『壹』 數學知識在物理上的應用有哪些
數學知識在物理上的應用有哪些
重心 是規則圖形數學是一門非常重要的基礎學科，尤其在理解物理概念、物理規律以及解決物理問題時，數學知識起著重要的工具作用。有些初中學生數學學得比較好，但物理不一定學得好，因為這些學生往往用純數學的思維方式理解物理概念、規律或求解物理問題，這樣就造成了學生在應用數學知識解決物理問題時容易出現錯誤，解決上述問題的有效途徑就是把物理問題轉化為數學問題，有效的運用數學知識來解決物理問題。一、用數學式子表達物理概念、物理規律，用字母表達物理量、已知量、未知量。初中學生初學物理時往往對用符號表示物理量之間的關系式不習慣，不會應用這些物理量的符號去表示相應的數字信息，不清楚公式中的符號哪些是已知的，哪個是未知的，導致公式變形出錯，亂套公式，物理結果出錯。 解決途徑：（1）首先引導學生學會「讀題 → 標量 → 選公式」的方法。即學生邊讀題，邊在相應的數字下面標上相應的物理量的符號，這樣做的目的就是明確了已知量和未知量，再根據物理問題情境選擇恰當的公式來求解。（2）解題時強調運用「三步法」，即「公式 → 帶入數據 (數字+單位) → 結果（數字+單位）」。要讓學生明確物理公式是解決物理問題的重要依據，所以要先寫出公式，再帶入相應的數字和單位，然後運用數學知識進行計算得結果。（3）物理量用規定的符號來表示，學生往往不能把字母和它表示的物理量聯系在一起。如學生在數學中未知數都可以用X、Y表示，有時學生在解決物理問題時，不管是求哪個物理量，他們都用X、Y表示，這樣不便於理解物理含義。在分析題時讓他們在物理量的旁邊寫出表示這個物理量的符號，再看求哪個量就用他在這個物理量旁邊標出的字母來表示。 通過不斷強化及練習，學生學會了運用數學能力來求解物理問題，使學生對符號的認識由不熟悉到能夠靈活運用。二、用方程表達物理關系、解決物理問題。學生往往在數學中會列方程解方程，但不會求解物理關系式。 解決途徑： 教師應教會學生將物理關系式與數學方程概念有機的結合起來，讓學生理解物理關系式實際上是將方程概念賦予了具體實際的內容。在建立物理情境的基礎上，利用數學方法求解物理問題。 例如：用彈簧測力計提著體積為10cm3的鐵塊浸沒水中，不觸底，此時用彈簧測力計的示數多大？ 引導學生分析：求彈簧測力計的示數多大，實際是求鐵塊在水中受到向上的拉力多大。（1）受力分析，畫出受力示意圖，如圖：重力、浮力、拉力。（2）引導學生分析能求哪些量：如：F浮= ρ水 gV鐵，G=ρ鐵 gV鐵（3）建立力的平衡式 F拉 + F浮=G （4）代入求解 F拉 =G + F浮 可以看出物理中力的平衡式實際上就是數學中的方程式，教師再引導學生利用數學方程思想來求解物理問題。通過例題分析、訓練，學生逐步增強數理結合的意識，能將物理問題自覺地靈活地轉化為受物理規律制約及顯示物理規律、物理情境的數學問題。三、用分式的性質等量代換的思想進行單位換算。初學物理的學生在單位換算方面成為學習物理知識的障礙。 解決途徑： 首先讓學生理解物理中的單位換算，實際上是數學中的等量代換思想的體現，其次讓學生理解記憶基本換算關系。例如：速度的單位換算，引導學生運用數學方法：（1）分子分母分別換演算法 例如：20m/s = 20 = 72km/h（2）利用速度進率法：1 m/s = 3.6 km/h20m/s = 20 3.6 km/h = 72km/h 通過分析比較，讓學生理解單位換算的方法和技巧，今後能靈活自如的進行單位換算，不要讓單位換算成為學生學習物理的障礙。四、區分物理平均與數學平均。 學生對物理中的平均概念的理解往往停留在數學的平均思想上，不注意條件，不注意適用范圍，導致結果出錯。 解決途徑： 教師要引導學生理解物理中的平均與數學中的平均概念的區別，要特別注意公式的適用條件和適用范圍。 例如：求平均速度問題，原則上應該是，S代表總路程，t代表通過路程S所用的總時間。（1）一個物體做直線運動，前一半路程的速度為 1，後一半路程的速度為 2，求全程的平均速度。隱含的條件是 S1 = S2 = S 但是有一些學生不理解物理上平均速度的含義，直接利用數學上的平均思想解題得出的錯誤結論 。（2）一個物體做直線運動，前一半時間速度為 1，後一半時間速度為 2，求全程的平均速度。隱含的條件是 t1=t2 = t 又如：伏安法測電阻，多次測量利用數學的加權法求平均電阻值有實際意義。而電功率的平均值沒有實際意義。 可見應用數學知識分析物理問題時要特別注意物理學科的特殊性，注意概念的物理含義和規律成立的條件，因此我們在物理教學中要強化物理意義、物理內涵，公式形成過程的指導以及物理規律成立的條件，以使學生在扎實的物理基礎上恰當、靈活地應用數學知識解決物理問題。五、利用函數圖像理解物理意義。 物理規律、物理量之間的關系可以用圖像表達出來。但是有的學生不能將函數圖像與物理知識聯系起來，造成解決物理題的困難。 解決途徑：首先讓學生明確，橫縱坐標表示什麼物理量，再分析這個圖像表示的物理意義。 例如：一個正比例函數圖像，斜率表示密度ρ=m/v，即m與v成正比，也就是說同種物質，質量增大多少倍，體積也增大多少倍，比值不便，這個比值就是密度。這樣有利於學生理解密度是物質的一種特性。 總之，運用數學知識解決物理問題的有效途徑，就是把數學知識、數學思維方法遷移到學習物理上來。因此教師在教學中應強化數理知識的結合，利用多渠道的有效途徑，促進數學知識的遷移，學生才能更好的利用數學知識來解決物理問題。的幾何中心有些求力臂的可能會用到勾股定理還有就是一般性的計算了
『貳』 物理學中常用的幾種科學思維方法
1．模型法
物理模型是一種理想化的物理形態，將復雜的問題抽象化為理想化的物理模型是研究物理問題的基本方法。科學家通常利用抽象化、理想化、簡化、類比等把研究對象的物理學本質特徵突出出來，形成概念或實物體系，即為物理模型。模型思維法就是對研究對象或過程加以合理的簡化，突出主要因素忽略次要因素，從而解決物理問題的方法。從本質上說，分析物理問題的過程，就是構建物理模型的過程。通過構建物理模型，得出一幅清晰的物理圖景，是解決物理問題的關鍵。實際中必須通過分析、判斷、比較，畫出過程圖（過程圖是思維的切入點和生長點）才能建立正確合理的物理模型。
2．等效法
當研究的問題比較復雜，運算又很繁瑣時，可以在保證研究對象的有關數據不變的前提下，用一個簡單明了的問題來代替原來復雜隱晦的問題，這就是所謂的等效法。在中學物理中，諸如合力與分力、合運動與分運動、總電阻與各支路電阻以及平均值、有效值等概念都是根據等效的思想引入的。教學中若能將這種方法滲透到對物理過程的分析中去，不僅可以使問題的解決變得簡單，而且對知識的靈活運用和知識向能力轉化都會有很大的促進作用。
3．極端法
所謂極端法，就是依據題目所給的具體條件，假設某種極端的物理現象或過程存在並做科學分析，從而得出正確判斷或導出一般結論的方法。這種方法對分析綜合能力和數學應用能力要求較高，一旦應用得恰當，就能出奇制勝。常見有三種：極端值假設、臨界值分析、特殊值分析。
4．逆思法
在解決問題的過程中為了解題簡捷，或者從正面入手有一定難度，有意識地去改變思考問題的順序，沿著正向（由前到後、由因到果）思維的相反（由後到前、由果到因）途徑思考、解決問題，這種解題方法叫逆思法。是一種具有創造性的思維方法，通常有：運用可逆性原理、運用反證歸謬、運用執果索因進行逆思。
5．估演算法
所謂估演算法就是對某些物理量的數量級進行大致推算或精確度要求不太高的近似計算方法。估算題與一般的計算題相比較，它雖然是不精確不嚴密的計算，但確是合理的近似，它可以避免繁瑣的計算而著重於簡捷的思維能力的培養。解估算題的基本思路是：（1）抓住主要因素，忽略次要因素，從而建立理想化模型。（2）認真審題，注意挖掘埋藏較深的隱含條件。（3）分析已知條件和所求量的相互關系以及物理過程所遵守的物理規律，從而找到估算依據。（4）明確解題思路，步步為營層層剝皮求出答案，答案一般保留一到兩位有效數字。
6．虛設法
在物理解題中，我們常常用到一種虛擬的思維方法，即從給定的物理條件出發，假設與想像某種虛擬的東西，達到迅速、准確地解決問題的目的，我們把這種方法較虛設法。虛設法常見的幾種情形是：虛設條件、虛設過程、虛設狀態、虛設結論等。
7．圖像法
所謂圖像法，就是利用圖像本身的數學特徵所反映的物理意義解決物理問題（根據物理圖像判斷物理過程、狀態、物理量之間的函數關系和求某些物理量）和由物理量之間的函數關系或物理規律畫出物理圖像，並靈活應用圖像來解決物理問題。
『叄』 高中物理一些巧妙解題方法
物理實驗的基本思想方法
1．等效法
等效法是科學研究中常用的一種思維方法．對一些復雜問題採用等效法，可將其變換成理想的、簡單的、已知規律的過程來處理，常使問題的解決得以簡化．因此，等效法也是物理實驗中常用的方法．如在「驗證力的平行四邊形定則」的實驗中，要求用一個彈簧秤單獨拉橡皮條時，要與用兩個互成角度的彈簧秤同時拉橡皮條時產生的效果相同——使結點到達同一位置O，即要在合力與兩分力等效的條件下，才能找出它們之間合成與分解時所遵循的關系——平行四邊形定則．又如在「驗證動量守恆定律」的實驗中，用小球的水平位移代替小球的水平速度；在「驗證牛頓第二定律」的實驗中，通過調節木板的傾斜度使重力的分力抵消摩擦力而等效於物體不受摩擦力作用．還有，電學實驗中電流表的改裝、用替換法測電阻等，都是等效法的應用．
2．轉換法
將某些不易顯示、不易直接測量的物理量轉化為易於顯示、易於測量的物理量的方法稱為轉換法(間接測量法)．轉換法是物理實驗常用的方法．如：彈簧測力計是把力的大小轉換為彈簧的伸長量；打點計時器是把流逝的時間轉換成振針的周期性振動；電流表是利用電流在磁場中受力，把電流轉化為指針的偏轉角；用單擺測定重力加速度g是通過公式T＝2πg(L)把g的測量轉換為T和L的測量，等等．
3．留跡法
留跡法是利用某些特殊的手段，把一些瞬間即逝的現象(如位置、軌跡等)記錄下來，以便於此後對其進行仔細研究的一種方法．留跡法也是物理實驗中常用的方法．如：用打點計時器打在紙帶上的點跡記錄小車的位移與時間之間的關系；用描跡法描繪平拋運動的軌跡；在「測定玻璃的折射率」的實驗中，用大頭針的插孔顯示入射光線和出射光線的方位；在描繪電場中等勢線的實驗中，用探針通過復寫紙在白紙上留下的痕跡記錄等勢點的位置等等，都是留跡法在實驗中的應用．
4．累積法
累積法是把某些難以直接准確測量的微小量累積後測量，以提高測量的准確度的一種實驗方法．如：在缺乏高精密度的測量儀器的情況下測細金屬絲的直徑，常把細金屬絲繞在圓柱體上測若干匝的總長度，然後除以匝數就可求出細金屬絲的直徑；測一張薄紙的厚度時，常先測出若干頁紙的總厚度，再除以被測頁數即所求每頁紙的厚度；在「用單擺測定重力加速度」的實驗中，單擺周期的測定就是通過測單擺完成多次全振動的總時間除以全振動的次數，以減小個人反應時間造成的誤差影響等．
5．模擬法
模擬法是一種間接實驗方法，它是通過與原型相似的模型來說明原型的規律性的．模擬法在中學物理實驗中的典型應用是「用描跡法畫出電場中平面上的等勢線」這一實驗，由於直接描繪靜電場的等勢線很困難，而恆定電流的電場與靜電場相似，所以用恆定電流的電場來模擬靜電場，通過它來了解靜電場中等勢線的分布情況．
6．控制變數法
在多因素的實驗中，可以先控制一些量不變，依次研究某一個因素的影響．如在「驗證牛頓第二定律」的實驗中，可以先保持質量一定，研究加速度和力的關系；再保持力一定，研究加速度和質量的關系；最後綜合得出加速度與質量、力的關系．
三、實驗數據的處理方法
1．列表法
在記錄和處理數據時，常常將數據列成表格．數據列表可以簡單而又明確地表示出有關物理量之間的關系，有助於找出物理量之間聯系的規律性．
列表的要求：
(1)寫明表的標題或加上必要的說明；
(2)必須交代清楚表中各符號所表示的物理量的意義，並寫明單位；
(3)表中數據應是正確反映測量結果的有效數字．
2．平均值法
現行教材中只介紹了算術平均值，即把測定的數據相加求和，然後除以測量的次數．必須注意的是，求平均值時應該按測量儀器的精確度決定應保留的有效數字的位數．
3．圖象法
圖象法是物理實驗中廣泛應用的處理實驗數據的方法．圖象法的最大優點是直觀、簡便．在探索物理量之間的關系時，由圖象可以直觀地看出物理量之間的函數關系或變化趨勢，由此建立經驗公式．
作圖的規則：
(1)作圖一定要用坐標紙，坐標紙的大小要根據有效數字的位數和結果的需要來定；
(2)要標明軸名、單位，在軸上每隔一定的間距按有效數字的位數標明數值；
(3)圖上的連線不一定通過所有的數據點，而應盡量使數據點合理地分布在線的兩側；
(4)作圖時常通過選取適當的坐標軸使圖線線性化，即「變曲為直」．
雖然圖象法有許多優點，但在圖紙上連線時有較大的主觀任意性，另外連線的粗細、圖紙的大小、圖紙本身的均勻程度等，都對結果的准確性有影響．
『肆』 數學在物理學中的應用
在物理學中，物理量之間的關系，物理變化
規律，除了用文字敘述，用方程，方程組，不等
式，比例式、三角函數、三角方程等，還可以用
相應的圖象來描述。數學不僅可作為計算公式貫
穿其中，廣泛用於推導公式，表達關系，描述規
律，而且它本身的邏輯作用和抽象作用來輔助物
理概念和規律的形成。掌握物理學中的數學方法，
是學好物理學的關鍵之一。本文僅就極值問題、
正負號問題，數學圖象等在力學、熱學、電學中
的應用作簡單論述。
一、物理學中的正、負號
數學中的正與負反映了數的大小，但在物理
學中，正和負反映的物理意義大不相同。
1、矢量中的正和負反映了方向。在同一直線
上，一般先規定某方向為正方向，與其同向的矢
量為正值，反之為負值，這樣把矢量運算化為標
量運算。例如，在直線運動中，若選初速度為V0
的方向為正方向，則加速度為負值時物體做減速
運動。又如在豎直上拋運動中，以拋點為原點，
上方位移為正，下方位移為負，向上的速度為正，
向下的速度為負，這樣即可把往返運動當作一直
向上的運動處理。
例1、在離地10 米高度以5 米/秒豎直向上
拋出一物，不記阻力，問經幾秒此物落地？
[析解]以拋點為原點， 向上為正，所以
V0=5m/s�0�5,s=-10m, 代入位移式S=V0·t+1/2at�0�5 有
-10=5t-5t�0�5求出t=2 秒。
2、正和負可以反映物體能量的增加減。大當
能量增加量為正值時，說明能量在增加；當能量
增加量為負值時，說明能量在減少。例如，由動
能定律可知：當合外力對物體做正功時，物體動
能增加；當合外力對物體做負功時，物體動能減
少。又如在熱學中我們將吸熱和對氣體做功記為
正直，相反將放熱和對外做功記為負值。
3、在勢能大小的表示中，正和負表示勢能與
標准點相比的大小。例如我們以桌面為勢能的零
點，那麼桌面以上的各點勢能均為正，而桌面以
下的各處勢能均為負值，在這種情況下正和負表
示大小。
4、在光學中，正和負表示虛和實。凸透鏡的
焦距為正，透鏡的焦距為負；實像的像距為正值，
虛像的像距則為負值。
二、用數學方法定義物理量
物理量分為基本量和導出量兩種，從定義形
式來看，都可以用數學形式來表示。大量的可以
用以下幾種數學方法定義。
1、量比定義法：就是用兩個物理量的「比」
來定義一個新的物理量的方法。例如反映物質屬
性或特性的密度（ρ=m/v）,電場強度（E=F/q），
反映物體屬性或特徵的導體的電阻（R=u/I），運
動速度（v=s/t）,功率（P=w/t）等。
2、乘積定義法：即用兩個以上的物理量的乘
積來定義一個新的物理量的方法。例如，功（ w
= F·S cosθ ）,動量（p=mv）, 動能 （ Ek =mv�0�5/2）
等。
3、公式變形定義法：即用已有的公式變形來
定義一個新的物理量是方法。例如，根據電阻定
律（R=ρl/s）,胡克定律（f=κx）,摩擦定律（f=μN），
自感電動勢（ε=LΔI/Δt）,得到電阻率ρ，倔強系
數K，摩擦系數μ，自感系數L。
4、和差定義法：即用物理量的和差來定義一
個新的物理量。例如，動能的增量（ΔEk= Ek2
–Ek1 ）,動量的增量（ΔP= P2-P1）等。
三、極值在物理學中的應用
在物理學中經常遇到極值和最值問題，有時
用到一元二次方程的關系，有時則是三角函數的
極值等。此類題解題特點：在物理機理的基礎上，
其解題關鍵要依賴數學手段和方法，藉助於數學
技巧和技能。
例2、甲乙兩輛汽車同方向行使，當t=0 時，
兩車恰好相齊，它們位移隨時間t 的變化規律分
別為：S 甲=10t;S 乙=2t+t�0�5,試問在什麼時刻，甲車
在前時，兩車相距最遠？
[析解]兩車相距的距離為：
ΔS= S 甲- S 乙=10t -（2t+t�0�5）=-t�0�5+8t
據二次函數的性質有：當x=-b/2a 時，ΔS 有
最大值， ΔSmax=(4ac-b�0�5)/4a, 即當t=4s 時，
ΔSmax=16m
[注]物理量的變化規律在很多場合下可以用
二次函數y=ax�0�5+bx+c 來表示，根據二次函數的性
質：x=-b/2a 時，y 有極值，極值y=(4ac-b�0�5)/4a,當
a>0 時有極小值，當a<0 時有極大值。
例3、把q0 分配給兩個相距為r 的質點，使
之成為兩個帶電體q1 和q2,則當電量如何分配
時，兩個電體之間的庫侖作用力最大？
[ 析解] 兩個帶電體之間的庫侖力為
F=kq1q2/r�0�5根據題意q1+q2=q0 為一定值，因此當
q1=q2=q0/2 時，q1q2 有最大值，也就是F 有最大
值。所以電量平均分配給兩個質點時，它們之間
的庫侖作用力最大，最大值Fmax=Kq0�0�5/4r�0�5.
四、圖象在物理學中的應用
利用圖象可以直觀地反映物理量之間相互依
賴的關系，形象地表述物理規律。應用圖象解題，
常常使一些復雜的問題變得簡單明了，對提高我
們分析問題、解決問題的能力大有益處。
綜上所述，在物理學中應用數學的求解方法
是多種多樣的，同一物理過程可以用兩種或兩種
以上的方法求解，關鍵在於把物理意義和數學方
法巧妙的揉合為一體，才能收到較好的效果。由
於事物的多樣性、復雜性及物理與數學兩門基礎
學科之間的相互滲透與交叉。故在學習中應注意
利用有關的數學知識解決物理問題，以培養自己
正確分析物理過程和運用數學工具解決物理問題
的能力。
與教師之間交叉活動的自由空間，允許竊
竊私語，允許尋求教師、同學幫助。因為我們
常會發現這樣一些情況：有的同學想像力很豐
富，但動手能力較差；有的同學製作精細，但
思路狹窄，如果讓這兩者有機結合，取長補短，
則是最佳的組合了。即使兩者水平相當，在合
作中也能得到啟發，所謂「三人行，必有我師」。
同時有些活動題材、內容，需要搜集大量的材
料，可組織以小組為單位完成。如「插花」、「版
面設計」、「畫臉」等創作，可以以小組為單位合
作收集材料：你准備花泥我准備鮮花，我們一
起來完成一束藝術插花；嘗試四個人合作設計
一塊別致的版面；相互給對方裝飾一個有趣的
臉面等。在愉快的合作氛圍中，在友情濃郁的
氛圍中，消除表現的顧慮，快樂主動參與學習
的過程，給學生帶來愉悅的審美情趣，使每個
學生都體會到集體的智慧勝過於個人，從而培
養學生團結互助、合作的好品德。這樣一來，
作業的時間相對縮短，作業的質量卻提高了，
何樂而不為？
沒有教師心靈的參與，課堂就會像沒有雨
水的春日，燥寒而缺少滋潤；沒有教育實踐的
參與，教育研究就會像行將乾涸的一潭秋水，
沉悶而無活力。把美術教育的藝術與生命藝術
合二為一，將是我們21 世紀每個美術教師的畢
生追求。