如何用簡單的方法掌握值域

㈠ 求值域的五種方法

求值域的五種方法：

1.直接法：從自變數的范圍出發，推出值域。

2.觀察法：對於一些比較簡單的函數，可以根據定義域與對應關系，直接得到函數的值域。

3.配方法：（或者說是最值法）求出最大值還有最小值，那麼值域就出來了。

例題：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】

先配方，得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

ymax=(2+1)^2+2=11

4.拆分法：對於形如y=cx+d，ax+b的分式函數，可以將其拆分成一個常數與一個分式，再易觀察出函數的值域。

5.單調性法：y≠ca.一些函數的單調性，很容易看出來。或者先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的值域。

6.數形結合法，其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目瞭然，賞心悅目。

7.判別式法：運用方程思想，根據二次方程有實根求值域。

8.換元法：適用於有根號的函數

例題：y=x-√（1-2x)

設√（1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

=-t^2/2-t+1/2

=-1/2(t+1)^2+1

∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）

9：圖像法，直接畫圖看值域

這是一個分段函數，你畫出圖後就可以一眼看出值域。

10：反函數法。求反函數的定義域，就是原函數的值域。

例題：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函數y=(2x-1)/(3x-3)

明顯定義域為x≠1

所以原函數的值域為y≠1

(1)如何用簡單的方法掌握值域擴展閱讀：

值域，在函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。如：f(x)=x，那麼f(x)的取值范圍就是函數f(x)的值域。

在實數分析中，函數的值域是實數，而在復數域中，值域是復數。

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中，實行「定義域優先」的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手「硬」一手「軟」，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處於互相轉化之中（典型的例子是互為反函數的定義域與值域的相互轉化）。如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函數的理解，從而深化對函數本質的認識。

㈡ 數學中，什麼是值域，值域該如何算

值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。
計算方法：
1、化歸法
通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6 注意：換元後勿忘還原；利用函數和他的反函數定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。
2、圖像法
根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。
3、配方法

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。
4、單調性法

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。
5、反函數法

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。
6、換元法
包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍 。
7、判別式法
判別式法即利用二次函數的判別式求值域。
8、復合函數法
設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。
9、三角代換法
利用基本的三角關系式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小於或等於1. 直接計算麻煩 用三角代換法比較簡單：
做法：設a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,則 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因為我們知道cos (y-x)小於等於1，所以不等式成立。；
10、不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函數值域時，要時刻注意不等式成立的條件，即「一正，二定，三相等」。
11、分離常數法
把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況，由於分子分母中都有未知數與常數的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數變成分母的倍數，然後就只剩下常數除以一個含有未知數的式子。