為財富。
經調查得知，若我們把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會失去3位客人。 每間住了人的客房每日所需服務、維修等項支出共計40元。
問題：我們該如何定價才能賺最多的錢？
答案：日租金360元。
雖然比客滿價高出200元，因此失去30位客人，但餘下的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入； 扣除50間房的支出40*50=2000元，每日凈賺16000元。而客滿時凈利潤只有160*80-40*80=9600元。
當然，所謂「經調查得知」的行情實乃本人杜撰，據此入市，風險自擔。

6 數學家維納的年齡，全題如下： 我今年歲數的立方是個四位數，歲數的四次方是個六位數，這兩個數，剛好把十個數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，維納的年齡是多少? 解答：咋一看，這道題很難，其實不然。設維納的年齡是x，首先歲數的立方是四位數，這確定了一個范圍。10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位數；22的立方是10648；所以10=<x<=21 x四次方是個六位數,10的四次方是10000，離六位數差遠啦，15的四次方是50625還不是六位數，17的四次方是83521也不是六位數。18的四次方是104976是六位數。20的四次方是160000；21的四次方是194481; 綜合上述，得18=<x<=21,那隻可能是18，19，20，21四個數中的一個數；因為這兩個數剛好把十個數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，四位數和六位數正好用了十個數字，所以四位數和六位數中沒有重復數字，現在來一一驗證，20的立方是80000，有重復；21的四次方是194481，也有重復；19的四次方是130321；也有重復；18的立方是5832，18的四次方是104976，都沒有重復。 所以，維納的年齡應是18。
把1,2,3,4……1986，1987這1987個自然數均勻排成一個大圓圈，從1開始數：隔過1劃2，3；隔過4劃掉5，6，這樣每隔一個數劃掉兩個數，轉圈劃下去，問：最後剩下哪個數。
答案:663

I. 數學世界難題解決了那些以及我們如何去解決

希爾伯特提出過新世紀要解決的若干個問題，共23個：
[01]康托的連續統基數問題。
1874年，康托猜測在可數集基數和實數集基數之間沒有別的基數，即著名的連續統假設。1938年，僑居美國的奧地利數理邏輯學家哥德爾證明連續統假設與ZF集合論公理系統的無矛盾性。1963年，美國數學家科恩（P•Choen）證明連續統假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續統假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。
[02]算術公理系統的無矛盾性。
歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發表不完備性定理作出否定。根茨（G•Gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術公理系統的無矛盾性。
[03]只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德恩（M•Dehn）1900年已解決。
[04]兩點間以直線為距離最短線問題。
此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。
[05]拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
這一個問題簡稱連續群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。
[06]對數學起重要作用的物理學的公理化。
1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。後來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。
[07]某些數的超越性的證明。
需證：如果 是代數數， 是無理數的代數數，那麼 一定是超越數或至少是無理數（例如， 和 ）。蘇聯的蓋爾芳德（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數理論還遠未完成。目前，確定所給的數是否超越數，尚無統一的方法。
[08]素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。
素數是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數學家陳景潤。
[09]一般互反律在任意數域中的證明。
1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（E•Artin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發展之中。
[10]能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
求出一個整數系數方程的整數根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數學家）方程可解。1950年前後，美國數學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯數學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯系。
[11]一般代數數域內的二次型論。
德國數學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數學家魏依（A•Weil）取得了新進展。
[12]類域的構成問題。
即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。
[13]一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。
七次方程 的根依賴於方程中的3個參數 、 、 ； 。這一函數能否用兩變數函數表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯數學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在 上連續的實函數 可寫成形式 ，這里 和 為連續實函數。柯爾莫哥洛夫證明 可寫成形式 ，這里 和 為連續實函數， 的選取可與 完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續可微情形，對解析函數情形則未解決。
[14]某些完備函數系的有限的證明。
即域 上的以 為自變數的多項式 ， 為 上的有理函數 構成的環，並且 試問 是否可由有限個元素 的多項式生成？這個與代數不變數問題有關的問題，日本數學家永田雅宜於1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。
[15]建立代數幾何學的基礎。
荷蘭數學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。
註：舒伯特（Schubert）計數演算的嚴格基礎。
一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。
[16]代數曲線和曲面的拓撲研究。
此問題前半部涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部要求討論備 的極限環的最多個數 和相對位置，其中 、 是 、 的 次多項式。對 （即二次系統）的情況，1934年福羅獻爾得到 ；1952年鮑廷得到 ；1955年蘇聯的波德洛夫斯基宣布 ，這個曾震動一時的結果，由於其中的若干引理被否定而成疑問。關於相對位置，中國數學家董金柱、葉彥謙1957年證明了 不超過兩串。1957年，中國數學家秦元勛和蒲富金具體給出了 的方程具有至少3個成串極限環的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環的具體例子。1983年，秦元勛進一步證明了二次系統最多有4個極限環，並且是 結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，並為研究希爾伯特第[16]問題提供了新的途徑。
[17]半正定形式的平方和表示。
實系數有理函數 對任意數組 都恆大於或等於0，確定 是否都能寫成有理函數的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。
[18]用全等多面體構造空間。
德國數學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。
[19]正則變分問題的解是否總是解析函數？
德國數學家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯數學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。
[20]研究一般邊值問題。
此問題進展迅速，己成為一個很大的數學分支。日前還在繼讀發展。
[21]具給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人於1905年、勒爾（H•Rohrl）於1957年分別得出重要結果。1970年法國數學家德利涅（Deligne）作出了出色貢獻。
[22]用自守函數將解析函數單值化。
此問題涉及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（P•Koebe）對一個變數情形已解決而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。
[23]發展變分學方法的研究。
這不是一個明確的數學問題。20世紀變分法有了很大發展。

兄弟，我覺得你若是個天才，那麼你可以嘗試，但是很多東西光是一個概念或者是理論就足夠你花時間的了，所以別瞎想了，好好讀書吧。