解一元三次方程最簡單的方法

❶ 如何解一元三次方程

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 將(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 式(14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了

❷ 解一元三次方程的一般步驟是什麼

一般的一元三次方程

(2)解一元三次方程最簡單的方法擴展閱讀：

我們知道，對於任意一個n次多項式，我們總可以只藉助最高次項和（n-1）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（n-2）次項。

由於二次以上的多項式，在配n次方之後，並不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。於是，對於二次以上的多項式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，只需配出關於x的完全平方式，然後將後面僅剩的常數項移到等號另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。

特別地，對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。一個自然的想法就是如何將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程。

❸ 一元三次方程怎麼解簡單一點的解法

簡單換元
先把方程化為x^3+px+q=0的形式。。。這步不會的不用考慮看懂後面的了
之後設x=u+v,
uv=-3p
則u^3+v^3=
-
q
因為u^3v^3=-27p^3
可用1元2次方程解出u^3，解得3個u，用v=-3p/u解得3個v，x=u+v即可

❹ 一元三次方程一元三次方程怎麼解

對於高次方程求解首先試根試根區間為±1，±2，±3，還有0，然後假設試出一個跟為1，所以就存在因式x-1然後再用原式除以x-1這樣3次函數就變成二次函數容易求解，再根據韋達定理或者求根公式進行求解

❺ 一元三次方程怎麼解

郭敦榮回答：

一元三次方程求根公式：
http://ke.so.com/doc/5568385-5783548.html
標准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，其解法有:1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法;2、中國學者范盛金於1989年發表的盛金公式法。
兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。
公式法(卡爾丹公式)
(如右圖所示)
若用A、B換元後，公式可簡記為:
x1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
折疊判別法
當△=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，有一個實根和一對個共軛虛根;
當△=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，有三個實根，其中兩個相等;
當△=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，有三個不相等的實根。
折疊推導
第一步:
ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)
為了方便，約去a得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令x=y-k/3，
代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，
(y-k/3)^3中的y^2項系數是-k ，
k(y-k/3)^2中的y^2項系數是k ，
所以相加後y^2抵消，
得到y^3+py+q=0，
其中p=-k^2/3+m，
q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第二步:
方程x^3+px+q=0的三個根為:
x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);
x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);
x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，
其中w=(-1+i√3)/2。
×推導過程:
1、方程x^3=1的解為x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2;
2、方程x^3=A的解為x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。
設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得:
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，
如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，
由一元二次方程韋達定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的兩個根。
解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
不妨設A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，
則u^3=A;v^3=B，
u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2;
v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，
但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解:
u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3);
u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;
u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，
最後:
方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即
x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);
x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;
x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

一元三次方程x^3+px+q=0，(p，q∈R)的求根公式是1545年由義大利學者卡爾丹發表在《關於代數的大法》一書中，人們就把它叫做卡爾丹公式(有的數學資料叫"卡丹公式")。可是事實上，發現公式的人並不是卡爾丹(卡丹)本人，而是塔塔利亞(Tartaglia N.，約1499~1557)。發現此公式後，曾據此與許多人進行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在義大利名聲大震。醫生兼數學家卡丹得知塔塔利亞總是獲勝的消息後，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當時學者們通常不急於把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武器向別人挑戰比賽，或等待懸賞應解，以獲取獎金。盡管卡爾丹千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶。可是後來，由於卡丹一再懇切要求，而且發誓對此保守秘密，於是塔塔利亞在1539年把他的發現寫成了一首語句晦澀的詩告訴了卡丹，但是並沒有給出詳細的證明。卡丹並沒有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的藝術》一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道:"這一解法來自於一位最值得尊敬的朋友--布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法很難，我把它敘述如下。"從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡丹公式。塔塔利亞知道卡丹把自己的秘密公之於眾後，怒不可遏。按照當時人們的觀念，卡丹的做法無異於背叛，而關於發現法則者是誰的附筆只能被認為是一種公開的侮辱。於是塔塔利亞與卡丹在米蘭市的教堂進行了一場公開的辯論。許多資料都記述過塔塔利亞與卡丹在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可是，名為卡丹公式的一元三次方程的求解方法，確實是塔塔利亞發現的;卡丹沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多文獻資料的指責，卡丹錯有應得，但是卡丹在公布這一解法時並沒有把發現這一方法的功勞歸於自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發現，所以算不上剽竊;而且證明過程是卡丹自己給出的，說明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作對塔塔利亞泄露給他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之於世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人類探索一元n次方程根式解法的進程。不過，公式的名稱，還是應該稱為方塔納公式或塔塔利亞公式;稱為卡丹公式是歷史的誤會。一元三次方程應有三個根。塔塔利亞公式給出的只是一個實根。又過了大約200年後，隨著人們對虛數認識的加深，到了1732年，才由瑞士數學家歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達式。
塔爾塔利亞是義大利人，出生於1500年。他12歲那年，被入侵的法國兵砍傷了頭部和舌頭，從此說話結結巴巴，人們就給他一個綽號"塔爾塔利亞"(在義大利語中，這是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自學成才，成了數學家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出30道題，由對方去解。結果，塔爾塔利亞30道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。塔爾塔利亞大獲全勝。這時，義大利數學家卡丹出場，請求塔爾塔利把解方程的方法告訴他，可是遭到了拒絕。後來卡丹對塔爾塔利假裝說要推薦他去當西班牙炮兵顧問，並稱自己有許多發明，唯獨無法解三次方程而內心痛苦。還發誓，永遠不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元三次方程的秘密告訴了卡丹。六年以後，卡丹不顧原來的信約，在他的著作《關於代數的大法》中，將經過改進的三次方程的解法公開發表。後人就把這個方法叫作卡丹公式，塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以後被埋沒了一樣。
塔爾塔利亞對卡丹的背信行為非常惱怒，互相寫信指罵對方。最終在一個不明的夜晚，卡丹派人秘密刺殺了塔爾塔利亞。
至於一元四次方程ax^4+bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡丹的學生費拉里找到了。
關於三次、四次方程的求根公式，因為要涉及復數概念，復數是指能寫成如下形式的數a+bi,這里a和b是實數，i是虛數單位(即-1開根)。由義大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。復數有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是復變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。
一元三次、四次方程求根公式找到後，人們在努力尋找一元五次方程求根公式，三百伽羅華年過去了，但沒有人成功，這些經過嘗試而沒有得到結果的人當中，不乏有大數學家。
後來年輕的挪威數學家阿貝爾於1824年所證實， n次方程(n≥5)沒有公式解。不過，對這個問題的研究，其實並沒結束，因為人們發現有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那麼又是什麼樣的一元n次方程才沒有求根公式呢?
不久，這一問題在19世紀上半期，被法國天才數學家伽羅華利用他創造的全新的數學方法所證明，由此一門新的數學分支"群論"誕生了。
置換群解法
一元三次方程 系數和根的關系如下:
求出X,Y，後有
這是個線性方程，其中
為原方程的三個根!

上面一元三次方程解法的公式法，是理論性的，不論哪個方法在操作上都是很復雜的。如果只求其實數根，可用嘗試—逐步逼近法求解。
本題給出的一元三次方程是：
S^3+4S²+3S+2=0
用嘗試—逐步逼近法求解上方程，
顯然，S＜0，
當S=－3時，S^3+4S²+3S+2=2；
當S=－3.1時，S^3+4S²+3S+2=1.349；
當S=－3.3時，S^3+4S²+3S+2=－0.277；
當S=－3.29時，S^3+4S²+3S+2=－0.185；
當S=－3.27時，S^3+4S²+3S+2=－0.004；
當S=－3.2695時，S^3+4S²+3S+2=0.000，
∴S=－3.2695。

❻ 求一元三次方程的一般解法

一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」
一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個橫坐標平移y=x+s/3，那麼我們就可以把方程的二次項消
去。所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程。

假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數。
代入方程，我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時，
3ab+p=0。這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3，就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。進而可解出b和根x.
除了求根公式和因式分解外還可以用圖象法解，中值定理。很多高次方程是無法求得精確解的，對於這類方程，可以使用二分法，切線法，求得任意精度的近似解。參見同濟四版的高等數學。

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。我歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)

後記：

一、(14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。由於計算太復雜及這個問題歷史上已經解決，我不願花過多的力氣在上面，我做這項工作只是想考驗自己的智力，所以只要關鍵的問題解決了另兩個根我就沒有花力氣去求解。
二、我也曾用類似的方法去求解過一元四次方程的解，具體就是假設一元四次方程的根的形式為x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出過，不過後來多次求解好象說明這種方法求解一元四次方程解不出。不過我認為如果能進一步歸納出A、B、C的形式，應該能求出一元四次方程的求根公式的。由於計算實在太復雜及這個問題古人已經解決了，我後來一直沒能完成這項工作。
三、通過求解一元三次方程的求根公式，我獲得了一個經驗，用演繹法（就是直接推理）求解不出來的問題，換一個思維，用歸納法（及通過對簡單和特殊的同類問題的解法的歸納類比）常常能取得很好的效果。事實上人類常常是這樣解決問題的，大科學家正是這樣才成為大科學家的。
http://www.wehoo.net/book/%D6%D0%BB%AA%B8%B4%D0%CB%B7%BD%C2%D4/qt/13.htm

❼ 一元三次方程因式分解方法

因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些簡單的三次方程適用．對於大多數的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。當然，對一些簡單的三次方程能用因式分解求解的，當然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。

例如：解方程x^3-x=0

對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三個根：x1=0；x2=1；x3=-1。

(7)解一元三次方程最簡單的方法擴展閱讀

一元三次方程求解的其他方法：

1、分組分解法

通過在方程中「加項」、「減項」、「拆項」的方法，目的是為了將一元三次多項式方程分解成兩組多項式和的形式，然後再每一組進行因式分解，再進行提取公因式，最後整理為三個一次因式乘積、或者是兩個因式（一個一次因式與一個兩次因式）乘積。

2、整除法

對於整除法是要看最高次冪的。一元三次多項式找到公因式後整除公因式。對於初中生公因式一般先假設是（X-1）或者是（X+1），為什麼會假設整除（X-1）或者是（X+1），是因為對於一元三次多項式來說，一般會用到立方和公式，整除一個一次因式，或者整除一個兩次因式。

❽ 有沒有可以簡便計算一元三次方程的方法比如說十字交叉法

可以的哦，可以使用十字交叉法進行簡單的計算，之前我寫了一篇文章，教怎麼計算的，可以參照一下，由於文章太長，我就給上鏈接了，希望採納。鏈接如下：如何使用十字交叉法簡單計算一元三次方程？