如何快速配方法化二次型

A. 配方法化標准二次型技巧

配方的方法：

1、若二次型中不含有平方項則先湊出平方項。

方法：令x1=y1+y2，x2=y1-y2，則x1x2 = y1^2-y2^2。

2、若二次型中含有平方項x1

方法：則將含x1的所有項放入一個平方項里, 多退少補，將二次型中所有的x1處理好，接著處x2、以此類推。

例子：x1^2-4x1x2+4x1x3

=x1^2-4x1(x2-x3)+4(x2-x3)^2-4(x2-x3)^2

=[x1-(x2-x3)]^2-4(x2-x3)^2

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對稱雙線性：

在低層的域的特徵不是2的時候，二次形式等價於對稱雙線性形式。

二次形式總是生成對稱雙線性形式（通過極化恆等式），而反過來要求除以2。

注意對於任何向量u∈V，2Q(u) =B(u,u)。

所以如果2在R中是可逆的（在R是一個域的時候這同於有不是2的特徵），則我們可以從對稱雙線性形式B恢復二次形式，通過Q(u) =B(u,u)/2。

當2是可逆的時候，這給出在V上的二次形式和V上的雙線性形式之間的一一映射。如果B是任何對稱雙線性形式，則B(u,u)總是二次形式。所以在2是可逆的時候，這可以用作二次形式的定義。但是如果2不是可逆的，對稱雙線性形式和二次形式是不同的：某些二次形式不能寫為形式B（u,u）。

B. 化二次型為標准型的三種方法

化二次型為標准型的三種方法如下：

一、配方法

如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項系數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。

例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=（x1^2+4x1x2+2x1x3）+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3）^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2。

三、正交變換法

先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣T，那麼正交變換X=TY將會把二次型X'AX化為標准形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2。

C. 高等數學 用配方法化二次型

配方法是一種把一個二次型轉換為標准形的方法，標准形為 f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3。

首先，我們需要把一個二次型轉換為標准形，這需要進行兩步：

• 將二次型化為一元二次方程的形式，例如把 f(x1，x2，x3)=ax12+bx1x2+cx2x3+dx1+ex2+fx3+g 化為 f(x1，x2，x3)=ax12+bx1x2+cx2x3+dx1+ex2+fx3+g=0。

• 再把一元二次方程轉換為標准形，即 f(x1，x2，x3)=x12-x1x2+x2x3+dx1+ex2+fx3+g=0。

接下來，我們可以寫出所作的可逆孝蘆手線性變換，即用一系列線性變換把二次型轉換為標准形。為了讓變換保持可逆性，我們巧嫌需要保證所作的變換是正交變換，即滿足正交條件。

常見的可逆線性變換包括平移、旋轉、縮放等。例如，我們可以通過平移來把一個二次型平移到標准形的位置，通過旋轉來把一個二次型嘩歲的方向調整為標准形的方向，通過縮放來把一個二次型的尺寸調整為標准形的尺寸。