線性代數快速解題方法

『壹』 線性代數有幾種解線性方程組的方法

1、克萊姆法則

用克萊姆法則求解方程組 有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是系數矩陣的行列式要不等於零。

用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系，但由於求解時要計算n+1個n階行列式，其工作量常常很大，所以克萊姆法則常用於理論證明，很少用於具體求解。

2、矩陣消元法

將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。

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xj表未知量，aij稱系數，bi稱常數項。

稱為系數矩陣和增廣矩陣。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所給方程各式均成立，則稱（c1，c2，…，cn）為一個解。若c1，c2，…，cn不全為0，則稱（c1，c2，…，cn）為非零解。

若常數項均為0，則稱為齊次線性方程組，它總有零解（0，0，…，0）。兩個方程組，若它們的未知量個數相同且解集相等，則稱為同解方程組。線性方程組主要討論的問題是：

一個方程組何時有解。

有解方程組解的個數。

對有解方程組求解，並決定解的結構。這幾個問題均得到完滿解決：所給方程組有解，則秩(A）=秩（增廣矩陣）；若秩(A）=秩=r，則r=n時，有唯一解；r<n時，有無窮多解；可用消元法求解。

當非齊次線性方程組有解時，解唯一的充要條件是對應的齊次線性方程組只有零解；解無窮多的充要條件是對應齊次線性方程組有非零解。但反之當非齊次線性方程組的導出組僅有零解和有非零解時，不一定原方程組有唯一解或無窮解，事實上，此時方程組不一定有 ，即不一定有解。

克萊姆法則（見行列式）給出了一類特殊線性方程組解的公式。n個未知量的任一齊次方程組的解集均構成n維空間的一個子空間。

『貳』 快速計算行列式的方法

快速計算行列式的方法？線性代數行列式有如下計算技巧：
1、行列式A中某行(或列)用同一數k乘，其結果等於kA。
2、行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。
3、若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn；另一個是с1，с2,…,сn；其餘各行（或列）上的元與|αij|的完全一樣。
4、行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。
線性代數行列式在數學中，是一個函數，其定義域為det的矩陣A，取值為一個標量，寫作det(A)或 | A | 。無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。
(2)線性代數快速解題方法擴展閱讀：
線性代數重要定理：
1、每一個線性空間都有一個基。
2、對一個 n 行 n 列的非零矩陣 A，如果存在一個矩陣 B 使 AB = BA =E，則 A 為非奇異矩陣（或稱可逆矩陣），B為A的逆陣。
3、矩陣非奇異（可逆）當且僅當它的行列式不為零。
4、矩陣非奇異當且僅當它代表的線性變換是個自同構。
5、矩陣半正定當且僅當它的每個特徵值大於或等於零。
6、矩陣正定當且僅當它的每個特徵值都大於零。
7、解線性方程組的克拉默法則。
8、判斷線性方程組有無非零實根的增廣矩陣和系數矩陣的關系。
註：線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。