如何用幾何方法計算復數

㈠ 復數是怎麼計算的

(A)復數的極式：
若點P代表z=x+iy，O為原點，線段OP與x軸正向所夾的有向角為 。
令OP=r，則r, ,x,y有如下的關系：x=rcos ，y=rsin ，上述的r稱為復數
z的絕對值，以 表示。 稱為復數的幅角，以argz表示，我們規定介於0，
2之間的幅角稱為主幅角，以Argz表示。一個復數的幅角很多，但主幅角只
有一個。即 ，0Argz<2
結論：將復數z=x+iy表示成 則稱為復數z的極式。

[例題1] 將下列各復數化為極式：
(1)z=33i (2)z= (3)z=sin15+icos15(4)z=cos13+icos77

[例題2] 設z為復數，且| z1z |= 12，Arg(z1z)= 3 ，則z=？ Ans：1+33 i
(B)復數極式的乘除法：
(1)復數的乘法：
設z1，z2之極式分別為z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)
則
即將復數z1,z2相乘時，其絕對值相乘而其幅角相加。

(2)復數的除法：
(a)若 ，則 。
(b)若 ，則
(3)棣美弗定理：n為整數，若設 ，則zn=|z|n(cosn+isinn)。

[例題3] 試求下列之值：
(1)(cos100+isin100)(cos10isin10)(2) Ans：(1)i (2)12+32i
(C)解一元n次方程式：
(1)解zn=1之根：
例子：試解z7=1之根。(求1的7次方根)

結論：zn=1之根(1的n次方根)可表為 ，其中 。
(2)解zn=a之根：
例子：求1+i的7次方根。

結論： 之解(a的n次方根)為
。
[例題4] (1)試求1的5次方根，並將代表它們的點描在座標平面上。
(2)解方程式z4+z3+z2+z+1=0。

[例題5] 試求解 (z2)5=16+163 i。
(3) 的性質：設 則
(a)
(b)
(c) 的根為 。
(d)

[例題6] 設=cos25+i sin25，則求下列各小題：
(1)5=？ (2)1++2+3+4=？
(3)(1)(12)(13)(14) (4) (2+)(2+2)(2+3)(2+4)
Ans：(1)1 (2)0 (3)5 (4)11

(D)極坐標：
(1)在引進復數的極式時，我們可知要描述復數平面上一P(a+bi)，除了知道實
部a，虛部b之外，只要能指出P點離原點O多遠，及P點是哪一個有向角
的終邊上，亦可標示出P點。
(2)在平面上選定一點O，再過O作一數線L，以其正向為始邊，繞定點O旋
轉，使P點恰在其上。若其旋轉量，為一有向角(逆時針為正、順時針為
負)， =r，我們就可以利用r，來描述P點的位置，符號：P[r,]。這種
表示法就是極坐標表示法，其中O點稱為該極坐標系的極(或極點)，數線L
稱為極軸。並以[r,]為P點的極坐標。

例如：在極坐標上點P[2,56]
P點的直角坐標為(2cos56，2sin56)=(3 ,1)
例如：在直角坐標上Q(1，3)
設在極坐標上Q[r,]
rcos =1且rsin =3
r=2且 =23+2n，n為整數
Q點的極坐標可表為Q[2, 23+2n]

[例題7] 設在極坐標中A[1,6]、B[3,56]，試求AB=？ Ans：13
(E)復數在幾何上的應用：
復數運算的幾何意義：
(1)復數絕對值的幾何意義：
復數z=a+bi的絕對值定義為復數z到原點O的距離
 |z|=|a+bi|=a2+b2
復數平面上有兩個點P(z1)、Q(z2)，其中z1=a+bi、z2=c+di
PQ=|z1z2|
(2)復數加法的幾何意義：
在復數平面上給定A1(z1)、A2(z2)，其中z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
以OA1、OA2為鄰邊作平行四邊形OA1PA2，
則P點的復數坐標為z1+z2，OP=|z1+z2|。

(3)復數乘法與除法的幾何意義：
設z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根據復數乘法的原則z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))
我們令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)

(a)旋轉運動：當r2=1時
因為OR=| z1z2|=r1r2=r1，且方向角為1+2，故R點是由P點繞原點O逆時針
旋轉2得到的。
(b)伸縮運動：當2=0時，
OR=| z1z2|=r1r2，且方向角為1+2=1，因此R點是由P點以原點O為伸縮中
心，伸縮|z2|倍得到的點。

(3)旋轉與伸縮：
設z1=r1(cos1+i sin1)，z2=r2(cos2+i sin2)，其中ri=|zi|，i=1,2
根據復數乘法的原則z1z2= r1 r2(cos(1+2)+i sin(1+2))
令P(z1)、Q(z2)、R(z1z2)，則R點是由P點繞原點旋轉2角度
且以原點為中心伸縮r2倍所得到的點。

[例題8] 右圖是一正方形OABC，已知A(2+i)，試求B、C點的復數坐標。
Ans：B(1+3i)、C(1+2i)

[例題9] 復數平面上，設原點O為正三角形ABC的重心，已知A(1+i)，求復數B、C。 Ans：132 + 312 i，312  3+12 i

[例題10] 利用棣美弗定理證明：sin3=3sin 4sin3 ，cos3=4cos33cos 。
復習評量
(A)學科能力測驗、聯考試題試題觀摩：
1. 若復數z與 之積為 ，則z的主幅角為。(86日大自)Ans：23
2. 設z1=2+ai，z2=2b+(2b)i，其中a,b為實數，i=1 ，若|z1|=2|z2|，且z1z2的輻角為4，則數對(a,b)=？ (85 自) Ans：(103 , 43 )
3. 令z為復數且 z6=1, z1 ，則下列選項何者為真？
(A) |z|=1(B) z2=1 (C) z3=1或z3=-1(D) |z4|=1 (E) 1+z+z2+z3+z4+z5=0
Ans：(A) (C) (D) (E) (90學科)
4. 令z=2(cos7+isin7)，且zi=2(cosa+isina)，試求a=？ Ans：914 (91學科)
(B)重要問題復習：
5. 設復數z= ，求|z|=？ Ans：13065
6. 試求下列各復數的極式：
(1)z=3+3i (2)z=4 (3)z= 2i
Ans：(1)z=32(cos34+isin34) (2)z=4(cos0+isin0) (3)z=2(cos2+isin2)
7. 試求下列各復數的極式：
(1)z=sin20+i cos20 (2)z=cos135isin45 (3)z= 3(cos25+i sin25)
Ans：(1)z=cos70+i sin70 (2)z=cos225+i sin225(3)z=3(cos205+i sin205)
8. 利用數學歸納法證明棣美弗定理。
9. (1)(cos100+i sin100)(cos10i sin10) (2)[2(1+i)][3+i]
(3)(1+3 i)10 (4)(3+i2)30 (5)
(6)
Ans：(1)i (2)4(cos512+i sin512) (3)512+5123 i (4)215 (5)261
(6)
10. 解方程式：(1)(z+2)3+8=0 (2)z44z3+6z24z+17=0並求以各根為頂點的正多邊形的面積。
Ans：(1)4，22，222，面積33
(2)z=1+2[cos(2k+1)4+i sin(2k+1)4]，k=0,1,2,3 面積=8
11. (1)求512i的二個平方根。
(2)再求復系數方程式z22(1+i)z5+14i=0 Ans：(1)3+2i，32i (2)2+3i，4i
12. 求下列各點的直角坐標：
(1)A[4,43] (2)B[2,712] (3)C[0,5] (4) D[5,1] (5)E[3,cos135]
Ans：(1)(2,23 ) (2)(262,6+22)
(3)(0,0) (4)(5cos1,5sin1) (5)(95,125)
13. 求下列各點的極坐標：
(1)A(2,2) (2)B(1+3 ,13 ) (3)C(4cos7,4sin7)(4)D(0,3)
Ans：(1)[22 ,34] (2)[22 ,12] (3)[4, 7] (4)[3,32]
14. 如圖，給定z點的位置，且|z|=2，試描繪出1z的位置。
15. 如圖，設OAB為一正三角形，其中A的坐標為(1,4)
試求B的坐標。Ans：(1223 ，2+32)
(c)進階問題：
16. 設z1=cos78+isin78，z2=cos18+isin18
(1)求復數z1z2的主輻角。
(2)若(z1z2)5=a+bi，a,b為實數，求(a,b)=？
Ans：(1)138 (2)(32,12)
17. 設=cos27+i sin27
試求(1)1++2+3+4+5+6=？
(2)(1)(12)(13)(14)(15)(16)=？
Ans：(1)0 (2)7
18. 設zn=(1+i)(1+i2)(1+i3)(1+in)，n為自然數，則
(1)|zn|=？ (2)|zn+1zn|=？ Ans：(1)n+1 (2)1
19. 設 =2n，n為大於1的自然數，試證： ， 。
20. 在極坐標平面上二點，A(52 ,4)、B(2,cos135)，則AB=？Ans：58
21. (1)設n為自然數，若z+1z =2cos，則證明：zn+1zn =2cosn。
(2)若z為復數，且滿足 ，則 =?
22. 設z1，z2為復數，|z1|=2，|z2|=1，求|z1+z2|2+|z1z2|2=？Ans：10
(提示：若w為復數，則|w|2=w )
23. 已知z1=1+i，z2=i，試求z3使得z1z2z3為正三角形。
Ans：123 +32i或12+3 32i
24. A,B,C,D表x4x2+1=0的四個根，P點代表i，試求PA、PB、PC、PD之積。
Ans：3